3.4. Apêndice à Seção 3.3: recordação de Cálculo no ${\mathds{R}^{n}}$

Seja $U\subset\mathds{R}^{m}$ um aberto e $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função. Recorde que $\phi$ é dita diferenciável num ponto $x\in U$ se existe uma aplicação linear $T:\mathds{R}^{m}\to\mathds{R}^{n}$ tal que (recorde Notação 3.1.1):

\lim_{h\to 0}\frac{\phi(x+h)-\phi(x)-T(h)}{\|h\|_{\infty}}=0;

(3.4.1)

essa aplicação linear é única quando existe e é dada por:

T(v)=\lim_{t\to 0}\frac{\phi(x+tv)-\phi(x)}{t}\stackrel{{\scriptstyle\text{def% }}}{{=}}\frac{\partial\phi}{\partial v}(x),

para todo $v\in\mathds{R}^{m}$ . A aplicação linear $T$ é chamada a diferencial de $\phi$ no ponto $x$ e é denotada por $\mathrm{d}\phi(x)$ . A matriz que representa a diferencial $\mathrm{d}\phi(x)$ com respeito às bases canônicas é chamada a matriz Jacobiana de $\phi$ no ponto $x$ . No que segue, usaremos a mesma notação para a diferencial $\mathrm{d}\phi(x)$ e para a matriz Jacobiana de $\phi$ no ponto $x$ . Temos:

\mathrm{d}\phi(x)=\begin{pmatrix}\frac{\partial\phi_{1}}{\partial x_{1}}(x)&% \cdots&\frac{\partial\phi_{1}}{\partial x_{m}}(x)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial\phi_{n}}{\partial x_{1}}(x)&\cdots&\frac{\partial\phi_{n}}{% \partial x_{m}}(x)\end{pmatrix},

onde $\phi=(\phi_{1},\ldots,\phi_{n})$ e $\frac{\partial\phi_{i}}{\partial x_{j}}(x)$ denota a derivada parcial no ponto $x$ da função coordenada $\phi_{i}$ com respeito à $j$ -ésima variável. Se uma aplicação $\phi$ é diferenciável num ponto $x$ então $\phi$ é contínua nesse ponto.

Intuitivamente, (3.4.1) diz que $T=\mathrm{d}\phi(x)$ é uma “boa aproximação linear” para $\phi$ numa vizinhança de $x$ . Mais explicitamente, quando o ponto $x\in\mathds{R}^{m}$ sofre um deslocamento (vetorial) $\Delta x$ então o ponto $y=\phi(x)\in\mathds{R}^{n}$ sofre um deslocamento (vetorial) $\Delta y=\phi(x+\Delta x)-\phi(x)$ e a diferenciabilidade de $\phi$ no ponto $x$ nos diz que $\Delta y$ é aproximadamente uma função linear de $\Delta x$ ; mais precisamente, existe uma aplicação linear $\mathrm{d}\phi(x)\stackrel{{\scriptstyle\text{def}}}{{=}}T$ , tal que $\Delta y$ difere de $T(\Delta x)$ por uma quantidade que vai a zero mais rápido que $\|\Delta x\|_{\infty}$ , quando $\Delta x\to 0$ .

Quando uma aplicação $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ definida num aberto $U$ de $\mathds{R}^{m}$ é diferenciável em todos os pontos de $U$ dizemos simplesmente que ela é diferenciável em $U$ ; dizemos que $\phi$ é de classe $C^{1}$ em $U$ se $\phi$ é diferenciável em $U$ e se a função $U\ni x\mapsto\mathrm{d}\phi(x)$ é contínua. Sabe-se que uma função $\phi$ é de classe $C^{1}$ num aberto $U$ se e somente se as derivadas parciais $\frac{\partial\phi_{i}}{\partial x_{j}}(x)$ , $i=1,\ldots,n$ , $j=1,\ldots,m$ , existem e são contínuas em todos os pontos $x\in U$ .

Enunciamos agora alguns teoremas básicos de Cálculo no $\mathds{R}^{n}$ que usamos na Seção 3.3.

3.4.1 Teorema (regra da cadeia).

Sejam $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ , $\psi:V\to\mathds{R}^{p}$ funções tais que $\phi(U)\subset V$ , onde $U$ é um aberto de $\mathds{R}^{m}$ e $V$ é um aberto de $\mathds{R}^{n}$ . Se $\phi$ é diferenciável num ponto $x\in U$ e $\psi$ é diferenciável no ponto $\phi(x)$ então a função composta $\psi\circ\phi$ é diferenciável no ponto $x$ e sua diferencial é dada por:

\mathrm{d}(\psi\circ\phi)(x)=\mathrm{d}\psi\big{(}\phi(x)\big{)}\circ\mathrm{d% }\phi(x).

