2.7. Mais sobre Convergência de Seqüências de Funções

Recorde que, dado um conjunto $X$ , uma seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ de funções $f_{n}:X\to\overline{\mathds{R}}$ e uma função $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ , dizemos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge pontualmente para $f$ e escrevemos $f_{n}\to f$ quando $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)$ , para todo $x\in X$ . Se as funções $f_{n}$ e $f$ tomam valores em $\mathds{R}$ , isso significa que para todo $x\in X$ e todo $\varepsilon>0$ , existe $n_{0}\geq 1$ (possivelmente dependendo de $x$ ) tal que $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ , para todo $n\geq n_{0}$ ; dizemos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente para $f$ e escrevemos $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f$ , se para todo $\varepsilon>0$ existe $n_{0}\geq 1$ tal que $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ , para todo $n\geq n_{0}$ e todo $x\in X$ . Alternativamente, temos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente para $f$ se:

\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X}\big{|}f_{n}(x)-f(x)\big{|}=0.

Obviamente convergência uniforme implica em convergência pontual.

Em teoria da medida, estamos em geral mais interessados em conceitos que desprezem tudo aquilo que ocorre em conjuntos de medida nula. Recorde que se $(X,\mathcal{A},\mu)$ é um espaço de medida e se $(f_{n})_{n\geq 1}$ é uma seqüência de funções $f_{n}:X\to\overline{\mathds{R}}$ , então dizemos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge para $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ pontualmente quase sempre e escrevemos $f_{n}\to f$ q. s. quando existe $X^{\prime}\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(X\setminus X^{\prime})=0$ e $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)$ , para todo $x\in X^{\prime}$ . Precisamos agora de uma versão da noção de convergência uniforme que ignore conjuntos de medida nula. Temos a seguinte:

2.7.1 Definição.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$ uma função. Dizemos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge para $f$ uniformemente quase sempre e escrevemos $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f$ q. s. se existe $X^{\prime}\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(X\setminus X^{\prime})=0$ e tal que $f_{n}|_{X^{\prime}}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f|_{X^{\prime}}$ .

Evidentemente, convergência uniforme quase sempre implica em convergência pontual quase sempre.

2.7.2 Exemplo.

Seja $(A_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de subconjuntos de $\mathds{R}$ de medida nula e seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ a seqüência de funções $f_{n}:\mathds{R}\to\mathds{R}$ definida por $f_{n}=\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle A_{n}$}}$ , para todo $n\geq 1$ . Temos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente quase sempre para a função nula. De fato, tomando $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$ então $A$ tem medida nula e todas as funções $f_{n}$ são identicamente nulas no complementar de $A$ .

2.7.3 Exemplo.

Seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ a seqüência de funções $f_{n}:[0,1]\to\mathds{R}$ definida por $f_{n}(x)=x^{n}$ , para todo $n\geq 1$ e todo $x\in[0,1]$ . Temos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge pontualmente para a função $f=\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle\{1\}$}}$ . Vamos determinar para quais subconjuntos $S$ de $[0,1]$ tem-se $f_{n}|_{S}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f|_{S}$ . Temos:

\big{|}f_{n}(x)-f(x)\big{|}=\begin{cases}0,&\text{se $x=1$},\\ x^{n},&\text{se $x\in\left[0,1\right[$}.\end{cases}

Daí, se $S\subset[0,1]$ não está contido em $\{1\}$ , temos:

\sup_{x\in S}\big{|}f_{n}(x)-f(x)\big{|}=\sup_{x\in S\setminus\{1\}}x^{n}=\big% {[}\sup\big{(}S\setminus\{1\}\big{)}\big{]}^{n}.

Logo $f_{n}|_{S}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f|_{S}$ se e somente se $1$ não é um ponto de acumulação do conjunto $S$ . Concluímos que não é o caso que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente quase sempre para $f$ ; de fato, se $S\subset[0,1]$ é tal que $f_{n}|_{S}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f|_{S}$ então $[0,1]\setminus S$ contém um intervalo da forma $\left]1-\varepsilon,1\right[$ , $\varepsilon>0$ , e em particular o conjunto $[0,1]\setminus S$ não tem medida nula. Note, no entanto, que para todo $\varepsilon>0$ a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente para $f$ em $[0,1-\varepsilon]$ .

Os Exemplos 2.7.2 e 2.7.3 ilustram que a definição de convergência uniforme quase sempre não é tão interessante. A seguinte definição é mais interessante.

