Capítulo 5 O Modelo em 2 Dimensões: Dualidade

Neste capítulo e no próximo, vamos tratar do que ocorre em $p=p_{c}$ . Em 2 dimensões, objeto deste capítulo, a auto-dualidade da rede $\mathbb{Z}^{2}$ permite mostrar que $p_{c}=1/2$ e $\theta(p_{c})=0$ , o que estabelece a continuidade de $\theta(p)$ em todo o intervalo $[0,1]$ . Além da dualidade da rede bidimensional, outros ingredientes da prova são o decaimento exponencial da distribuição do raio de $C$ em $p<p_{c}$ (Teorema 3.1) e a unicidade do aglomerado infinito em $\theta(p)>0$ (Teorema 4.1).

Consideremos de novo, como na demonstração da Proposição 1.2.2 (na página 1.2.2), a rede bidimensional dual de $\mathbb{Z}^{2}$ ,

\mathbb{Z}^{2}_{\ast}=\mathbb{Z}^{2}+\{1/2,1/2\}.

$\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ é isomorfa a $\mathbb{Z}^{2}$ (por isto dizemos que $\mathbb{Z}^{2}$ é auto-dual). Este fato é crucial para o que se segue. Outro fato crucial, que já usamos na demonstração da Proposição 1.2.2, é a seguinte propriedade geométrica de $\mathbb{Z}^{2}$ .

Proposição 5.1

Seja $G$ um subgrafo conexo finito de $\mathbb{Z}^{2}$ . Existe um único circuito $\Gamma$ de $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ contendo $G$ com a propriedade de que todo elo de $\Gamma$ cruza um elo de $\Delta G$ , a fronteira de $G$ (isto é, os elos de $\mathbb{Z}^{2}\backslash G$ que incidem em pelo menos um sítio de $G$ ).

Teorema 5.1

Em duas dimensões,

\displaystyle p_{c}=1/2\quad\mbox{e}\quad\theta(p_{c})=0.

O Teorema 5.1 será provado por meio dos dois seguintes lemas.

Lema 5.1

Em duas dimensões,

\displaystyle\theta(1/2)=0.

Observação 5.1

Este resultado tem a conseqüência imediata que em dimensão 2

p_{c}\geq 1/2.

Lema 5.2

Em duas dimensões,

\displaystyle p_{c}\leq 1/2.

A heurística para a validade do primeiro lema é que, se $\theta(1/2)>0$ , então teremos um aglomerado infinito aberto em $\mathbb{Z}^{2}$ e um aglomerado infinito fechado em $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ . Os dois aglomerados não podem se tocar (lembre que os elos de $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ têm o mesmo status que os respectivos elos secantes de $\mathbb{Z}^{2}$ — vide a demonstração da Proposição 1.2.2 na página 1.2.2) e $\mathbb{Z}^{2}$ é pequeno demais para isto.

Para o segundo lema, a heurística é que em $p<p_{c}$ , há apenas aglomerados abertos finitos (ilhas) em $\mathbb{Z}^{2}$ num mar de elos fechados do dual. Presumivelmente estes formam um aglomerado infinito. Logo, $1-p\geq p_{c}$ sempre que $p<p_{c}$ , o que implica no resultado do lema.

Prova do Lema 5.1

O argumento, não publicado, é de Y. Zhang. Usaremos o truque da raiz quadrada de Cox & Durrett (já usado no capítulo anterior na demonstração do Corolário 4.3): Se

A_{1},\ldots,A_{m}

forem eventos crescentes de mesma probabilidade então

1-P_{p}(\cup_{i=1}^{m}A_{i})=P_{p}(\cap_{i=1}^{m}A_{i}^{c})\geq[1-P_{p}(A_{1})% ]^{m},

onde a desigualdade é FKG. Logo

P_{p}(A_{1})\geq 1-[1-P_{p}(\cup_{i=1}^{m}A_{i})]^{1/m}.

Suponha que

\theta(1/2)>0.

(5.1)

Seja $A_{n}^{e}$ o evento de que algum sítio do lado esquerdo de $T_{n}=[0,n]^{2}$ esteja num aglomerado aberto infinito de $\mathbb{Z}^{2}$ sem usar outros sítios de $T_{n}$ . Defina $A_{n}^{d}$ , $A_{n}^{c}$ e $A_{n}^{b}$ similarmente substituindo lado esquerdo por lado direito, lado de cima e lado de baixo, respectivamente.

Como conseqüência de (5.1)

P_{1/2}(\mbox{existir um aglomerado aberto infinito})=1

de onde concluimos que

P_{1/2}(A_{n}^{e}\cup A_{n}^{d}\cup A_{n}^{c}\cup A_{n}^{b})\to 1

quando $n\to\infty.$

Pelo truque da raiz quadrada,

P_{1/2}(A_{n}^{u})\to 1

(5.2)

quando $n\to\infty$ para $u=e,d,c,b$ .