Segue diretamente da definição de diferenciabilidade que toda aplicação linear $T:\mathds{R}^{m}\to\mathds{R}^{n}$ é diferenciável em $\mathds{R}^{m}$ e $\mathrm{d}T(x)=T$ , para todo $x\in\mathds{R}^{m}$ . Dessa observação e da regra da cadeia obtemos:

3.4.2 Corolário.

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função definida num aberto $U\subset\mathds{R}^{m}$ , diferenciável num ponto $x\in U$ . Se $T:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{p}$ é uma aplicação linear então $T\circ\phi$ é diferenciável no ponto $x$ e sua diferencial é dada por:

\mathrm{d}(T\circ\phi)(x)=T\circ\mathrm{d}\phi(x).

∎

Para o teorema a seguir, o leitor deve recordar a Notação 3.1.1 e a Observação 3.1.7, onde definimos a norma de uma aplicação linear.

3.4.3 Teorema (desigualdade do valor médio).

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função definida num aberto $U\subset\mathds{R}^{m}$ e sejam fixados dois pontos $x,y\in U$ . Suponha que a função $\phi$ é contínua em todos os pontos do segmento de reta fechado:

[x,y]=\big{\{}x+\theta(y-x):0\leq\theta\leq 1\big{\}}

e é diferenciável em todos os pontos do segmento de reta aberto:

\left]x,y\right[=\big{\{}x+\theta(y-x):0<\theta<1\big{\}}.

Então existe $\theta\in\left]0,1\right[$ tal que vale a desigualdade:

\|\phi(y)-\phi(x)\|_{\infty}\leq\big{\|}\mathrm{d}\phi\big{(}x+\theta(y-x)\big% {)}\big{\|}\|y-x\|_{\infty}.

Recorde que um subconjunto $X$ de $\mathds{R}^{n}$ é dito convexo se para todos $x,y\in X$ o segmento de reta $[x,y]$ está contido em $X$ .

3.4.4 Corolário.

Sejam $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função definida num aberto $U\subset\mathds{R}^{m}$ e suponha que $\phi$ é diferenciável em todos os pontos de um subconjunto convexo $X$ de $U$ . Se existe $k\geq 0$ tal que $\|\mathrm{d}\phi(x)\|\leq k$ , para todo $x\in X$ então a função $\phi|_{X}$ é Lipschitziana com constante de Lipschitz $k$ .∎

3.4.5 Corolário.

Uma função $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ de classe $C^{1}$ num aberto $U\subset\mathds{R}^{m}$ é localmente Lipschitziana.

Demonstração.

Segue do Corolário 3.4.4, observando que a função $x\mapsto\|\mathrm{d}\phi(x)\|$ é contínua e portanto limitada numa bola suficientemente pequena centrada num ponto dado $x\in U$ . ∎

3.4.6 Definição.

Se $U$ , $V\subset\mathds{R}^{n}$ são abertos então um difeomorfismo de $U$ para $V$ é uma bijeção diferenciável $\phi:U\to V$ cuja inversa $\phi^{-1}:V\to U$ também é diferenciável. Dizemos que $\phi:U\to V$ é um difeomorfismo $C^{1}$ se $\phi$ é bijetora e se $\phi$ e $\phi^{-1}$ são ambas de classe $C^{1}$ .

Se $\phi:U\to V$ é um difeomorfismo então segue da regra da cadeia que para todo $x\in U$ a diferencial $\mathrm{d}\phi(x):\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ cujo inverso é dado por:

\big{(}\mathrm{d}\phi(x)\big{)}^{-1}=\mathrm{d}(\phi^{-1})\big{(}\phi(x)\big{)}.

(3.4.2)

Temos a seguinte recíproca para essa afirmação:

3.4.7 Teorema (da função inversa).

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$ definida num aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ . Se $x\in U$ é tal que a diferencial $\mathrm{d}\phi(x)$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ então existe uma vizinhança aberta $U_{0}$ de $x$ contida em $U$ tal que $\phi(U_{0})$ é aberto em $\mathds{R}^{n}$ e $\phi|_{U_{0}}:U_{0}\to\phi(U_{0})$ é um difeomorfismo $C^{1}$ . Além do mais, se $\mathrm{d}\phi(x)$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ para todo $x\in U$ então:

•

$\phi$ é uma aplicação aberta, i.e., $\phi$ leva subconjuntos abertos de $U$ em subconjuntos abertos de $\mathds{R}^{n}$ ;
•

se $U_{0}$ é um aberto qualquer contido em $U$ tal que $\phi|_{U_{0}}$ é injetora então $\phi|_{U_{0}}:U_{0}\to\phi(U_{0})$ é um difeomorfismo $C^{1}$ .

3.4. Apêndice à Seção 3.3: recordação de Cálculo no ℝn{\mathds{R}^{n}}