2.6. Riemann x Lebesgue

No que segue usaremos sistematicamente a terminologia e notação introduzidas nas Definições 1.3.1 e 1.3.2. Introduzimos mais alguma terminologia sobre partições e blocos.

2.6.1 Definição.

Seja $B$ um bloco retangular $n$ -dimensional tal que $|B|>0$ e seja $P=(P_{1},\ldots,P_{n})$ uma partição do bloco $B$ . Uma partição $Q=(Q_{1},\ldots,Q_{n})$ de $B$ é dita um refinamento de $P$ se $Q_{i}\supset P_{i}$ , para $i=1,\ldots,n$ . A norma da partição $P$ , denotada por $\|P\|$ , é definida como o máximo dos diâmetros dos sub-blocos de $B$ determinados por $P$ .

Claramente se uma partição $Q$ refina uma partição $P$ então todo sub-bloco de $B$ determinado por $Q$ está contido em algum sub-bloco de $B$ determinado por $P$ .

No que segue, consideramos fixado um bloco retangular $n$ -dimensional $B$ com $|B|>0$ e uma função limitada $f:B\to\mathds{R}$ .

2.6.2 Definição.

Se $P$ é uma partição de $B$ então a soma inferior de Riemann de $f$ com respeito a $P$ é definida por:

s(f;P)=\sum_{\mathfrak{b}\in\overline{P}}\inf f(\mathfrak{b})\,|\mathfrak{b}|,

e a soma superior de Riemann de $f$ com respeito a $P$ é definida por:

S(f;P)=\sum_{\mathfrak{b}\in\overline{P}}\sup f(\mathfrak{b})\,|\mathfrak{b}|.

Obviamente:

s(f;P)\leq S(f;P),

(2.6.1)

para toda partição $P$ de $B$ .

Nós consideramos as seguintes funções $m_{P}:B\to\mathds{R}$ , $M_{P}:B\to\mathds{R}$ associadas a uma partição $P$ de $B$ :

m_{P}=\sum_{\mathfrak{b}\in\overline{P}}\inf f(\mathfrak{b})\,\chi_{\lower 2.0% pt\hbox{$\scriptstyle\mathrm{int}(\mathfrak{b})$}},\quad M_{P}=\sum_{\mathfrak% {b}\in\overline{P}}\sup f(\mathfrak{b})\,\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle% \mathrm{int}(\mathfrak{b})$}}.

Mais explicitamente, dado $x\in B$ , se $x$ pertence ao interior de algum sub-bloco $\mathfrak{b}$ de $B$ determinado por $P$ então o valor da função $m_{P}$ (resp., da função $M_{P}$ ) no ponto $x$ é igual ao ínfimo (resp., o supremo) de $f$ no bloco $\mathfrak{b}$ ; se $x$ pertence à fronteira de algum sub-bloco de $B$ determinado por $P$ então $m_{P}(x)=M_{P}(x)=0$ . Obviamente $m_{P}$ e $M_{P}$ são funções simples Lebesgue integráveis e:

\int_{B}m_{P}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=s(f;P),\quad\int_{B}M_{P}\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}=S(f;P),

(2.6.2)

já que $\mathfrak{m}\big{(}\mathrm{int}(\mathfrak{b})\big{)}=\mathfrak{m}(\mathfrak{b}% )=|\mathfrak{b}|$ , para todo $\mathfrak{b}\in\overline{P}$ (vide Corolário 1.4.8). Temos:

\inf f(B)\leq m_{P}(x)\leq f(x)\leq M_{P}(x)\leq\sup f(B),\\ \text{para todo}\ x\in\bigcup_{\mathfrak{b}\in\overline{P}}\mathrm{int}(% \mathfrak{b});

(2.6.3)

como a união das fronteiras dos blocos $\mathfrak{b}\in\overline{P}$ tem medida nula, segue que as desigualdades em (2.6.3) valem para quase todo $x\in B$ . Se $Q$ é uma partição de $B$ que refina $P$ então afirmamos que:

m_{P}(x)\leq m_{Q}(x),\quad M_{Q}(x)\leq M_{P}(x),\quad\text{para todo}\ x\in% \bigcup_{\mathfrak{b}\in\overline{Q}}\mathrm{int}(\mathfrak{b});

(2.6.4)

de fato, se $x\in\mathrm{int}(\mathfrak{b})$ , para algum bloco $\mathfrak{b}\in\overline{Q}$ então $\mathfrak{b}$ está contido em algum bloco $\mathfrak{b}^{\prime}\in\overline{P}$ , donde $\mathrm{int}(\mathfrak{b})\subset\mathrm{int}(\mathfrak{b}^{\prime})$ e portanto:

