3.1. O Efeito de Aplicações Lipschitzianas sobre a Medida de Lebesgue

3.1.1 Notação.

Dado $x\in\mathds{R}^{n}$ , escrevemos:

\|x\|_{\infty}=\max\big{\{}|x_{i}|:i=1,\ldots,n\big{\}},

e para $x,y\in\mathds{R}^{n}$ , escrevemos:

d_{\infty}(x,y)=\|x-y\|_{\infty}=\max\big{\{}|x_{i}-y_{i}|:i=1,\ldots,n\big{\}}.

Claramente se $B$ é um cubo $n$ -dimensional com aresta $a$ (veja Definição 1.4.22) então $d_{\infty}(x,y)\leq a$ , para todos $x,y\in B$ . Provamos agora a seguinte recíproca para essa afirmação:

3.1.2 Lema.

Sejam $A\subset\mathds{R}^{n}$ e $a\geq 0$ tais que $d_{\infty}(x,y)\leq a$ , para todos $x,y\in A$ . Então $A$ está contido em um cubo $n$ -dimensional de aresta $a$ ; em particular:

\mathfrak{m}^{*}(A)\leq a^{n}.

Demonstração.

Se $A$ é vazio, não há nada para se mostrar. Senão, seja $\pi_{i}:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}$ a projeção sobre a $i$ -ésima coordenada e considere o conjunto $A_{i}=\pi_{i}(A)$ . Temos $|t-s|\leq a$ , para todos $t,s\in A_{i}$ e portanto $\sup A_{i}-\inf A_{i}\leq a$ ; se $a_{i}=\inf A_{i}$ , segue que:

A_{i}\subset[a_{i},a_{i}+a]

e portanto:

A\subset\prod_{i=1}^{n}A_{i}\subset\prod_{i=1}^{n}[a_{i},a_{i}+a].\qed

3.1.3 Definição.

Seja $\phi:X\to\mathds{R}^{n}$ uma função definida num subconjunto $X$ de $\mathds{R}^{m}$ . Dizemos que $\phi$ é Lipschitziana se existe uma constante $k\geq 0$ tal que:

d_{\infty}\big{(}\phi(x),\phi(y)\big{)}\leq k\,d_{\infty}(x,y),

para todos $x,y\in X$ . A constante $k$ é dita uma constante de Lipschitz para a função $\phi$ .

Claramente toda função Lipschitziana é (uniformemente) contínua.

3.1.4 Lema.

Seja $A$ um subconjunto de $\mathds{R}^{n}$ . Dado $\varepsilon>0$ , existe um conjunto enumerável $\mathcal{R}$ de cubos $n$ -dimensionais tal que $A\subset\bigcup_{B\in\mathcal{R}}B$ e $\sum_{B\in\mathcal{R}}|B|\leq\mathfrak{m}^{*}(A)+\varepsilon$ .

Demonstração.

Pelo Lema 1.4.12 existe um aberto $U$ em $\mathds{R}^{n}$ contendo $A$ tal que $\mathfrak{m}(U)\leq\mathfrak{m}^{*}(A)+\varepsilon$ e pelo Lema 1.4.23 existe um conjunto enumerável $\mathcal{R}$ de cubos $n$ -dimensionais com interiores dois a dois disjuntos tal que $U=\bigcup_{B\in\mathcal{R}}B$ . Daí:

\sum_{B\in\mathcal{R}}|B|=\mathfrak{m}(U)\leq\mathfrak{m}^{*}(A)+\varepsilon.\qed

3.1.5 Proposição.

Seja $\phi:X\to\mathds{R}^{n}$ uma função Lipschitziana com constante de Lipschitz $k\geq 0$ , onde $X$ é um subconjunto de $\mathds{R}^{n}$ . Então, para todo subconjunto $A$ de $X$ , temos:

\mathfrak{m}^{*}\big{(}\phi(A)\big{)}\leq k^{n}\mathfrak{m}^{*}(A).

Demonstração.

Dado $\varepsilon>0$ então, pelo Lema 3.1.4 existe um conjunto enumerável $\mathcal{R}$ de cubos $n$ -dimensionais tal que $A\subset\bigcup_{B\in\mathcal{R}}B$ e:

\sum_{B\in\mathcal{R}}|B|\leq\mathfrak{m}^{*}(A)+\varepsilon.

(3.1.1)

Daí $\phi(A)\subset\bigcup_{B\in\mathcal{R}}\phi(B\cap X)$ e portanto:

\mathfrak{m}^{*}\big{(}\phi(A)\big{)}\leq\sum_{B\in\mathcal{R}}\mathfrak{m}^{*% }\big{(}\phi(B\cap X)\big{)}.

(3.1.2)

Fixado um cubo $B\in\mathcal{R}$ então, se $a$ denota a aresta de $B$ , temos:

d_{\infty}\big{(}\phi(x),\phi(y)\big{)}\leq k\,d_{\infty}(x,y)\leq ka,

para todos $x,y\in B\cap X$ . Segue do Lema 3.1.2 que:

\mathfrak{m}^{*}\big{(}\phi(B\cap X)\big{)}\leq(ka)^{n}=k^{n}|B|.

(3.1.3)

De (3.1.1), (3.1.2) e (3.1.3) vem:

\mathfrak{m}^{*}\big{(}\phi(A)\big{)}\leq k^{n}\sum_{B\in\mathcal{R}}|B|\leq k% ^{n}\big{(}\mathfrak{m}^{*}(A)+\varepsilon\big{)}.

