3.3. O Teorema de Mudança de Variáveis

Nesta seção nós provaremos o Teorema de Mudança de Variáveis para integais de Lebesgue em $\mathds{R}^{n}$ . Para um entendimento completo do conteúdo desta seção serão necessários alguns conhecimentos básicos de Cálculo no $\mathds{R}^{n}$ , sobre os quais fazemos uma rápida revisão na Seção 3.4.

O enunciado do teorema é o seguinte:

3.3.1 Teorema (mudança de variáveis).

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma aplicação injetora de classe $C^{1}$ definida num subconjunto aberto $U$ de $\mathds{R}^{n}$ ; suponha que a diferencial $\mathrm{d}\phi(x)$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ , para todo $x\in U$ . Dados um conjunto mensurável $A\subset\mathds{R}^{n}$ contido em $U$ e uma função mensurável $f:\phi(A)\to\overline{\mathds{R}}$ então:

•

o conjunto $\phi(A)$ é mensurável;
•

a função:

$A\ni y\longmapsto f\big{(}\phi(y)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}% \in\overline{\mathds{R}}$ (3.3.1)

é mensurável;
•

a função $f$ é quase integrável se e somente se a função (3.3.1) é quase integrável e, nesse caso, vale a igualdade:

$\int_{\phi(A)}f(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{A}f\big{(}\phi(y)\big{)}\,% \big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y).$ (3.3.2)

Note que, pelo Teorema da Função Inversa (Teorema 3.4.7), as hipóteses sobre $\phi$ no enunciado do Teorema 3.3.1 são equivalentes à condição de que $\phi(U)$ seja aberto em $\mathds{R}^{n}$ e que $\phi:U\to\phi(U)$ seja um difeomorfismo $C^{1}$ . Note também que a mensurabilidade de $\phi(A)$ é garantida pela Proposição 3.1.12, já que $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ é uma função localmente Lipschitziana (veja Corolário 3.4.5).

Para demonstrar o Teorema 3.3.1, precisamos de alguns lemas preparatórios.

3.3.2 Lema.

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$ num aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ e suponha que a diferencial $\mathrm{d}\phi(x)$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ , para todo $x\in U$ . Então, para todo subconjunto mensurável $E$ de $\mathds{R}^{n}$ temos que $\phi^{-1}(E)$ é mensurável; em outras palavras, a função:

\phi:\big{(}U,\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})|_{U}\big{)}\longrightarrow\big{(}% \mathds{R}^{n},\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})\big{)}

é mensurável.

Demonstração.

Pelo Teorema da Função Inversa (Teorema 3.4.7), cada $x\in U$ possui uma vizinhança aberta $U_{x}$ contida em $U$ tal que $\phi(U_{x})$ é aberto em $\mathds{R}^{n}$ e $\phi|_{U_{x}}:U_{x}\to\phi(U_{x})$ é um difeomorfismo $C^{1}$ . Daí a função $\psi_{x}=(\phi|_{U_{x}})^{-1}:\phi(U_{x})\to U_{x}$ é localmente Lipschitziana (veja Corolário 3.4.5) e portanto, pela Proposição 3.1.12, o conjunto

\psi_{x}\big{(}E\cap\phi(U_{x})\big{)}=\phi^{-1}\big{(}E\cap\phi(U_{x})\big{)}% \cap U_{x}=\phi^{-1}(E)\cap U_{x}

é mensurável, para todo $x\in U$ . A cobertura aberta $U=\bigcup_{x\in U}U_{x}$ possui uma subcobertura enumerável $U=\bigcup_{i=1}^{\infty}U_{x_{i}}$ e portanto:

\phi^{-1}(E)=\bigcup_{i=1}^{\infty}\big{(}\phi^{-1}(E)\cap U_{x_{i}}\big{)},

donde segue que $\phi^{-1}(E)$ é mensurável. ∎

3.3.3 Corolário.

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$ num aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ tal que a diferencial $\mathrm{d}\phi(x)$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ , para todo $x\in U$ . Dados um subconjunto $A$ de $U$ , um espaço mensurável $(X,\mathcal{A})$ e uma função mensurável $f:\phi(A)\to X$ então a função $f\circ\phi|_{A}:A\to X$ é mensurável.

Demonstração.

