3.2. O Efeito de Aplicações Lineares sobre a Medida de Lebesgue

O objetivo desta seção é provar o seguinte:

3.2.1 Teorema.

Seja $T:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ uma aplicação linear. Para todo subconjunto mensurável $A$ de $\mathds{R}^{n}$ temos que $T(A)$ é mensurável e:

\mathfrak{m}\big{(}T(A)\big{)}=|\det T|\,\mathfrak{m}(A).

(3.2.1)

Em (3.2.1) denotamos por $\det T$ o determinante de $T$ , ou seja, o determinante da matriz que representa $T$ na base canônica de $\mathds{R}^{n}$ . No que segue, sempre identificaremos aplicações lineares de $\mathds{R}^{m}$ em $\mathds{R}^{n}$ com as respectivas matrizes $n\times m$ que as representam com respeito às bases canônicas.

O restante da seção é dedicado à demonstração do Teorema 3.2.1. Note que a mensurabilidade de $T(A)$ já é garantida pelo Corolário 3.1.13. Note também que se $T$ não é inversível então o Teorema 3.2.1 segue do Corolário 3.1.9, já que a imagem de $T$ é um subespaço próprio de $\mathds{R}^{n}$ e $\det T=0$ . Se $T$ é inversível, a estratégia da prova do Teorema 3.2.1 é a seguinte. Inicialmente, observamos que se $T_{1}:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ e $T_{2}:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ são aplicações lineares tais que a igualdade (3.2.1) vale para $T=T_{1}$ e para $T=T_{2}$ , para todo subconjunto mensurável $A$ de $\mathds{R}^{n}$ , então a igualdade (3.2.1) também vale para $T=T_{1}T_{2}$ ; de fato, dado $A\subset\mathds{R}^{n}$ mensurável, temos:

\mathfrak{m}\big{(}(T_{1}T_{2})(A)\big{)}=|\det T_{1}|\,\mathfrak{m}\big{(}T_{% 2}(A)\big{)}=|\det T_{1}|\,|\det T_{2}|\,\mathfrak{m}(A)\\ =|\det(T_{1}T_{2})|\,\mathfrak{m}(A).

A seguir, selecionamos alguns tipos de aplicações lineares que chamaremos de elementares; mostraremos então que a igualdade (3.2.1) vale para aplicações lineares elementares e que toda aplicação linear inversível pode ser escrita como um produto de aplicações lineares elementares.

3.2.2 Definição.

Uma aplicação linear $E:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ é dita elementar quando é de um dos seguintes tipos:

tipo 1.

$E=L_{i,j;c}$ , onde $i,j=1,\ldots,n$ são distintos, $c\in\mathds{R}$ e:

$L_{i,j;c}(x_{1},\ldots,x_{i},\ldots,x_{j},\ldots,x_{n})=(x_{1},\ldots,x_{i}+cx% _{j},\ldots,x_{j},\ldots,x_{n});$ (3.2.2)
tipo 2.

$E=\widehat{\sigma}$ , onde $\sigma:\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}$ é uma bijeção e:

$\widehat{\sigma}(x_{1},\ldots,x_{n})=(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)});$ (3.2.3)
tipo 3.

$E=D_{\lambda}$ , onde $\lambda=(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})\in\mathds{R}^{n}$ , $\lambda_{i}\neq 0$ para $i=1,\ldots,n$ e:

$D_{\lambda}(x_{1},\ldots,x_{n})=(\lambda_{1}x_{1},\ldots,\lambda_{n}x_{n}).$ (3.2.4)

Obviamente as expressões (3.2.2), (3.2.3) e (3.2.4) definem isomorfismos lineares de $\mathds{R}^{n}$ ; em (3.2.2) escrevemos a definição de $L_{i,j;c}$ assumindo que $i<j$ , mas obviamente uma fórmula análoga define $L_{i,j;c}$ se $i>j$ . O efeito da multiplicação à esquerda de uma matriz $T$ por uma matriz que representa uma aplicação linear elementar $E$ nos dá o que chamamos de uma transformação elementar de matrizes; mais explicitamente, se $T$ é uma matriz $n\times n$ cujas linhas são vetores $\ell_{1},\ldots,\ell_{n}\in\mathds{R}^{n}$ e se $E$ é uma aplicação linear elementar então $ET$ é a matriz cujas linhas são:

•

$\ell_{1},\ldots,\ell_{i}+c\ell_{j},\ldots,\ell_{j},\ldots,\ell_{n}$ , se $E=L_{i,j;c}$ ;
•

$\ell_{\sigma(1)},\ldots,\ell_{\sigma(n)}$ , se $E=\widehat{\sigma}$ ;
•

$\lambda_{1}\ell_{1},\ldots,\lambda_{n}\ell_{n}$ , se $E=D_{\lambda}$ .

