Capítulo 3 Fase Subcrítica: Decaimento Exponencial

Poderíamos definir outros pontos críticos no modelo de percolação. Por exemplo, lembrando que $\chi_{p}$ é o valor esperado do volume do aglomerado aberto da origem, seja

\tilde{p}=\sup\{p:\chi_{p}<\infty\}.

(3.1)

A prova da Proposição 1.2.1 mostra que $\tilde{p}$ está bem definido e é positivo. É claro que $\tilde{p}\leq p_{c}$ (pois se $\theta(p)=P_{p}(|C|=\infty)>0)$ então $\chi_{p}=\infty$ ).

Neste capítulo, veremos que $\tilde{p}=p_{c}$ , eliminando a existência de uma fase intermediária $(\tilde{p},p_{c})$ e estabelecendo a assim chamada unicidade do ponto crítico.

Este resultado foi provado independentemente por Menshikov [4] e Aizenman e Barsky [5] por argumentos diferentes (para $d$ geral; em 2 dimensões foi provado por Kesten [3] como conseqüência de que, neste caso, $p_{c}=1/2$ ). Mostraremos a seguir o argumento de Menshikov (com uma melhoria de Kesten, não publicada).

Sejam $S_{n}$ a esfera $L_{1}$ em $\mathbb{Z}^{d}$ de raio $n$ com centro na origem, isto é

S_{n}=\{x\in\mathbb{Z}^{d}:||x||_{1}\leq n\}

e $A_{n}$ o evento de que existe um caminho aberto da origem à fronteira de $S_{n}$ .

Teorema 3.1 (Menshikov)

Se $p<p_{c}$ , então para algum $\psi_{p}>0$

P_{p}(A_{n})\leq e^{-\psi_{p}n}\quad\mbox{para todo $n$.}

(3.2)

Corolário 3.1

$\chi_{p}<\infty$ se $p<p_{c}$ .

Observação 3.1

Na fase supercrítica $\chi_{p}=\infty$ , obviamente. Prova-se também [8] que

\lim_{p\uparrow p_{c}}\chi_{p}=\infty.

Prova do Corolário 3.1.

O Teorema 3.1 estabelece o decaimento exponencial da distribuição do raio de $C$ . De (3.2) concluimos que

P_{p}(|C|\geq n)\leq e^{-\psi_{p}^{\prime}n^{1/d}},

(3.3)

com $\psi_{p}^{\prime}>0$ . Logo,

\chi_{p}=\sum_{n\geq 1}P_{p}(|C|\geq n)<\infty.\quad\triangle

Observação 3.2

(3.3) estabelece decaimento subexponencial da distribuição de $|C|$ . Com um pouco mais de trabalho, mostra-se o decaimento exponencial desta distribuição (vide [8]).

A prova do Teorema 3.1 será apresentada em uma introdução mais três partes.

Introdução

Defina

g_{p}(n)=P_{p}(A_{n}).

(3.4)

Note que $g_{p}(n)\downarrow\theta(p)$ quando $n\uparrow\infty$ . Logo, se $p<p_{c}$ , existe $p^{\prime}$ satisfazendo $p<p^{\prime}<p_{c}$ e portanto

\lim_{n\to\infty}g_{p^{\prime}}(n)=\theta(p^{\prime})=0.

O problema é mostrar que para algum $p^{\prime}$ , se $\lim_{n\to\infty}g_{p^{\prime}}(n)=0$ então para $p<p^{\prime}$

g_{p}(n)\leq e^{-\psi_{p}n}.

Queremos limitar $g_{p}(n)$ superiormente em termos de $g_{p^{\prime}}(n)$ e mais alguma coisa (é preciso melhorar a cota trivial $g_{p}(n)\leq g_{p^{\prime}}(n)$ ).

Parte 1

Como já vimos no Capítulo 2, Seção 3, a fórmula de Russo produz a seguinte desigualdade para $0<\alpha\leq\beta\leq 1$ .

g_{\alpha}(n)\leq g_{\beta}(n)\exp\left(-\int_{\alpha}^{\beta}E_{p}(N(A_{n})|A% _{n})dp\right),

(3.5)

onde $N(A_{n})$ é o número de elos pivotais para o evento $A_{n}$ .

