6.3. O Teorema de Fubini

A validade do item (a) segue diretamente do Exemplo 6.1.6. Dividimos o restante da demonstração em itens.

• $\bullet$
  ​

  O teorema vale se $f$ é simples, mensurável e não negativa.

  Podemos escrever $f=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle A^{i}$}}$, com $c_{i}\in[0,+\infty]$ e $A^{i}$ um subconjunto mensurável de $X\times Y$, para $i=1,\ldots,k$. Note que, se $x\in X$, temos:

  $$f(x,y)=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle A^{i}_{x}$}}(y),$$ (6.3.1)

  para todo $y\in Y$. Logo, usando a Proposição 6.2.9, obtemos:

  $$\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)=\int_{X}\sum_{i=1}^{k}c_{i}\nu(A^{i}_{x})\,\mathrm{d}\mu(x)\\ =\sum_{i=1}^{k}c_{i}\int_{X}\nu(A^{i}_{x})\,\mathrm{d}\mu(x)=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\,(\mu\times\nu)(A^{i})\\ =\int_{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)(x,y).$$
• $\bullet$
  ​

  O teorema vale se $f$ é mensurável e não negativa.

  Seja $(f_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüências de funções $f_{k}:X\times Y\to[0,+\infty]$ simples e mensuráveis com $f_{k}\nearrow f$. Pelo Teorema da Convergência Monotônica, temos:

  $$\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)=\lim_{k\to\infty}\int_{Y}f_{k}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y),$$

  para todo $x\in X$. Logo a função $x\mapsto\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)$ é mensurável e, usando novamente o Teorema da Convergência Monotônica, obtemos:

  $$\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)=\lim_{k\to\infty}\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f_{k}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)\\ =\lim_{k\to\infty}\int_{X\times Y}f_{k}(x,y)\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)(x,y)=\int_{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)(x,y).$$
• $\bullet$
  ​

  O teorema vale se $f$ é quase integrável.

  Como $f^{+}$ e $f^{-}$ são funções mensuráveis não negativas, temos:

  	$$\displaystyle\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)=\int_{X\times Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)(x,y),$$		(6.3.2)
  	$$\displaystyle\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)=\int_{X\times Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)(x,y).$$		(6.3.3)

  O conjunto $X_{0}$ é igual ao conjunto dos pontos de $X$ onde ao menos uma das funções:

  $$X\ni x\longmapsto\int_{Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y),\quad X\ni x\longmapsto\int_{Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y),$$

  é finita; como essas funções são ambas mensuráveis, segue que o conjunto $X_{0}$ é mensurável. Como $f$ é quase integrável, temos que $f^{+}$ é integrável ou $f^{-}$ é integrável; para fixar as idéias, vamos supor que:

  $$\int_{X\times Y}f^{-}\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)<+\infty.$$

  Tendo em mente o resultado do Exercício 2.19, segue de (6.3.3) que:

  $$\int_{Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)<+\infty,$$ (6.3.4)

  para quase todo $x\in X$. Como o conjunto $X_{0}$ contém os pontos $x\in X$ tais que (6.3.4) vale, concluímos que $\mu(X\setminus X_{0})=0$. Além do mais, de (6.3.2) e (6.3.3) vem:

  $$\hfil\int_{X_{0}}\Big{(}\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)=\\ \int_{X_{0}}\Big{(}\int_{Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)-\int_{X_{0}}\Big{(}\int_{Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)\\ =\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)-\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\nu(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mu(x)\\ =\int_{X\times Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)(x,y)-\int_{X\times Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)(x,y)\\ =\int_{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm{d}(\mu\times\nu)(x,y),$$

  onde usamos também o Corolário 2.4.11.∎