	$\displaystyle m_{P}(x)=\inf f(\mathfrak{b}^{\prime})\leq\inf f(\mathfrak{b})=m% _{Q}(x),$
	$\displaystyle M_{Q}(x)=\sup f(\mathfrak{b})\leq\sup f(\mathfrak{b}^{\prime})=M% _{P}(x).$

2.6.3 Lema.

Dadas partições $P$ e $Q$ de $B$ , se $Q$ refina $P$ então:

s(f;P)\leq s(f;Q),\quad S(f;Q)\leq S(f;P).

Demonstração.

Note que as desigualdades em (2.6.4) valem para quase todo $x\in B$ . Basta então usar integração e as igualdades (2.6.2). ∎

2.6.4 Corolário.

Para quaisquer partições $P$ e $Q$ de $B$ temos:

s(f;P)\leq S(f;Q).

Demonstração.

Se $P=(P_{1},\ldots,P_{n})$ e $Q=(Q_{1},\ldots,Q_{n})$ , denotamos por $P\cup Q$ a partição de $B$ dada por $P\cup Q=(P_{1}\cup Q_{1},\ldots,P_{n}\cup Q_{n})$ ; daí $P\cup Q$ refina tanto $P$ como $Q$ . Usando o Lema 2.6.3 e a desigualdade (2.6.1) obtemos:

s(f;P)\leq s(f;P\cup Q)\leq S(f;P\cup Q)\leq S(f;Q).\qed

2.6.5 Definição.

A integral inferior de Riemann e a integral superior de Riemann de uma função limitada $f:B\to\mathds{R}$ são definidas respectivamente por:

	$\displaystyle\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{-}f=\sup\big{\{}s(f% ;P):\text{$P$ partição de $B$}\big{\}},$
	$\displaystyle\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int^{-}f=\inf\big{\{}S(f% ;P):\text{$P$ partição de $B$}\big{\}}.$

Quando a integral inferior e a integral superior de $f$ coincidem dizemos que $f$ é Riemann integrável e nesse caso a integral de Riemann de $f$ é definida por:

\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int f=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle% (R)$}\!\!\int_{-}f=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int^{-}f.

Note que o Corolário 2.6.4 implica que:

\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{-}f\leq\raise 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle(R)$}\!\!\int^{-}f.

Vamos agora determinar condições necessárias e suficientes para que uma função $f$ seja Riemann integrável e vamos comparar a integral de Riemann de $f$ com a integral de Lebesgue de $f$ .

Consideraremos as funções $m:B\to\mathds{R}$ , $M:B\to\mathds{R}$ definidas por:

m(x)=\sup_{\delta>0}\!\inf_{\begin{subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta\end{subarray}}\!\!f(y),\quad M(x)=\inf_{\delta>0}\!\sup_{\begin{% subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta\end{subarray}}\!\!f(y),

para todo $x\in B$ . Claramente:

\inf f(B)\leq m(x)\leq f(x)\leq M(x)\leq\sup f(B),

(2.6.5)

para todo $x\in B$ .

Temos o seguinte:

2.6.6 Lema.

Dado $x\in B$ então $m(x)=M(x)$ se e somente se $f$ é contínua no ponto $x$ .

Demonstração.

Suponha que $f$ é contínua no ponto $x$ . Dado $\varepsilon>0$ então existe $\delta>0$ tal que $f(x)-\varepsilon<f(y)<f(x)+\varepsilon$ , para todo $y\in B$ com $d(y,x)<\delta$ . Daí:

\inf_{\begin{subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta\end{subarray}}\!\!f(y)\geq f(x)-\varepsilon,\quad\sup_{\begin{% subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta\end{subarray}}\!\!f(y)\leq f(x)+\varepsilon,

e portanto:

f(x)-\varepsilon\leq m(x)\leq M(x)\leq f(x)+\varepsilon.

Como $\varepsilon>0$ é arbitrário, segue que $m(x)=M(x)$ . Reciprocamente, suponha que $m(x)=M(x)$ ; daí, por (2.6.5), temos $m(x)=f(x)=M(x)$ . Portanto, para todo $\varepsilon>0$ , existem $\delta_{1},\delta_{2}>0$ tais que:

\inf_{\begin{subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta_{1}\end{subarray}}\!\!f(y)>f(x)-\varepsilon,\quad\sup_{\begin{% subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta_{2}\end{subarray}}\!\!f(y)<f(x)+\varepsilon.

