Exercícios para o Capítulo 3

Dados pontos $p_{1},\ldots,p_{n+1}\in\mathds{R}^{n}$, então o simplexo de vértices $p_{1},\ldots,p_{n+1}$ é definido por:

Mostre que o simplexo (3.4.3) é mensurável e determine uma expressão para a sua medida de Lebesgue.

Dados $(x_{0},y_{0})\in\mathds{R}^{2}$ e $r>0$, mostre que o disco:

é mensurável e determine sua medida de Lebesgue.

Considere a aplicação $\phi:\left]0,+\infty\right[\times\mathds{R}\to\mathds{R}^{2}$ definida por:

para todos $\rho\in\left]0,+\infty\right[$, $\theta\in\mathds{R}$.

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  Calcule $\det\mathrm{d}\phi(\rho,\theta)$.

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  Se $A=\left]0,1\right]\times[0,4\pi]$ e $f:\mathds{R}^{2}\to\mathds{R}$ denota a função constante e igual a $1$, calcule as integrais:

  $$\int_{\phi(A)}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y),\quad\int_{A}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(\rho,\theta)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(\rho,\theta).$$
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  Explique o que está acontecendo, em vista do Teorema 3.3.1.

Seja $A$ um subconjunto de $\mathds{R}^{n}$ e $p=(p_{1},\ldots,p_{n+1})$ um ponto de $\mathds{R}^{n+1}$ com $p_{n+1}\neq 0$. Identifiquemos $\mathds{R}^{n+1}$ com o produto $\mathds{R}^{n}\times\mathds{R}$. O cone de base $A$ e vértice $p$ é definido por:

Considere a função $\phi:\mathds{R}^{n}\times\left]0,1\right[\to\mathds{R}^{n+1}$ definida por:

para todos $x\in\mathds{R}^{n}$, $t\in\left]0,1\right[$. Mostre que:

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  $\phi$ é injetora, de classe $C^{1}$ e $\det\mathrm{d}\phi(x,t)=(1-t)^{n}p_{n+1}$, para todos $x\in\mathds{R}^{n}$, $t\in\left]0,1\right[$;

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  se $A$ é mensurável então o cone $C(A,p)$ é mensurável e sua medida de Lebesgue é dada por:

  $$\mathfrak{m}\big{(}C(A,p)\big{)}=\frac{\mathfrak{m}(A)|p_{n+1}|}{n+1}.$$

Mostre que:

onde $Q=\left[0,+\infty\right[\times\left[0,+\infty\right[$; use essa identidade, juntamente com uma mudança de variáveis apropriada, para calcular a integral $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)$.