As transformações elementares de matrizes associadas à multicação à esquerda por uma aplicação elementar de tipos 1, 2 e 3 serão respectivamente chamadas de transformações elementares de tipos 1, 2 e 3.

O seguinte resultado é padrão em textos elementares de Álgebra Linear.

3.2.3 Lema.

Se $T:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ é uma aplicação linear inversível então existe uma seqüência finita de transformações elementares de matrizes que leva $T$ até a matriz identidade.

Demonstração.

Fazemos uma descrição sucinta do algorítmo que é conhecido como escalonamento de matrizes. Em primeiro lugar, como $T$ é inversível então algum elemento da primeira coluna de $T$ é não nulo; realizando uma transformação elementar de tipo 2, podemos assumir que o elemento $T_{11}$ é não nulo e depois realizando uma transformação elementar de tipo 3 podemos assumir que $T_{11}=1$ . Agora, uma seqüência de $n-1$ transformações elementares de tipo 1 nos permite anular os elementos $T_{j1}$ , com $j=2,\ldots,n$ . Nesse ponto, a primeira coluna de $T$ coincide com o primeiro vetor da base canônica de $\mathds{R}^{n}$ ; daí a submatriz de $T$ obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna é inversível e podemos portanto repetir o algorítmo recursivamente na mesma. Obteremos então uma matriz $T$ triangular superior em que todos os elementos da diagonal são iguais a $1$ . Podemos agora realizar uma seqüência de $\frac{n(n-1)}{2}$ transformações elementares de tipo 1 para anular os elementos de $T$ que estão acima da diagonal, obtendo assim a matriz identidade. ∎

3.2.4 Corolário.

Toda aplicação linear inversível $T:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ é um produto de aplicações lineares elementares.

Demonstração.

Segue do Lema 3.2.3 que existem aplicações lineares elementares $E_{1}$ , …, $E_{k}$ de modo que $E_{1}\cdots E_{k}T$ é igual à matriz identidade. Daí $T=E_{k}^{-1}\cdots E_{1}^{-1}$ . A conclusão segue da observação simples de que a inversa de uma aplicação linear elementar é novamente uma aplicação linear elementar (de mesmo tipo). ∎

Em vista do Corolário 3.2.4 e das observações feitas anteriormente nesta seção, temos que a demonstração do Teorema 3.2.1 ficará concluída assim que demonstrarmos o seguinte:

3.2.5 Lema.

Se $T:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ é uma aplicação linear elementar então a igualdade (3.2.1) vale para todo subconjunto mensurável $A$ de $\mathds{R}^{n}$ .

Demonstração.

Se $T$ é de tipo 2 ou 3 então a tese do lema segue respectivamente dos resultados dos Exercícios 1.11 e 1.12 (note que as aplicações lineares elementares de tipo 2 tem determinante igual a $\pm 1$ ). Resta então considerar o caso em que $T$ é uma aplicação linear elementar de tipo 1. É fácil verificar que se $\sigma:\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}$ é uma bijeção então:

\widehat{\sigma}^{-1}L_{i,j;c}\,\widehat{\sigma}=L_{\sigma(i),\sigma(j);c},

para todos $i,j=1,\ldots,n$ distintos e todo $c\in\mathds{R}$ . Podemos então reduzir a demonstração do lema apenas ao caso em que $T=L_{n,1;c}$ , $c\in\mathds{R}$ . No que segue, identificamos $\mathds{R}^{n}$ com o produto $\mathds{R}^{n-1}\times\mathds{R}$ e usamos a notação da Seção 2.8; a aplicação $T$ escreve-se na forma:

T(x,y)=(x,y+cx_{1}),\quad x\in\mathds{R}^{n-1},\ y\in\mathds{R}.

Dado $A\subset\mathds{R}^{n}$ então para todo $x\in\mathds{R}^{n-1}$ , a fatia vertical $T(A)_{x}$ do conjunto $T(A)$ coincide com a translação $A_{x}+cx_{1}$ da fatia vertical $A_{x}$ de $A$ . Se $A$ é mensurável, temos que $T(A)$ também é mensurável (vide Corolário 3.1.13); segue então da Proposição 2.8.3 que:

\mathfrak{m}\big{(}T(A)\big{)}=\int_{\mathds{R}^{n-1}}\mathfrak{m}\big{(}T(A)_% {x}\big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{\mathds{R}^{n-1}}\mathfrak{m}(A_{x% }+cx_{1})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\\ =\int_{\mathds{R}^{n-1}}\mathfrak{m}(A_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=% \mathfrak{m}(A),

onde na terceira igualdade usamos o Lema 1.4.10. Como $T$ é uma matriz triangular com elementos da diagonal iguais a $1$ , temos que $\det T=1$ e portanto a igualdade (3.2.1) fica demonstrada. ∎