Tome $\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}>0$ ; daí, para todo $y\in B$ com $d(y,x)<\delta$ , temos:

f(x)-\varepsilon<f(y)<f(x)+\varepsilon,

o que prova que $f$ é contínua no ponto $x$ . ∎

Se $P$ é uma partição de $B$ , observamos que:

m_{P}(x)\leq m(x),\quad M(x)\leq M_{P}(x),\quad\text{para todo}\ x\in\bigcup_{% \mathfrak{b}\in\overline{P}}\mathrm{int}(\mathfrak{b});

(2.6.6)

de fato, basta observar que se $x$ pertence ao interior de um bloco $\mathfrak{b}\in\overline{P}$ então existe $\delta>0$ tal que a bola de centro $x$ e raio $\delta$ está contida em $\mathfrak{b}$ e portanto:

	$\displaystyle m_{P}(x)=\inf_{y\in\mathfrak{b}}f(y)\leq\!\!\!\inf_{\begin{% subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta\end{subarray}}\!\!f(y)\leq m(x),$
	$\displaystyle M(x)\leq\!\!\!\sup_{\begin{subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta\end{subarray}}\!\!f(y)\leq\sup_{y\in\mathfrak{b}}f(y)=M_{P}(x).$

Além do mais, temos o seguinte:

2.6.7 Lema.

Se $(P_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de partições do bloco retangular $B$ tal que $\|P_{k}\|\to 0$ então $m_{P_{k}}\to m$ q. s. e $M_{P_{k}}\to M$ q. s..

Demonstração.

Seja $A$ a união das fronteiras de todos os sub-blocos de $B$ determinados por todas as partições $P_{k}$ ; como a quantidade de blocos em questão é enumerável, temos que $A$ tem medida nula. Seja $x\in B$ , $x\not\in A$ ; vamos mostrar que $m_{P_{k}}(x)\to m(x)$ e $M_{P_{k}}(x)\to M(x)$ . Seja dado $\varepsilon>0$ . Temos que existem $\delta_{1},\delta_{2}>0$ tais que:

\inf_{\begin{subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta_{1}\end{subarray}}\!\!f(y)>m(x)-\varepsilon,\quad\sup_{\begin{% subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta_{2}\end{subarray}}\!\!f(y)<M(x)+\varepsilon.

Seja $k_{0}$ tal que $\|P_{k}\|<\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$ , para todo $k\geq k_{0}$ . Vamos mostrar que:

m_{P_{k}}(x)>m(x)-\varepsilon,\quad M_{P_{k}}(x)<M(x)+\varepsilon,

(2.6.7)

para todo $k\geq k_{0}$ . Fixado $k\geq k_{0}$ , seja $\mathfrak{b}\in\overline{P_{k}}$ tal que $x$ pertence ao interior de $\mathfrak{b}$ . Como o diâmetro de $\mathfrak{b}$ é menor que $\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$ , temos que $\mathfrak{b}$ está contido na bola de centro $x$ e raio $\delta_{1}$ e na bola de centro $x$ e raio $\delta_{2}$ , de modo que:

	$\displaystyle m_{P_{k}}(x)=\inf_{y\in\mathfrak{b}}f(y)\geq\!\!\!\inf_{\begin{% subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta_{1}\end{subarray}}\!\!f(y)>m(x)-\varepsilon,$
	$\displaystyle M_{P_{k}}(x)=\sup_{y\in\mathfrak{b}}f(y)\leq\!\!\!\sup_{\begin{% subarray}{c}y\in B\\ d(y,x)<\delta_{2}\end{subarray}}\!\!f(y)<M(x)+\varepsilon,$

provando (2.6.7). Usando (2.6.6) e (2.6.7) concluímos agora que:

m(x)-\varepsilon<m_{P_{k}}(x)\leq m(x),\quad M(x)\leq M_{P_{k}}(x)<M(x)+\varepsilon,

o que completa a demonstração. ∎

2.6.8 Corolário.

As funções $m$ e $M$ são Lebesgue integráveis e:

\int_{B}m\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int% _{-}f,\quad\int_{B}M\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R% )$}\!\!\int^{-}f.

Demonstração.

Segue do Lema 2.6.7 e do resultado do item (c) do Exercício 2.8 que as funções $m$ e $M$ são mensuráveis. Seja agora $(P_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de partições de $B$ tal que:

\lim_{k\to\infty}s(f;P_{k})=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{-}f.