Basta observar que $f\circ\phi|_{A}$ é igual à composta das funções mensuráveis:

	$\displaystyle\phi\|_{A}:\big{(}A,\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})\|_{A}\big{)}% \longrightarrow\big{(}\phi(A),\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})\|_{\phi(A)}\big{)},$
	$\displaystyle f:\big{(}\phi(A),\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})\|_{\phi(A)}\big{)}% \longrightarrow(X,\mathcal{A}).\qed$

3.3.4 Lema.

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$ num aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ e suponha que a diferencial $\mathrm{d}\phi(y_{0})$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ , para um certo $y_{0}\in U$ . Então, para todo $\varepsilon>0$ , existe uma vizinhança aberta $V$ de $y_{0}$ contida em $U$ tal que para todo conjunto mensurável $A\subset\mathds{R}^{n}$ contido em $V$ temos que $\phi(A)$ é mensurável e vale a desigualdade:

\mathfrak{m}\big{(}\phi(A)\big{)}\leq(1+\varepsilon)\int_{A}\big{|}\det\mathrm% {d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y).

(3.3.3)

Demonstração.

Em primeiro lugar, observe que a mensurabilidade de $\phi(A)$ segue da Proposição 3.1.12, já que $\phi$ é localmente Lipschitziana (veja Corolário 3.4.5). Seja $\varepsilon^{\prime}>0$ tal que:

(1+\varepsilon^{\prime})^{n+1}\leq 1+\varepsilon.

Denote por $T$ a diferencial de $\phi$ no ponto $y_{0}$ . Como $T^{-1}\circ\mathrm{d}\phi(y_{0})$ é igual à aplicação identidade e como a função $y\mapsto\|T^{-1}\circ\mathrm{d}\phi(y)\|$ é contínua, segue que:

\big{\|}T^{-1}\circ\mathrm{d}\phi(y)\big{\|}<1+\varepsilon^{\prime},

(3.3.4)

para todo $y$ em uma vizinhança suficientemente pequena de $y_{0}$ . Usando também a continuidade da função $y\mapsto\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}$ , vemos que:

\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y_{0})\big{|}<(1+\varepsilon^{\prime})\;\big{|}\det% \mathrm{d}\phi(y)\big{|},

(3.3.5)

para todo $y$ em uma vizinhança suficientemente pequena de $y_{0}$ . Seja $V$ uma bola aberta centrada em $y_{0}$ contida em $U$ tal que (3.3.4) e (3.3.5) valem para todo $y\in V$ . Seja $A$ um subconjunto mensurável de $V$ e provemos (3.3.3). Usando o Teorema 3.2.1, obtemos:

\mathfrak{m}\big{(}\phi(A)\big{)}=\mathfrak{m}\big{(}TT^{-1}\phi(A)\big{)}=|% \det T|\,\mathfrak{m}\big{(}T^{-1}\phi(A)\big{)}\\ =\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y_{0})\big{|}\,\mathfrak{m}\big{(}T^{-1}\phi(A)\big% {)}.

(3.3.6)

Para todo $y\in V$ , segue da regra da cadeia (veja Corolário 3.4.2) que:

\big{\|}\mathrm{d}(T^{-1}\circ\phi)(y)\big{\|}=\big{\|}T^{-1}\circ\mathrm{d}% \phi(y)\big{\|}<1+\varepsilon^{\prime},

e portanto, pela desigualdade do valor médio (veja Corolário 3.4.4), a função $T^{-1}\circ\phi|_{V}$ é Lipschitziana com constante de Lipschitz $1+\varepsilon^{\prime}$ . Usando a Proposição 3.1.5, obtemos:

\mathfrak{m}\big{(}T^{-1}\phi(A)\big{)}\leq(1+\varepsilon^{\prime})^{n}% \mathfrak{m}(A).

(3.3.7)

De (3.3.5), obtemos:

\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y_{0})\big{|}\,\mathfrak{m}(A)=\int_{A}\big{|}\det% \mathrm{d}\phi(y_{0})\big{|}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle A$}}(y)\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\\ \leq(1+\varepsilon^{\prime})\int_{A}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}(y).