2.7.4 Definição.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$ uma função. Dizemos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge para $f$ quase uniformemente e escrevemos $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{qu}\;}f$ se para todo $\varepsilon>0$ existe $A\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(A)<\varepsilon$ e $f_{n}|_{A^{\mathrm{c}}}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f|_{A^{\mathrm{c}}}$ .

Evidentemente, convergência uniforme quase sempre implica em convergência quase uniforme.

2.7.5 Exemplo.

A seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ do Exemplo 2.7.3 converge quase uniformemente para $f$ , mas não converge uniformemente quase sempre.

2.7.6 Lema.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$ uma função. Se $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{qu}\;}f$ então $f_{n}\to f$ pontualmente quase sempre.

Demonstração.

Para todo $k\geq 1$ , existe $A_{k}\subset X$ mensurável com $\mu(A_{k})<\frac{1}{k}$ tal que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente para $f$ em $A_{k}^{\mathrm{c}}$ . Daí $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)$ para todo $x\in\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{\mathrm{c}}$ ; mas:

\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{\mathrm{c}}=\Big{(}\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}% \Big{)}^{\mathrm{c}}

e obviamente $\mu\big{(}\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\big{)}=0$ . Logo $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge para $f$ pontualmente quase sempre. ∎

Para espaços de medida finita, temos o surpreendente fato de que a recíproca do Lema 2.7.6 é válida.

2.7.7 Teorema (Egoroff).

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e sejam $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$ uma função mensurável. Se $\mu(X)<+\infty$ e $f_{n}\to f$ pontualmente quase sempre então $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{qu}\;}f$ .

Demonstração.

Se $x\in X$ é tal que $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)$ então para todo $k\geq 1$ existe $n_{0}\geq 1$ tal que $|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{1}{k}$ , para todo $n\geq n_{0}$ ; em outras palavras, para todo $k\geq 1$ , $x$ pertence ao conjunto:

\bigcup_{n_{0}=1}^{\infty}\bigcap_{n=n_{0}}^{\infty}\big{\{}y\in X:\big{|}f_{n% }(y)-f(y)\big{|}<\tfrac{1}{k}\big{\}}.

(2.7.1)

Como $f_{n}\to f$ q. s., vemos que o complementar de (2.7.1) tem medida nula, para todo $k\geq 1$ ; esse complementar é igual a:

\bigcap_{n_{0}=1}^{\infty}\bigcup_{n=n_{0}}^{\infty}\big{\{}y\in X:\big{|}f_{n% }(y)-f(y)\big{|}\geq\tfrac{1}{k}\big{\}}.

Temos que a seqüência de conjuntos $\bigcup_{n=n_{0}}^{\infty}\big{\{}y\in X\!:\!|f_{n}(y)-f(y)|\geq\frac{1}{k}% \big{\}}$ (indexada em $n_{0}$ ) é decrescente e portanto, como $\mu(X)<+\infty$ , temos (Lema 1.4.48):

\lim_{n_{0}\to\infty}\mu\Big{(}\bigcup_{n=n_{0}}^{\infty}\big{\{}y\in X:\big{|% }f_{n}(y)-f(y)\big{|}\geq\tfrac{1}{k}\big{\}}\Big{)}=0.

(2.7.2)

Seja $\varepsilon>0$ fixado. De (2.7.2), segue que para cada $k\geq 1$ podemos encontrar $n_{k}\geq 1$ tal que $\mu(A_{k})<\frac{\varepsilon}{2^{k}}$ , onde:

A_{k}=\bigcup_{n=n_{k}}^{\infty}\big{\{}y\in X:\big{|}f_{n}(y)-f(y)\big{|}\geq% \tfrac{1}{k}\big{\}}.

Seja $A=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ ; temos $\mu(A)\leq\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_{k})<\varepsilon$ . Afirmamos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente para $f$ em $A^{\mathrm{c}}$ . De fato, para todo $k\geq 1$ e todo $x\in A^{\mathrm{c}}$ temos que $x\not\in A_{k}$ , o que significa que $|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{1}{k}$ , para todo $n\geq n_{k}$ . Isso completa a demonstração. ∎

2.7.8 Exemplo.

Seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ a seqüência de funções $f_{n}:\mathds{R}\to\mathds{R}$ definida por:

f_{n}(x)=\frac{x}{n},

para todo $x\in\mathds{R}$ e todo $n\geq 1$ . Temos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge pontualmente para a função nula. Dado $S\subset\mathds{R}$ , então:

\sup_{x\in S}\big{|}f_{n}(x)\big{|}=\frac{1}{n}\sup_{x\in S}|x|,

donde $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente para a função nula em $S$ se e somente se o conjunto $S$ é limitado. Mas se $A\subset\mathds{R}$ tem medida finita então $S=A^{\mathrm{c}}$ não pode ser limitado, pois se $S$ é limitado então $A=S^{\mathrm{c}}$ contém um intervalo ilimitado. Logo não é o caso que $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{qu}\;}f$ , embora $f_{n}\to f$ pontualmente. Note que não temos uma contradição com o Teorema 2.7.7, já que $\mathds{R}$ não tem medida finita.