(2.6.8)

Podemos refinar cada partição $P_{k}$ de modo que $\|P_{k}\|\to 0$ ; o Lema 2.6.3 garante que a condição (2.6.8) continua satisfeita. Como o bloco $B$ tem medida finita, qualquer função constante finita definida em $B$ é integrável; logo, as desigualdades em (2.6.3) implicam que a seqüência de funções $(m_{P_{k}})_{k\geq 1}$ satisfaz as hipótese do Teorema da Convergência Dominada. Usando o Lema 2.6.7 e as identidades (2.6.2) obtemos então:

\lim_{k\to\infty}s(f;P_{k})=\lim_{k\to\infty}\int_{B}m_{P_{k}}\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}=\int_{B}m\,\mathrm{d}\mathfrak{m}.

De modo totalmente análogo, mostra-se que a integral de Lebesgue de $M$ é igual à integral superior de Riemann de $f$ . ∎

Estamos em condições agora de provar o resultado principal desta seção.

2.6.9 Proposição.

Seja $B$ um bloco retangular $n$ -dimensional com $|B|>0$ e seja $f:B\to\mathds{R}$ uma função limitada. Então:

(a)

$f$ é Riemann integrável se e somente se o conjunto das descontinuidades de $f$ tem medida nula;
(b)

se $f$ é Riemann integrável então $f$ é Lebesgue integrável e:

$\int_{B}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int f.$

Demonstração.

Em vista do Corolário 2.6.8, $f$ é Riemann integrável se e somente se:

\int_{B}m\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{B}M\,\mathrm{d}\mathfrak{m}.

Como $m\leq M$ , o resultado do Exercício 2.22 implica que $f$ é Riemann integrável se e somente se $M=m$ quase sempre. O item (a) segue portanto do Lema 2.6.6. Passemos à demonstraçao do item (b). Suponha que $f$ é Riemann integrável. Então $M=m$ quase sempre e de (2.6.5) segue que $m=f=M$ quase sempre. O resultado do item (b) do Exercício 2.8 implica então que $f$ é mensurável; além do mais:

\int_{B}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{B}m\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\raise 2.0% pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{-}f=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!% \!\int f.\qed

2.6.1. A integral imprópria de Riemann

Na Definição 2.6.5 introduzimos a noção de integral de Riemann para funções limitadas definidas em blocos retangulares. A noção de integral de Riemann pode ser estendida para contextos mais gerais, envolvendo funções não limitadas definidas em domínios não limitados. Tais extensões são normalmente conhecidas como integrais impróprias de Riemann e são definidas através de limites de integrais próprias (i.e., integrais de funções limitadas em conjuntos limitados).

2.6.10 Notação.

Seja $[a,b]\subset\mathds{R}$ um intervalo com $a<b$ . Se $f$ é uma função a valores reais definida num conjunto que contém $[a,b]$ e se $f|_{[a,b]}$ é limitada e Riemann integrável então a integral de Riemann de $f|_{[a,b]}$ será denotada por:

\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{a}^{b}f.

2.6.11 Definição.

\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{a}^{+\infty}f=\lim_{u\to\infty}% \raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{a}^{u}f,

desde que o limite acima exista em $\overline{\mathds{R}}$ . Quando esse limite é finito, dizemos que a integral imprópria de $f$ é convergente.

2.6.12 Proposição.

Seja $f:\left[a,+\infty\right[\to\mathds{R}$ uma função tal que para todo $u\in\left]a,+\infty\right[$ , a restrição de $f$ ao intervalo $[a,u]$ é limitada e Riemann integrável. Então $f$ é mensurável. Além do mais, se $f$ é Lebesgue quase integrável então a integral imprópria de Riemann de $f$ existe em $\overline{\mathds{R}}$ e:

\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{a}^{+\infty}f=\int_{a}^{+\infty}% f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}.

(2.6.9)

Demonstração.

