Exercícios para o Capítulo 6

Sejam $(X,\mathcal{A})$, $(Y,\mathcal{B})$ espaços mensuráveis e seja $\mathcal{P}$ uma $\sigma$-álgebra de partes de $X\times Y$. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:

• (a)
  ​

  $\mathcal{P}=\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$;

• (b)
  ​

  para todo espaço mensurável $(Z,\mathfrak{C})$ e toda função $f:Z\to X\times Y$ com funções coordenadas $f_{1}:Z\to X$, $f_{2}:Z\to Y$, temos que $f:Z\to(X\times Y,\mathcal{P})$ é mensurável se e somente se $f_{1}$ e $f_{2}$ são ambas mensuráveis.

Sejam $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ classes de conjuntos e $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ respectivamente os $\sigma$-anéis gerados por $\mathcal{C}$ e por $\mathcal{D}$. Seja $\mathcal{P}$ o $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{C}\boldsymbol{\times}\mathcal{D}$.

• (a)
  ​

  Dados conjuntos $A_{0}$ e $B_{0}$, mostre que as classes de conjuntos:

  	$$\displaystyle\big{\{}A\in\mathcal{A}:A\times B_{0}\in\mathcal{P}\big{\}},$$
  	$$\displaystyle\big{\{}B\in\mathcal{B}:A_{0}\times B\in\mathcal{P}\big{\}},$$

  são $\sigma$-anéis.

• (b)
  ​

  Mostre que $A\times B_{0}\in\mathcal{P}$, para todos $A\in\mathcal{A}$, $B_{0}\in\mathcal{D}$.

• (c)
  ​

  Mostre que $A\times B\in\mathcal{P}$, para todos $A\in\mathcal{A}$, $B\in\mathcal{B}$.

• (d)
  ​

  Conclua que o $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{A}\boldsymbol{\times}\mathcal{B}$ é igual ao $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{C}\boldsymbol{\times}\mathcal{D}$.

Sejam $(X_{1},\mathcal{A}_{1})$, …, $(X_{n},\mathcal{A}_{n})$ espaços mensuráveis. Mostre que $\mathcal{A}_{1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{A}_{n}$ é a menor $\sigma$-álgebra de partes de $X_{1}\times\cdots\times X_{n}$ que torna todas as projeções $\pi_{i}:X_{1}\times\cdots\times X_{n}\to X_{i}$, $i=1,\ldots,n$, mensuráveis.

Sejam $(X_{1},\mathcal{A}_{1})$, …, $(X_{n},\mathcal{A}_{n})$, $(Y,\mathcal{B})$ espaços mensuráveis e $f:Y\to X_{1}\times\cdots\times X_{n}$ uma função com funções coordenadas $f_{i}:Y\to X_{i}$, $i=1,\ldots,n$. Se $X_{1}\times\cdots\times X_{n}$ é munido da $\sigma$-álgebra produto $\mathcal{A}_{1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{A}_{n}$, mostre que $f$ é mensurável se e somente se todas as funções coordenadas $f_{i}$, $i=1,\ldots,n$, são mensuráveis.

Sejam $(X_{1},\mathcal{A}_{1},\mu_{1})$, …, $(X_{n},\mathcal{A}_{n},\mu_{n})$ espaços de medidas, com $\mu_{1}$, …, $\mu_{n}$ $\sigma$-finitas. Para cada $i=1,\ldots,n$, seja $\mathcal{C}_{i}\subset\mathcal{A}_{i}$ uma coleção de conjuntos tal que:

• •
  ​

  $\mathcal{C}_{i}$ é um conjunto de geradores para a $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}_{i}$;

• •
  ​

  $X_{i}$ é uma união enumerável de elementos de $\mathcal{C}_{i}$ (esse é o caso, por exemplo, se $X_{i}\in\mathcal{C}_{i}$);

• •
  ​

  $\mathcal{C}_{i}$ é fechado por interseções finitas;

• •
  ​

  $\emptyset\in\mathcal{C}_{i}$ e a medida $\mu_{i}|_{\mathcal{C}_{i}}$ é $\sigma$-finita.

Se $\rho:\mathcal{A}_{1}\otimes\cdots\otimes\mathcal{A}_{n}\to[0,+\infty]$ é uma medida tal que

para todos $A_{1}\in\mathcal{C}_{1}$, …, $A_{n}\in\mathcal{C}_{n}$, mostre que $\rho$ é igual à medida produto $\mu_{1}\times\cdots\times\mu_{n}$.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$ espaços de medida, com $\mu$ e $\nu$ $\sigma$-finitas. Denote por $\sigma:X\times Y\to Y\times X$ a aplicação definida no Exemplo 6.1.4. Se $X\times Y$ e $Y\times X$ são munidos respectivamente das medidas produto $\mu\times\nu$ e $\nu\times\mu$, mostre que a aplicação $\sigma$ preserva medida (veja Definição 2.1).

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$ espaços de medida e sejam $\mathcal{A}_{0}\subset\mathcal{A}$, $\mathcal{B}_{0}\subset\mathcal{B}$ $\sigma$-álgebras. Assuma que as medidas $\mu$, $\nu$, $\mu|_{\mathcal{A}_{0}}$ e $\nu|_{\mathcal{B}_{0}}$ sejam todas $\sigma$-finitas. Mostre que a medida produto $\mu\times\nu$ é uma extensão da medida $(\mu|_{\mathcal{A}_{0}})\times(\nu|_{\mathcal{B}_{0}})$.