2.7.9 Definição.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$ uma função mensurável. Dizemos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge para $f$ em medida e escrevemos $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{\mu}\;}f$ se para todo $\varepsilon>0$ temos:

\lim_{n\to\infty}\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n}(x)-f(x)\big{|}\geq% \varepsilon\big{\}}\Big{)}=0.

(2.7.3)

2.7.10 Lema.

Demonstração.

Seja $\varepsilon>0$ dado e provemos (2.7.3). Como $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{qu}\;}f$ , para todo $\eta>0$ dado, existe um conjunto mensurável $A$ com $\mu(A)<\eta$ tal que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge uniformemente para $f$ em $A^{\mathrm{c}}$ ; daí, existe $n_{0}\geq 1$ tal que $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ , para todo $x\in A^{\mathrm{c}}$ e todo $n\geq n_{0}$ . Temos então:

\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n}(x)-f(x)\big{|}\geq\varepsilon\big{\}}\subset A,

para todo $n\geq n_{0}$ , donde:

\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n}(x)-f(x)\big{|}\geq\varepsilon\big{\}}% \Big{)}<\eta,

para todo $n\geq n_{0}$ . Isso completa a demonstração. ∎

2.7.11 Exemplo.

A recíproca do Lema 2.7.10 não é verdadeira; na verdade, convergência em medida não implica sequer convergência pontual quase sempre. De fato, seja $(I_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de intervalos contidos em $[0,1]$ de modo que:

•

$\lim_{n\to\infty}\mathfrak{m}(I_{n})=0$ ;
•

para todo $x\in[0,1]$ , existem infinitos índices $n$ com $x\in I_{n}$ e infinitos índices $n$ com $x\not\in I_{n}$ .

Por exemplo, uma possível seqüência $(I_{n})_{n\geq 1}$ é:

[0,1],\big{[}0,\tfrac{1}{2}\big{]},\big{[}\tfrac{1}{2},1\big{]},\big{[}0,% \tfrac{1}{3}\big{]},\big{[}\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\big{]},\big{[}\tfrac{2}{3% },1\big{]},\ldots,\\ \big{[}0,\tfrac{1}{k}\big{]},\big{[}\tfrac{1}{k},\tfrac{2}{k}\big{]},\big{[}% \tfrac{2}{k},\tfrac{3}{k}\big{]},\ldots,\big{[}\tfrac{i}{k},\tfrac{i+1}{k}\big% {]},\ldots,\big{[}\tfrac{k-1}{k},1\big{]},\ldots

Seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ a seqüência de funções $f_{n}:[0,1]\to\mathds{R}$ definida por $f_{n}=\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle I_{n}$}}$ , para todo $n\geq 1$ . Afirmamos que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge em medida para a função nula. De fato, fixado $\varepsilon>0$ então:

\big{\{}x\in[0,1]:\big{|}f_{n}(x)\big{|}\geq\varepsilon\big{\}}\subset I_{n},

e $\lim_{n\to\infty}\mathfrak{m}(I_{n})=0$ . Logo $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{\mu}\;}0$ . No entanto, para todo $x\in[0,1]$ , temos que a seqüência $\big{(}f_{n}(x)\big{)}_{n\geq 1}$ possui uma subseqüência constante e igual a zero e uma subseqüência constante e igual a $1$ ; logo $\big{(}f_{n}(x)\big{)}_{n\geq 1}$ não converge para nenhum ponto $x\in[0,1]$ .

A recíproca do Lema 2.7.10 não vale, mas temos o seguinte:

2.7.12 Lema.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$ uma função mensurável. Se $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{\mu}\;}f$ então existe uma subseqüência $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ de $(f_{n})_{n\geq 1}$ tal que $f_{n_{k}}\xrightarrow{\;\mathrm{qu}\;}f$ ; em particular, pelo Lema 2.7.6, $f_{n_{k}}\to f$ q. s..

Demonstração.