Seja $(u_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência arbitrária em $\left]a,+\infty\right[$ tal que $u_{n}\to+\infty$ . Pela Proposição 2.6.9, a restrição de $f$ ao intervalo $[a,u_{n}]$ é Lebesgue integrável e:

\int_{a}^{u_{n}}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}% \!\!\int_{a}^{u_{n}}f,

(2.6.10)

para todo $n\geq 1$ . Obviamente:

\lim_{n\to\infty}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle[a,u_{n}]$}}=f;

como $f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle[a,u_{n}]$}}$ é mensurável para todo $n\geq 1$ , concluímos que $f$ é mensurável. Em vista de (2.6.10), para mostrar (2.6.9), é suficiente mostrar que:

\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{u_{n}}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{a}^{+\infty}f% \,\mathrm{d}\mathfrak{m},

(2.6.11)

para toda seqüência $(u_{n})_{n\geq 1}$ em $\left]a,+\infty\right[$ com $u_{n}\to+\infty$ . Verifiquemos (2.6.11) primeiramente no caso em que $f$ é não negativa. Pelo Lema de Fatou, temos:

\int_{a}^{+\infty}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{a}^{+\infty}\liminf_{n\to% \infty}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle[a,u_{n}]$}}\,\mathrm{d}\mathfrak% {m}\leq\liminf_{n\to\infty}\int_{a}^{+\infty}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle[a,u_{n}]$}}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}\\ =\liminf_{n\to\infty}\int_{a}^{u_{n}}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}.

Por outro lado, $\int_{a}^{u_{n}}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}\leq\int_{a}^{+\infty}f\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}$ para todo $n\geq 1$ , donde:

\int_{a}^{+\infty}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}\leq\liminf_{n\to\infty}\int_{a}^{u% _{n}}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}\leq\limsup_{n\to\infty}\int_{a}^{u_{n}}f\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}\leq\int_{a}^{+\infty}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m},

provando (2.6.11) no caso $f\geq 0$ . Em geral, se $f:\left[a,+\infty\right[\to\mathds{R}$ é uma função quase integrável qualquer então (2.6.11) é satisfeita para $f^{+}$ e $f^{-}$ , ou seja:

\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{u_{n}}f^{+}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{a}^{+% \infty}f^{+}\,\mathrm{d}\mathfrak{m},\quad\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{u_{n}}f^{% -}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{a}^{+\infty}f^{-}\,\mathrm{d}\mathfrak{m};

a conclusão é obtida subtraindo as duas igualdades acima. ∎

Resultados análogos aos da Proposição 2.6.12 podem ser mostrados para outros tipos de integrais impróprias de Riemann (por exemplo, integrais de funções ilimitadas em intervalos limitados). O passo central da demonstração de tais resultados é dado pelo resultado do Exercício 2.29. Note, por exemplo, que o resultado desse exercício pode ser usado para justificar a igualdade (2.6.11) na demonstração da Proposição 2.6.12.

2.6.13 Exemplo.

É possível que uma função $f:\left[a,+\infty\right[\to\mathds{R}$ admita uma integral imprópria de Riemann convergente mas não seja Lebesgue quase integrável. Considere a função $f:\left[0,+\infty\right[\to\mathds{R}$ definida por:

f(x)=\frac{\mathrm{sen}\,x}{x},

para $x>0$ e $f(0)=1$ . Temos que $f$ é contínua e portanto $f|_{[0,u]}$ é limitada e Riemann integrável para todo $u\in\left]0,+\infty\right[$ . Temos que $f$ se anula nos pontos $k\pi$ , com $k$ inteiro positivo, $f$ é positiva nos intervalos da forma $\left]k\pi,(k+1)\pi\right[$ com $k$ inteiro positivo par e $f$ é negativa nos intervalos da forma $\left]k\pi,(k+1)\pi\right[$ com $k$ inteiro positivo ímpar. Para cada inteiro $k\geq 0$ , seja:

a_{k}=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|f|\,\mathrm{d}\mathfrak{m}\geq 0.

Em vista do resultado do Exercício 2.14 temos:

\int_{0}^{+\infty}f^{+}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\sum_{\begin{subarray}{c}k=0\\ \text{$k$ par}\end{subarray}}^{\infty}a_{k},\quad\int_{0}^{+\infty}f^{-}\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}=\sum_{\begin{subarray}{c}k=1\\ \text{$k$ ímpar}\end{subarray}}^{\infty}a_{k}.

(2.6.12)

Além do mais:

\int_{0}^{n\pi}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a_{k},

e portanto:

\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n\pi}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\lim_{n\to\infty}% \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a_{k}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}a_{k}.