A conclusão segue fazendo $\varepsilon\to 0$ . ∎

3.1.6 Corolário.

Se $\phi:X\to\mathds{R}^{n}$ é uma função Lipschitziana definida num subconjunto $X$ de $\mathds{R}^{n}$ então $\phi$ leva subconjuntos de $X$ de medida nula em subconjuntos de medida nula de $\mathds{R}^{n}$ .∎

3.1.7 Observação.

Recorde que toda aplicação linear $T:\mathds{R}^{m}\to\mathds{R}^{n}$ é Lipschitziana. Mais explicitamente, se a norma da aplicação linear $T$ é definida por:

\|T\|=\sup_{\|x\|_{\infty}\leq 1}\|T(x)\|_{\infty},

(3.1.4)

então:

\|T(x)\|_{\infty}\leq\|T\|\|x\|_{\infty},

para todo $x\in\mathds{R}^{m}$ , donde segue facilmente que $\|T\|$ é uma constante de Lipschitz para $T$ . A finitude do supremo em (3.1.4) segue, por exemplo, do fato que a aplicação $x\mapsto\|T(x)\|_{\infty}$ é contínua e a bola $\big{\{}x:\|x\|_{\infty}\leq 1\big{\}}$ é compacta.

3.1.8 Corolário.

Uma aplicação linear de $\mathds{R}^{n}$ em $\mathds{R}^{n}$ leva subconjuntos de medida nula de $\mathds{R}^{n}$ em subconjuntos de medida nula de $\mathds{R}^{n}$ .

Demonstração.

Segue do Corolário 3.1.6 e da Observação 3.1.7. ∎

3.1.9 Corolário.

Todo subespaço vetorial próprio de $\mathds{R}^{n}$ tem medida nula.

Demonstração.

Se $V$ é um subespaço vetorial próprio de $\mathds{R}^{n}$ então existe uma aplicação linear $T:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ tal que $T\big{(}\mathds{R}^{n-1}\times\{0\}\big{)}=V$ ; de fato, podemos escolher uma aplicação linear $T$ que leva os $n-1$ primeiros vetores da base canônica de $\mathds{R}^{n}$ sobre uma base qualquer de $V$ (note que $\mathrm{dim}(V)\leq n-1$ ). A conclusão segue do Corolário 1.4.7 e do Corolário 3.1.8. ∎

3.1.10 Definição.

Uma função $\phi:X\to\mathds{R}^{n}$ definida num subconjunto $X$ de $\mathds{R}^{m}$ é dita localmente Lipschitziana se todo $x\in X$ possui uma vizinhança $V$ em $\mathds{R}^{m}$ tal que a função $\phi|_{V\cap X}$ é Lipschitziana.

3.1.11 Proposição.

Se $\phi:X\to\mathds{R}^{n}$ é uma função localmente Lipschitziana definida num subconjunto $X$ de $\mathds{R}^{n}$ então $\phi$ leva subconjuntos de $X$ de medida nula em subconjuntos de medida nula de $\mathds{R}^{n}$ .

Demonstração.

Para cada $x\in X$ seja $U_{x}$ um aberto em $\mathds{R}^{n}$ contendo $x$ tal que a restrição de $\phi$ a $U_{x}\cap X$ seja Lipschitziana. A cobertura aberta $X\subset\bigcup_{x\in X}U_{x}$ possui uma subcobertura enumerável $X\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}U_{x_{i}}$ . Agora, dado qualquer subconjunto $A$ de $X$ com $\mathfrak{m}(A)=0$ , segue do Corolário 3.1.6 que:

\mathfrak{m}\big{(}\phi(U_{x_{i}}\cap A)\big{)}=0,

para todo $i$ . A conclusão é obtida agora da igualdade:

\phi(A)=\bigcup_{i=1}^{\infty}\phi(U_{x_{i}}\cap A).\qed

3.1.12 Proposição.

Seja $\phi:X\to\mathds{R}^{n}$ uma função localmente Lipschitziana definida num subconjunto $X$ de $\mathds{R}^{n}$ . Então, para todo subconjunto mensurável $A$ de $\mathds{R}^{n}$ contido em $X$ , temos que $\phi(A)$ é mensurável.

Demonstração.

Como $A$ é mensurável, pelo Corolário 1.4.31, existe um subconjunto $W$ de $\mathds{R}^{n}$ de tipo $F_{\sigma}$ com $W\subset A$ e $\mathfrak{m}(A\setminus W)=0$ ; temos então que $A=W\cup N$ , onde $W$ é um $F_{\sigma}$ e $N=A\setminus W$ tem medida nula. Como $\phi$ é localmente Lipschitziana então $\phi$ é localmente contínua e portanto contínua; daí $\phi$ leva compactos em compactos. Como $W$ é uma união enumerável de fechados e todo fechado é uma união enumerável de compactos, segue que $W$ é uma união enumerável de compactos; portanto também $\phi(W)$ é uma união enumerável de compactos. Temos então:

\phi(A)=\phi(W)\cup\phi(N),

onde $\phi(W)$ é um $F_{\sigma}$ e $\phi(N)$ (é mensurável e) tem medida nula, pela Proposição 3.1.11. ∎

3.1.13 Corolário.

Se $T:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ é uma aplicação linear então $T$ leva subconjuntos mensuráveis de $\mathds{R}^{n}$ em subconjuntos mensuráveis de $\mathds{R}^{n}$ .

Demonstração.

Segue da Observação 3.1.7 e da Proposição 3.1.12. ∎