Vamos contruir indutivamente uma seqüência de índices $(n_{k})_{k\geq 1}$ tal que $n_{1}<n_{2}<\cdots$ e tal que:

\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n_{k}}(x)-f(x)\big{|}\geq\tfrac{1}{k}\big{% \}}\Big{)}<\frac{1}{2^{k}},

para todo $k\geq 1$ . Como $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{\mu}\;}f$ , podemos escolher $n_{1}\geq 1$ tal que:

\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n_{1}}(x)-f(x)\big{|}\geq 1\big{\}}\Big{)}<% \frac{1}{2};

supondo $n_{k}$ já definido, podemos escolher $n_{k+1}>n_{k}$ tal que:

\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n_{k+1}}(x)-f(x)\big{|}\geq\tfrac{1}{k+1}% \big{\}}\Big{)}<\frac{1}{2^{k+1}}.

Obtemos assim a seqüência $(n_{k})_{k\geq 1}$ com as propriedades desejadas. Vamos mostrar que $f_{n_{k}}\xrightarrow{\;\mathrm{qu}\;}f$ . Dado $\varepsilon>0$ , devemos encontrar um conjunto mensurável $A$ de medida menor que $\varepsilon$ , de modo que $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ converge uniformemente para $f$ em $A^{\mathrm{c}}$ . Seja $t\geq 1$ de modo que:

\sum_{k=t}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2^{t-1}}\leq\varepsilon,

e tome:

A=\bigcup_{k=t}^{\infty}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n_{k}}(x)-f(x)\big{|}\geq% \tfrac{1}{k}\big{\}};

daí $\mu(A)<\sum_{k=t}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\leq\varepsilon$ . Para $x\in A^{\mathrm{c}}$ e $k\geq t$ , temos $|f_{n_{k}}(x)-f(x)|<\frac{1}{k}$ e portanto:

\sup_{x\in A^{\mathrm{c}}}\big{|}f_{n_{k}}(x)-f(x)\big{|}\leq\frac{1}{k},

para todo $k\geq t$ . Segue então que $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ converge uniformemente para $f$ em $A^{\mathrm{c}}$ . ∎

A cada uma das noções de convergência que consideramos até agora está associada uma correspondente noção de seqüência de Cauchy. Enunciamos a seguinte:

2.7.13 Definição.

Seja $X$ um conjunto e $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções $f_{n}:X\to\mathds{R}$ . Dizemos que:

•

a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ é pontualmente de Cauchy se para todo $x\in X$ a seqüência $\big{(}f_{n}(x)\big{)}_{n\geq 1}$ é de Cauchy em $\mathds{R}$ ;
•

a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ é uniformemente de Cauchy se para todo $\varepsilon>0$ existe $n_{0}\geq 1$ tal que $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon$ , para todos $n,m\geq n_{0}$ e todo $x\in X$ .

Se $(X,\mathcal{A},\mu)$ é um espaço de medida, dizemos que:

•

a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ é pontualmente de Cauchy quase sempre se para quase todo $x\in X$ a seqüência $\big{(}f_{n}(x)\big{)}_{n\geq 1}$ é de Cauchy em $\mathds{R}$ , i.e., se existe $X^{\prime}\in\mathcal{A}$ com $\mu(X\setminus X^{\prime})=0$ tal que $\big{(}f_{n}(x)\big{)}_{n\geq 1}$ é de Cauchy em $\mathds{R}$ para todo $x\in X^{\prime}$ ;
•

a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ é uniformemente de Cauchy quase sempre se existe $X^{\prime}\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(X\setminus X^{\prime})=0$ e tal que a seqüência $(f_{n}|_{X^{\prime}})_{n\geq 1}$ é uniformemente de Cauchy;
•

a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ é quase uniformemente de Cauchy se para todo $\varepsilon>0$ existe $A\in\mathcal{A}$ com $\mu(A)<\varepsilon$ de modo que a seqüência $(f_{n}|_{A^{\mathrm{c}}})_{n\geq 1}$ é uniformemente de Cauchy.

Supondo também que as funções $f_{n}$ são todas mensuráveis, dizemos que a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ é de Cauchy em medida se para todo $\varepsilon>0$ e todo $\eta>0$ , existe $n_{0}\geq 1$ tal que:

\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n}(x)-f_{m}(x)\big{|}\geq\varepsilon\big{\}% }\Big{)}<\eta,

para todos $n,m\geq n_{0}$ .

Evidentemente, toda seqüência uniformemente de Cauchy (resp., quase sempre) é pontualmente de Cauchy (resp., quase sempre) e toda seqüência pontualmente convergente (resp., quase sempre) é pontualmente de Cauchy (resp., quase sempre). Além do mais, se $(f_{n})_{n\geq 1}$ é uma seqüência pontualmente de Cauchy então existe uma (única) função $f$ tal que $f_{n}\to f$ pontualmente. Outras propriedades simples dos vários tipos de seqüências de Cauchy definidos acima são exploradas nos Exercícios 2.34, 2.35, 2.36, 2.37, 2.38, 2.39.