Façamos algumas estimativas sobre os números $a_{k}$ . Para $x\in[k\pi,(k+1)\pi]$ , temos $\big{|}\frac{\mathrm{sen}\,x}{x}\big{|}\leq\frac{1}{k\pi}$ e portanto:

a_{k}\leq\frac{1}{k\pi}\big{(}(k+1)\pi-k\pi\big{)}=\frac{1}{k},

para todo $k\geq 1$ . Segue que $a_{k}\to 0$ . Vamos mostrar que a seqüência $(a_{k})_{k\geq 0}$ é decrescente. Temos:

a_{k+1}=\int_{(k+1)\pi}^{(k+2)\pi}\Big{|}\frac{\mathrm{sen}\,x}{x}\Big{|}\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\Big{|}\frac{\mathrm{sen}(x+% \pi)}{x+\pi}\Big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\\ =\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\Big{|}\frac{\mathrm{sen}\,x}{x+\pi}\Big{|}\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(x)\leq\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\Big{|}\frac{\mathrm{sen}\,x}{x}\Big{% |}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=a_{k};

a segunda igualdade acima pode ser justificada fazendo a mudança de variável $y=x-\pi$ na integral de Riemann $\raise 2.0pt\hbox{$\scriptscriptstyle(R)$}\!\int_{(k+1)\pi}^{(k+2)\pi}\big{|}% \frac{\mathrm{sen}\,x}{x}\big{|}\,\mathrm{d}x$ ou utilizando o resultado do Exercício 2.16 e o fato que a função $x\mapsto x+\pi$ preserva medida (veja Lema 1.4.10 e Definição 2.1). Como a seqüência $(a_{k})_{k\geq 0}$ é decrescente e tende a zero, segue do critério de Dirichlet (ou critério da série alternada) que a série $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}a_{k}$ converge; defina:

\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}a_{k}=L\in\mathds{R}.

Vamos mostrar agora que:

\lim_{u\to+\infty}\int_{0}^{u}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=L.

(2.6.13)

Dado $\varepsilon>0$ , temos que existe $n_{0}$ tal que:

\Big{|}L-\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}\Big{|}<\frac{\varepsilon}{2},

para todo $n\geq n_{0}$ . Podemos escolher $n_{0}$ também de modo que:

a_{n}<\frac{\varepsilon}{2},

para todo $n\geq n_{0}$ . Dado $u\in\mathds{R}$ , $u\geq n_{0}\pi$ , seja $n\geq n_{0}$ o maior inteiro tal que $n\pi\leq u$ ; daí $n\pi\leq u<(n+1)\pi$ e:

\int_{0}^{u}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{0}^{(n+1)\pi}f\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}-\int_{u}^{(n+1)\pi}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{% k}a_{k}-\int_{u}^{(n+1)\pi}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}.

Daí:

\Big{|}L-\int_{0}^{u}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}\Big{|}\leq\Big{|}L-\sum_{k=0}^{% n}(-1)^{k}a_{k}\Big{|}+\Big{|}\int_{u}^{(n+1)\pi}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}\Big% {|}\\ \leq\Big{|}L-\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}\Big{|}+a_{n}<\varepsilon,

para todo $u\geq n_{0}\pi$ . Isso prova (2.6.13). Concluímos então que:

\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{0}^{+\infty}f=L\in\mathds{R}.

Vamos agora mostrar que $f$ não é Lebesgue quase integrável. Para isso, fazemos uma estimativa inferior para os números $a_{k}$ . Dado um inteiro $k\geq 0$ então, para $k\pi+\frac{\pi}{4}\leq x\leq(k+1)\pi-\frac{\pi}{4}$ temos:

|\mathrm{sen}\,x|\geq\frac{\sqrt{2}}{2},\quad\Big{|}\frac{\mathrm{sen}\,x}{x}% \Big{|}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\,\frac{1}{(k+1)\pi},

e portanto:

a_{k}=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|f|\,\mathrm{d}\mathfrak{m}\geq\int_{k\pi+\frac{% \pi}{4}}^{(k+1)\pi-\frac{\pi}{4}}\Big{|}\frac{\mathrm{sen}\,x}{x}\Big{|}\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\,\frac{1}{(k+1)\pi}\,\frac{\pi% }{2}.

Segue que as séries em (2.6.12) são divergentes e portanto:

\int_{0}^{+\infty}f^{+}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=+\infty=\int_{0}^{+\infty}f^{-% }\,\mathrm{d}\mathfrak{m}.

Logo $f$ não é Lebesgue quase integrável.

No Exercício 2.32 pedimos ao leitor para computar explicitamente o valor da integral imprópria de Riemann $\raise 2.0pt\hbox{$\scriptscriptstyle(R)$}\!\int_{0}^{+\infty}f$ da função $f$ do Exemplo 2.6.13.