Apêndice A Prova a um lema do Capítulo 3 ‣ Notas em Percolação

Neste apêndice, provaremos o Lema 3.3 a partir de (3.8). Isto é, queremos mostrar que para $p<p_{c}$ , existe uma constante $\delta(p)$ tal que

g_{p}(n)\leq\delta(p)n^{-1/2}

(A.1)

a partir de

g_{\alpha}(n)\leq g_{\beta}(n)\exp\left[(\beta-\alpha)-(\beta-\alpha)\frac{n}{% \sum_{i=0}^{n}g_{\beta}(i)}\right],

(A.2)

para $0\leq\alpha\leq\beta<p_{c}$ . Além de (A.2), os únicos fatos requeridos pelo argumento são

	$0<g_{p}(n)<1$ para todo $n$ e $p\in[0,p_{c})$ ,		(A.3)
	$g_{p}(n)$ é não-decrescente em $p$ para todo $p\in[0,p_{c})$ ,		(A.4)
	$g_{p}(n)$ é não-crescente em $n$ para todo $p\in[0,p_{c})$ e		(A.5)
	$\displaystyle g_{p}(n)\to 0\quad\mbox{quando $n\to\infty$ e $p\in[0,p_{c})$.}$		(A.6)

Prova de (A.1)

Reproduzimos o argumento em [8]. Vamos primeiro escolher uma subseqüência $n_{1},n_{2},\ldots$ ao longo da qual $g_{p}(n)$ converge a $0$ bastante rápido. A seguir, fechamos as lacunas.

Fixemos $\beta<p_{c}$ e um inteiro positivo $n$ . Sejam $\alpha$ tal que $0<\alpha<\beta$ e $n^{\prime}\geq n$ . Adiante escolheremos $\alpha$ e $n^{\prime}$ explicitamente em termos de $\beta$ .

De (A.2),

	$\displaystyle g_{\alpha}(n^{\prime})$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle g_{\beta}(n^{\prime})\exp\left(1-\frac{n^{\prime}(\beta-\alpha)}% {\sum_{i=0}^{n^{\prime}}g_{\beta}(i)}\right)$		(A.7)
		$\displaystyle\leq$	$\displaystyle g_{\beta}(n)\exp\left(1-\frac{n^{\prime}(\beta-\alpha)}{\sum_{i=% 0}^{n^{\prime}}g_{\beta}(i)}\right)$		(A.7)

pois $n\leq n^{\prime}$ . Queremos escrever o expoente em termos de $g_{\beta}(n)$ e para isto escolheremos $n^{\prime}$ apropriadamente. Vamos quebrar a soma em duas partes, para $i<n$ e $i\geq n$ . Usando (A.5), temos

	$\displaystyle\frac{1}{n^{\prime}}\sum_{i=0}^{n^{\prime}}g_{\beta}(i)$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\frac{1}{n^{\prime}}\{ng_{\beta}(0)+n^{\prime}g_{\beta}(n)\}$
		$\displaystyle\leq$	$\displaystyle 3g_{\beta}(n)$

se $n^{\prime}\geq n\lfloor g_{\beta}(n)^{-1}\rfloor$ . Vamos definir agora

n^{\prime}=n\gamma_{\beta}(n)

(A.8)

onde $\gamma_{\beta}(n)=\lfloor g_{\beta}(n)^{-1}\rfloor$ e deduzir de (A.7) que

g_{\alpha}(n^{\prime})\leq g_{\beta}(n)\exp\left(1-\frac{\beta-\alpha}{3g_{% \beta}(n)}\right).

(A.9)

Escolhemos a seguir $\alpha$ fazendo

\beta-\alpha=3g_{\beta}(n)\{1-\log g_{\beta}(n)\}.

(A.10)

De (A.6) temos $0<\alpha<\beta$ se $n$ for escolhido bastante grande.

De (A.9) temos

g_{\alpha}(n^{\prime})\leq g_{\beta}(n)^{2}.

(A.11)

Usaremos esta conclusão recursivamente a seguir. Mostramos até agora que, para $\beta<p_{c}$ existe $n_{0}(\beta)$ tal que (A.11) vale sempre que $n\geq n_{0}(\beta)$ e $\alpha$ e $n^{\prime}$ forem dados por (A.10) e (A.8) respectivamente.