(3.3.8)

De (3.3.6), (3.3.7) e (3.3.8), vem:

\mathfrak{m}\big{(}\phi(A)\big{)}\leq(1+\varepsilon^{\prime})^{n}\,\big{|}\det% \mathrm{d}\phi(y_{0})\big{|}\,\mathfrak{m}(A)\leq(1+\varepsilon^{\prime})^{n+1% }\int_{A}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\\ \leq(1+\varepsilon)\int_{A}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(y).\qed

3.3.5 Lema.

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$ num aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ e suponha que a diferencial $\mathrm{d}\phi(y)$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ , para todo $y\in U$ . Então, dado um conjunto mensurável $A\subset\mathds{R}^{n}$ contido em $U$ , temos que $\phi(A)$ é mensurável e vale a desigualdade:

\mathfrak{m}\big{(}\phi(A)\big{)}\leq\int_{A}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{% |}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y).

Demonstração.

Seja dado $\varepsilon>0$ . Pelo Lema 3.3.4, todo ponto $y_{0}\in U$ possui uma vizinhança aberta $V_{y_{0}}$ contida em $U$ com a seguinte propriedade: se $A\subset\mathds{R}^{n}$ é um conjunto mensurável contido em $V_{y_{0}}$ então $\phi(A)$ é mensurável e vale a desigualdade (3.3.3). Da cobertura aberta $U=\bigcup_{y\in U}V_{y}$ , podemos extrair uma subcobertura enumerável $U=\bigcup_{i=1}^{\infty}V_{y_{i}}$ . Para cada $i\geq 1$ , definimos:

W_{i}=\begin{cases}V_{y_{i}}\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}V_{y_{j}},&\text{se $i% \geq 2$},\\ \hfil V_{y_{1}},&\text{se $i=1$},\end{cases}

de modo que $U=\bigcup_{i=1}^{\infty}W_{i}$ , cada $W_{i}$ é mensurável (não necessariamente aberto), $W_{i}\subset V_{y_{i}}$ e os conjuntos $W_{i}$ são dois a dois disjuntos. Agora, dado um conjunto mensurável arbitrário $A\subset\mathds{R}^{n}$ contido em $U$ , temos:

\phi(A)=\bigcup_{i=1}^{\infty}\phi(A\cap W_{i}).

Como $A\cap W_{i}$ é um subconjunto mensurável de $V_{y_{i}}$ , segue que $\phi(A\cap W_{i})$ é mensurável e vale a desigualdade:

\mathfrak{m}\big{(}\phi(A\cap W_{i})\big{)}\leq(1+\varepsilon)\int_{A\cap W_{i% }}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y).

Vemos então que $\phi(A)$ é mensurável e além disso:

\mathfrak{m}\big{(}\phi(A)\big{)}\leq\sum_{i=1}^{\infty}\mathfrak{m}\big{(}% \phi(A\cap W_{i})\big{)}\leq(1+\varepsilon)\sum_{i=1}^{\infty}\int_{A\cap W_{i% }}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\\ =(1+\varepsilon)\int_{A}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(y),

onde na última igualdade usamos o resultado do Exercício 2.14. A conclusão final é obtida agora fazendo $\varepsilon\to 0$ . ∎

3.3.6 Corolário.

Seja $\phi:U\to\mathds{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$ num aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ e suponha que a diferencial $\mathrm{d}\phi(y)$ é um isomorfismo de $\mathds{R}^{n}$ , para todo $y\in U$ . Então, dado um conjunto mensurável $A\subset\mathds{R}^{n}$ contido em $U$ e uma função mensurável $f:\phi(A)\to[0,+\infty]$ temos que $\phi(A)$ é mensurável, a função (3.3.1) é mensurável e vale a desigualdade:

\int_{\phi(A)}f(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\leq\int_{A}f\big{(}\phi(y)\big{)% }\,\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y).

(3.3.9)

Demonstração.