Temos a seguinte versão do Lema 2.7.12 para seqüências de Cauchy.

2.7.14 Lema.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\mathds{R}$ que seja de Cauchy em medida. Então existe uma subseqüência $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ de $(f_{n})_{n\geq 1}$ que é quase uniformemente de Cauchy; em particular, pelo resultado dos Exercícios 2.34, 2.35 e 2.36, $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ converge quase uniformemente (e também converge pontualmente quase sempre) para uma função mensurável $f:X\to\mathds{R}$ .

Demonstração.

Vamos contruir indutivamente uma seqüência de índices $(n_{k})_{k\geq 1}$ tal que $n_{1}<n_{2}<\cdots$ e tal que:

\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n_{k}}(x)-f_{n_{k+1}}(x)\big{|}\geq\tfrac{1% }{2^{k}}\big{\}}\Big{)}<\frac{1}{2^{k}},

(2.7.4)

para todo $k\geq 1$ . Como $(f_{n})_{n\geq 1}$ é de Cauchy em medida, podemos escolher $n_{1}\geq 1$ tal que:

\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n}(x)-f_{m}(x)\big{|}\geq\tfrac{1}{2}\big{% \}}\Big{)}<\frac{1}{2},

para todos $n,m\geq n_{1}$ . Supondo $n_{k}$ já definido, escolhemos $n_{k+1}>n_{k}$ tal que:

\mu\Big{(}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n}(x)-f_{m}(x)\big{|}\geq\tfrac{1}{2^{k+1}}% \big{\}}\Big{)}<\frac{1}{2^{k+1}},

para todos $n,m\geq n_{k+1}$ . É fácil ver que a seqüência $(n_{k})_{n\geq 1}$ assim construída satisfaz (2.7.4), para todo $k\geq 1$ . Vamos mostrar que a seqüência $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ é quase uniformemente de Cauchy. Seja dado $\varepsilon>0$ ; escolha $t\geq 1$ com:

\sum_{k=t}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2^{t-1}}\leq\varepsilon

e defina:

A=\bigcup_{k=t}^{\infty}\big{\{}x\in X:\big{|}f_{n_{k}}(x)-f_{n_{k+1}}(x)\big{% |}\geq\tfrac{1}{2^{k}}\big{\}}.

Claramente, $\mu(A)<\sum_{k=t}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\leq\varepsilon$ . Vamos mostrar que a seqüência $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ é uniformemente de Cauchy em $A^{\mathrm{c}}$ . Se $x\in A^{\mathrm{c}}$ então:

\big{|}f_{n_{k}}(x)-f_{n_{k+1}}(x)\big{|}<\frac{1}{2^{k}},

para todo $k\geq t$ . Daí, se $l\geq k\geq t$ , temos:

\big{|}f_{n_{k}}(x)-f_{n_{l}}(x)\big{|}\leq\sum_{i=k}^{l-1}\big{|}f_{n_{i}}(x)% -f_{n_{i+1}}(x)\big{|}\leq\sum_{i=k}^{l-1}\frac{1}{2^{i}}<\sum_{i=k}^{\infty}% \frac{1}{2^{i}}=\frac{1}{2^{k-1}},

para todo $x\in A^{\mathrm{c}}$ . Conclui-se então que a seqüência $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ é uniformemente de Cauchy em $A^{\mathrm{c}}$ ; de fato, dado $\eta>0$ , escolhemos $k_{0}\geq t$ com $\frac{1}{2^{k_{0}-1}}\leq\eta$ e daí:

\big{|}f_{n_{k}}(x)-f_{n_{l}}(x)\big{|}<\frac{1}{2^{k_{0}-1}}\leq\eta,

para todo $x\in A^{\mathrm{c}}$ e todos $k,l\geq k_{0}$ . ∎

2.7.15 Corolário.

Toda seqüência de Cauchy em medida de funções mensuráveis converge em medida para alguma função mensurável.

Demonstração.

Se $(f_{n})_{n\geq 1}$ é de Cauchy em medida então, pelo Lema 2.7.14, existe uma subseqüência $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ que converge quase uniformemente para uma função mensurável $f$ . Mas, pelo Lema 2.7.10, isso implica que $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ converge em medida para $f$ . Segue então do resultado do Exercício 2.40 que $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge em medida para $f$ . ∎