Escolhamos $N$ tal que

P_{1/2}(A_{N}^{u})>7/8\quad\mbox{e}\quad P_{1/2}(A_{N-1}^{u})>7/8

(5.3)

para $u=e,d,c,b$ .

Na rede dual, sejam $A_{\ast}^{e}(n)$ o evento de que algum sítio do lado esquerdo de $T_{n}^{\ast}=[0,n-1]+(1/2,1/2)$ esteja num aglomerado fechado infinito de $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ sem usar outros sítios de $T_{n}^{\ast}$ e $A_{\ast}^{d}(n)$ , $A_{\ast}^{c}(n)$ e $A_{\ast}^{b}(n)$ similarmente definidos substituindo lado esquerdo por lado direito, lado de cima e lado de baixo, respectivamente.

Temos

P_{1/2}(A_{\ast}^{u}(N))=P_{1/2}(A_{N-1}^{u})>7/8.

(5.4)

Considere

A=A_{N}^{e}\cap A_{n}^{d}\cap A_{\ast}^{c}(N)\cap A_{\ast}^{b}(N).

Note que, em $A$ , se houver apenas um aglomerado infinito aberto em $\mathbb{Z}^{2}$ e apenas um aglomerado infinito fechado em $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ então os caminhos abertos infinitos à esquerda e à direita de $T_{N}$ devem se ligar por elos abertos por dentro de $T_{N}^{\ast}$ pois por fora os caminhos infinitos fechados acima e abaixo de $T_{N}^{\ast}$ bloqueiam a passagem. Similarmente, os caminhos infinitos fechados acima e abaixo de $T_{N}^{\ast}$ devem se ligar por elos fechados por dentro de $T_{N}$ . Mas neste caso, as ligações por dentro de $T_{N}$ e $T_{N}^{\ast}$ devem se cruzar, o que é impossível. Logo, em $A$ há dois aglomerados infinitos abertos disjuntos em $\mathbb{Z}^{2}$ ou dois aglomerados infinitos fechados disjuntos em $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ (veja a Figura 5.1). Concluimos do Teorema 4.1 que

P_{p}(A)=0.

(5.5)

Figura 5.1: Os sítios $a$ e $b$ estão em aglomerados abertos infinitos de $\mathbb{Z}^{2}\backslash T_{N}$ e os sítios $x$ e $y$ estão em aglomerados fechados infinitos de $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}\backslash T_{N}^{\ast}$ . Se houver um único aglomerado aberto infinito, então existe um caminho aberto $\pi$ ligando $a$ a $b$ , e então os aglomerados infinitos fechados em $x$ e $y$ são disjuntos.

Por outro lado

	$\displaystyle P_{1/2}(A^{c})$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle P_{1/2}[(A_{N}^{e})^{c}]+P_{1/2}[(A_{n}^{d})^{c}]+P_{1/2}[(A_{% \ast}^{c}(N))^{c}]+P_{1/2}[(A_{\ast}^{b}(N))^{c}]$
		$\displaystyle\leq$	$\displaystyle 1/2$

por (5.3) e (5.4).Logo, $P_{p}(A)\geq 1/2$ , em contradição com (5.5), o que prova o lema. $\quad\triangle$

Prova do Lema 5.2

Vamos mostrar que, se $p<p_{c}$ , então existe um aglomerado fechado infinito no dual com probabilidade positiva, o que implica que $1-p\geq p_{c}$ , o que por sua vez produz o resultado do lema.

Se $p<p_{c}$ , então do Corolário 3.1 temos que

\chi_{p}=\sum_{n=1}^{\infty}P_{p}(|C|\geq n)<\infty.

(5.6)

Seja $M$ um inteiro positivo e

$\displaystyle A_{M}$	$\displaystyle\!\!=$	$\displaystyle\!\!\{\mbox{Existe um caminho aberto $\pi$ em $\mathbb{Z}^{2}$ % ligando algum sítio da forma}$
		$(k,0)$ com $k<0$ a algum outro da forma $(l,0)$ com $l\geq M$ com a
		propriedade de que todos os elos de $\pi$ , a não ser os extremos,
		$\displaystyle\,\,\mbox{estão acima do eixo horizontal}\}$

Então

$\displaystyle P_{p}(A_{M})$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle P_{p}\left(\bigcup_{l=M}^{\infty}\{(k,0)\leftrightarrow(l,0)\,\,% \mbox{para algum}\,\,k<0\}\right)$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\sum_{l=M}^{\infty}P_{p}((k,0)\leftrightarrow(l,0)\,\,\mbox{para % algum}\,\,k<0)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{l=M}^{\infty}P_{p}((0,0)\leftrightarrow(k-l,0)\,\,\mbox{% para algum}\,\,k<0)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{l=M}^{\infty}P_{p}((0,0)\leftrightarrow(l+m,0)\,\,\mbox{% para algum}\,\,m>0)$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\sum_{l=M}^{\infty}P_{p}(\|C\|\geq l).$

(5.6) nos permite escolher $M$ tal que

P_{p}(A_{M})\leq 1/2.

(5.7)

Seja agora

L=\{(m+1/2,1/2):-1\leq m<M\}.