Note que a mensurabilidade da função (3.3.1) segue do Corolário 3.3.3. Para provar a desigualdade (3.3.9), suponhamos inicialmente que $f:\phi(A)\to[0,+\infty]$ é simples e mensurável. Então podemos escrever:

f=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E_{i}$}},

onde $c_{i}\in[0,+\infty]$ e $E_{i}$ é um subconjunto mensurável de $\phi(A)$ , para todo $i=1,\ldots,k$ . Seja $A_{i}=\phi^{-1}(E_{i})\cap A$ , de modo que $A_{i}$ é mensurável (veja Lema 3.3.2) e $\phi(A_{i})=E_{i}$ . Segue do Lema 3.3.5 que:

\mathfrak{m}(E_{i})=\mathfrak{m}\big{(}\phi(A_{i})\big{)}\leq\int_{A_{i}}\big{% |}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y),

para $i=1,\ldots,k$ e portanto:

\int_{\phi(A)}f(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mathfrak{m}(% E_{i})\leq\sum_{i=1}^{k}c_{i}\int_{A_{i}}\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\\ =\sum_{i=1}^{k}c_{i}\int_{A}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E_{i}$}}\big% {(}\phi(y)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}% (y)\\ =\int_{A}f\big{(}\phi(y)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{% d}\mathfrak{m}(y).

Demonstramos então a desigualdade (3.3.9) no caso em que $f$ é simples e mensurável. Seja agora $f:\phi(A)\to[0,+\infty]$ uma função mensurável arbitrária. Temos que existe uma seqüência $(f_{k})_{k\geq 1}$ de funções simples e mensuráveis $f_{k}:\phi(A)\to[0,+\infty]$ tal que $f_{k}\nearrow f$ ; daí:

\int_{\phi(A)}f_{k}(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\leq\int_{A}f_{k}\big{(}\phi(% y)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y),

para todo $k\geq 1$ . A desigualdade (3.3.9) é obtida agora fazendo $k\to\infty$ e usando o Teorema da Convergência Monotônica. ∎

Prova do Teorema 3.3.1.

Começamos supondo que $f$ é não negativa. A mensurabilidade de $\phi(A)$ e da função (3.3.1) já foram estabelecidas no Corolário 3.3.6. Já temos também a desigualdade (3.3.9). A desigualdade oposta segue da aplicação do próprio Corolário 3.3.6 num contexto diferente. Recorde que, pelo Teorema da Função Inversa (Teorema 3.4.7), $\phi(U)$ é um aberto de $\mathds{R}^{n}$ e $\phi:U\to\phi(U)$ é um difeomorfismo $C^{1}$ ; aplicamos então o Corolário 3.3.6 ao difeomorfismo inverso $\psi=\phi^{-1}:\phi(U)\to\mathds{R}^{n}$ , à função $g:A\to[0,+\infty]$ definida por:

g(y)=f\big{(}\phi(y)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|},\quad y\in A,

e ao conjunto mensurável $B=\phi(A)\subset\phi(U)$ . Obtemos a desigualdade:

\int_{\psi(B)}g(y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\leq\int_{B}g\big{(}\psi(x)\big{)% }\,\big{|}\det\mathrm{d}\psi(x)\big{|}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x).

(3.3.10)

Temos (veja (3.4.2)):

g\big{(}\psi(x)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}\psi(x)\big{|}=f(x)\,\big{|}\det% \mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\big{|}\det\mathrm{d}(\phi^{-1})\big{(}\phi(y)\big{)% }\big{|}=f(x),

onde $y=\phi^{-1}(x)$ . Daí (3.3.10) nos dá:

\int_{A}f\big{(}\phi(y)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{|}\,\mathrm{d% }\mathfrak{m}(y)\leq\int_{\phi(A)}f(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x),

provando (3.3.2). Finalmente, se $f:\phi(A)\to\overline{\mathds{R}}$ é uma função mensurável arbitrária então:

	$\displaystyle\int_{\phi(A)}f^{+}(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{A}f^{+}% \big{(}\phi(y)\big{)}\,\big{\|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{\|}\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(y),$		(3.3.11)
	$\displaystyle\int_{\phi(A)}f^{-}(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{A}f^{-}% \big{(}\phi(y)\big{)}\,\big{\|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big{\|}\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(y);$		(3.3.12)

a conclusão segue subtraindo (3.3.12) de (3.3.11), tendo em mente que as funções:

A\ni y\longmapsto f^{+}\big{(}\phi(y)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}\phi(y)\big% {|},\quad A\ni y\longmapsto f^{-}\big{(}\phi(y)\big{)}\,\big{|}\det\mathrm{d}% \phi(y)\big{|}

são respectivamente a parte positiva e a parte negativa da função (3.3.1). ∎