Fixemos agora $p<p_{c}$ e escolhamos $\pi$ tal que $p<\pi<p_{c}$ . Construimos agora seqüências $(p_{i},\,i\geq 0)$ de probabilidades e $(n_{i},\,i\geq 0)$ de inteiros. Façamos $p_{0}=\pi$ e deixemos $n_{0}$ para mais tarde. Tendo encontrado $p_{0},p_{1},\ldots,p_{i}$ e $n_{0},n_{1},\ldots,n_{i}$ , definimos

n_{i+1}=n_{i}\gamma_{i}\quad\mbox{e}\quad p_{i}-p_{i+1}=3g_{i}(1-\log g_{i})

(A.12)

onde $g_{i}=g_{p_{i}}(n_{i})$ e $\gamma_{i}=\lfloor g_{i}^{-1}\rfloor$ . Note que $n_{i}\leq n_{i+1}$ e $p_{i}>p_{i+1}$ .

A recursão em (A.12) é válida enquanto $p_{i+1}>0$ e este será o caso se $n_{0}$ for escolhido suficientemente grande. Para ver isto, argumentamos da seguinte forma. Da definição de $p_{0},\ldots,p_{i}$ e $n_{0},\ldots,n_{i}$ e da discussão que levou a (A.11) temos

g_{j+1}\leq g_{j}^{2}

(A.13)

para $j=0,1,\ldots,i-1.$ Se uma seqüência de números reais $(x_{j},\,j\geq 0)$ satisfizer $0<x_{0}<1,\,x_{j+1}=x_{j}^{2}$ para $j\geq 0$ , então é fácil de ver que

\displaystyle s(x_{0})=\sum_{j=0}^{\infty}3x_{j}(1-\log x_{j})<\infty

e que $s(x_{0})\to 0$ quando $x_{0}\to 0$ . Podemos então tomar $x_{0}$ pequeno o suficiente para que

s(x_{0})\leq\pi-p

(A.14)

e depois tomar $n_{0}$ grande o suficiente para que $g_{0}=g_{\pi}(n_{0})<x_{0}$ . Agora $h(x)=3x(1-\log x)$ é uma função crescente em $[0,x_{0}]$ , o que junto com (A.12) e (A.13) implica

$\displaystyle p_{i+1}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle p_{i}-3g_{i}(1-\log g_{i})$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\pi-\sum_{j=0}^{i}3g_{j}(1-\log g_{j})$
	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\pi-\sum_{j=0}^{i}3x_{j}(1-\log x_{j})$
	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle p$

por (A.14).

Desta forma, escolhendo $n_{0}$ convenientemente, teremos $p_{i+1}>0$ para todo $i$ e também

\displaystyle\tilde{p}=\lim_{i\to\infty}p_{i}

satisfazendo $\tilde{p}\geq p$ . Vamos supor que $n_{0}$ foi escolhido da forma adequada. Temos então a recursão (A.12) válida e $\tilde{p}\geq p$ . De (A.12) e (A.13) temos

\displaystyle n_{k}=n_{0}\gamma_{0}\gamma_{1}\ldots\gamma_{k-1}

para $k\geq 1$ e

$\displaystyle g_{k-1}^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle g_{k-1}g_{k-1}$	(A.15)
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle g_{k-1}g_{k-2}^{2}\leq\cdots$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle g_{k-1}g_{k-2}\ldots g_{1}g_{0}^{2}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle(\gamma_{k-1}\gamma_{k-2}\ldots\gamma_{0})^{-1}g_{0}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\delta^{2}n_{k}^{-1},$

onde $\delta=n_{0}g_{0}$ .

O argumento está basicamente terminado. Seja $n>n_{0}$ . Seja $k$ um inteiro tal que $n_{k-1}\leq n<n_{k}$ , o que é possível pois $g_{k}\to 0$ quando $k\to\infty$ e logo $n_{k-1}<n_{k}$ para todo $k$ bastante grande. Então

$\displaystyle g_{p}(n)$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle g_{p_{k-1}}(n_{k-1})\quad\mbox{pois $p\leq p_{k-1}$}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle g_{k-1}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\delta n_{k}^{-1/2}\quad\mbox{por\leavevmode\nobreak\ (\ref{eq:% gal3})}$ A.15)\displaystyle\delta n_{k}^{-1/2}\quad\mbox{por\leavevmode\nobreak\ (\ref{eq:% gal3})}
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\delta n^{-1/2}\quad\mbox{pois $n<n_{k}$}$

como queríamos. Isto vale para $n>n_{0}$ . Ajustando a constante, temos a desigualdade para todo $n$ . $\quad\triangle$