Denote por $C(L)$ o conjunto de sítios do dual conectados a $L$ por caminhos fechados do dual.

Se $|C(L)|<\infty$ , então existe um circuito aberto no dual de $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ , isto é $\mathbb{Z}^{2}$ , ao redor de $C(L)$ (pela Proposição 5.1). Logo deve haver um caminho aberto em $\mathbb{Z}^{2}$ ligando sítios do tipo $(k,0)$ com $k<0$ e $(l,0)$ com $l\geq M$ inteiramente no semiplano superior. Então

P_{p}(|C(L)|<\infty)\leq P_{p}(A_{M})\leq 1/2.

(5.8)

Portanto $P_{p}(|C(L)|=\infty)\geq 1/2$ . Mas então pelo menos um sítio de $L$ tem que estar num aglomerado fechado infinito. De onde se conclui que

	$\displaystyle P_{p}(\mbox{$0_{\ast}$ está num aglomerado fechado infinito})$	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\frac{1}{M+1}P_{p}(\|C(L)\|=\infty)$
		$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\frac{1}{2(M+1)}$

e o lema está provado. $\quad\triangle$

A seguir apresentaremos uma outra prova do mesmo lema que tem um interessante subproduto.

Outra prova do Lema 5.2

Considere os seguintes conjuntos de sítios

	$\displaystyle\Lambda_{n}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{x\in\mathbb{Z}^{2}:0\leq x_{1}\leq n+1,\,0\leq x_{2}\leq n\}$
	$\displaystyle\Lambda_{n}^{\ast}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{x+(1/2,1/2),\,x\in\mathbb{Z}^{2}:0\leq x_{1}\leq n,\,-1\leq x_{% 2}\leq n\},$

os subgrafos

$\displaystyle S_{n}=\Lambda_{n}$	$\displaystyle\cup$	$\displaystyle\{\mbox{elos vizinhos mais próximos de $\Lambda_{n}$ exceto}$
		$\displaystyle\quad\mbox{$(x,y)$ com $x_{1}=y_{1}=0$ ou $x_{1}=y_{1}=n+1$}\}$
$\displaystyle S_{n}^{\ast}=\Lambda_{n}^{\ast}$	$\displaystyle\cup$	$\displaystyle\{\mbox{elos vizinhos mais próximos de $\Lambda_{n}^{\ast}$ exceto}$
		$\displaystyle\quad\mbox{$(x,y)$ com $x_{2}=y_{2}=-1$ ou $x_{2}=y_{2}=n$}\}$

e os eventos $A_{n}$ de que existe um caminho aberto em $S_{n}$ ligando seu lado esquerdo a seu lado direito e $A_{n}^{\ast}$ de que existe um caminho fechado em $S_{n}^{\ast}$ ligando seu lado de baixo a seu lado de cima.

Figura 5.3: $S_{5}$ e seu dual $S_{5}^{\ast}$

Temos que

A_{n}\cap A_{n}^{\ast}=\emptyset

(5.9)

pois senão haverá um cruzamento entre caminho aberto em $S_{n}$ com caminho fechado de $S_{n}^{\ast}$ , o que é impossível.

Por outro lado

A_{n}\cup A_{n}^{\ast}=\Omega.

(5.10)

De fato, suponha que $A_{n}$ não ocorre. Seja $D$ o conjunto de sítios de $S_{n}$ alcançados da face esquerda junto com os elos ligando tais sítios. Por uma variante da Proposição 5.1, existe um caminho em $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ cruzando $S_{n}^{\ast}$ de cima a baixo secante apenas a elos de $S_{n}$ contidos na fronteira de $D$ . Logo este caminho será fechado e $A_{n}^{\ast}$ ocorre (veja Figura 5.4).

Figura 5.4: Ilustração do fato de que se não há caminhos abertos atravessando $S_{n}$ da esquerda para a direita, então há um caminho fechado cruzando $S_{n}^{\ast}$ de cima para baixo.

De (5.9) e (5.10)

P_{p}(A_{n})+P_{p}(A_{n}^{\ast})=1.

(5.11)

Mas $P_{p}(A_{n}^{\ast})=P_{1-p}(A_{n})$ . Logo

P_{1/2}(A_{n})=1/2

(5.12)

(para todo $n$ ).

Mas se $p_{c}>1/2$ , então $P_{1/2}(A_{n})\to 0$ quando $n\to\infty$ (por uma variante do argumento que diz que $P_{p}(ED_{n})\to 0$ quando $n\to\infty$ se $p<p_{c}$ mencionado no capítulo anterior).

A contradição prova o lema. $\quad\triangle$

O subproduto interessante desta prova a que se aludiu acima é o fato de que $P_{1/2}(A_{n})=1/2$ independentemente de $n$ . Pode-se argumentar (faça-o) como para $ED_{n}$ que

P_{p}(A_{n})\to 0\quad\mbox{ou}\quad 1

quando $n\to\infty$ conforme $p<p_{c}$ ou $p>p_{c}$ respectivamente.