Parte 2

Para um dado $\beta$ , seja $M$ o raio (aleatório) do aglomerado aberto da origem (isto é, $\max_{x\in C}||x||_{1}$ ou, equivalentemente, $\max\{k:A_{k}$ ocorre}). Note que se $\theta(p)>0$ , então $M=\infty$ com probabilidade positiva e se $\theta(p)=0$ então $M$ é uma variável aleatória finita com valores inteiros.

Sejam $M_{1},M_{2},\ldots$ variáveis aleatórias independentes com a mesma distribuição de $M$ . Mostraremos mais adiante que

P_{p}(N(A_{n})\geq k|A_{n})\geq P((1+M_{1})+\ldots+(1+M_{k})\leq n),

(3.6)

para todo $k\geq 0$ , o que relaciona $N(A_{n})$ (condicionado a $A_{n}$ ) a um processo de renovação. Usando métodos usuais em tais processos, conclui-se que

$\displaystyle E_{p}(N(A_{n})\|A_{n})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P_{p}(N(A_{n})\geq k\|A_{n})$	(3.7)
	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P((1+M_{1})+\ldots+(1+M_{k})\leq n)$
	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\frac{n}{E(1+M\wedge n)}-1=\frac{n}{\sum_{i=0}^{n}g_{p}(i)}-1.$

Parte 3

Combinam-se as partes 1 e 2 para obter para $0<\alpha\leq\beta\leq 1$ :

g_{\alpha}(n)\leq g_{\beta}(n)\exp\left[(\beta-\alpha)-(\beta-\alpha)\frac{n}{% \sum_{i=0}^{n}g_{\beta}(i)}\right].

(3.8)

Da desigualdade acima, concluiremos que

\sum_{i=0}^{\infty}g_{\beta}(i)<\infty,

(3.9)

do que segue o teorema.

Em seguida apresentaremos as partes 2 e 3 em detalhes.

Parte 2

Sejam $\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{m}\}$ os elos pivotais abertos para $A_{n}$ na ordem com que são atingidos por um caminho aberto da origem até $\partial S_{n}$ . (Note que a ordem é a mesma para qualquer tal caminho devido à pivotalidade.) Escreva $e_{j}$ como $(x_{j},y_{j})$ (Na ”ordem correta”. Veja a Figura 3.1.).

Figura 3.1: Figura do aglomerado da origem em $S_{7}$ . Há exatamente 4 elos pivotais para $A_{7}$ nesta configuração, denotados $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ e $e_{4}$ .

Os elos do aglomerado da origem entre os elos pivotais sucessivos formam salsichas. O aglomerado da origem em $S_{n}$ pode ser visto então como como salsichas de elos conectadas por elos pivotais.

Sejam

$\displaystyle\rho_{1}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\|\|x_{1}\|\|_{1}$
$\displaystyle\rho_{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\|\|y_{1}-x_{2}\|\|_{1}$
	$\displaystyle\vdots$
$\displaystyle\rho_{m}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\|\|y_{m-1}-x_{m}\|\|_{1},$

e $\rho_{i}=\infty$ para $i>m$ . $\rho_{1},\ldots,\rho_{m}$ representam os raios das salsichas sucessivas.

Então $N(A_{n})\geq k$ se

(\rho_{1}+1)+(\rho_{2}+1)+\ldots+(\rho_{k}+1)\leq n,

ou seja,

\rho_{1}+\ldots+\rho_{k}\leq n-k.

Logo,

P_{p}(N(A_{n})\geq k|A_{n})\geq P_{p}(\rho_{1}+\ldots+\rho_{k}\leq n-k|A_{n}).

(3.10)

Queremos mostrar que

P_{p}(\rho_{1}+\ldots+\rho_{k}\leq n-k|A_{n})\geq P_{p}(M_{1}+\ldots+M_{k}\leq n% -k),

(3.11)

para todo $n$ e $k$ , onde $M_{1},M_{2},\ldots$ são variáveis aleatórias independentes com distribuição comum igual àquela do raio do aglomerado da origem (vamos denotar esta última v.a. por $M$ ).

Para obter a última desigualdade, seria bom se bastasse provar desigualdades envolvendo probabilidades condicionais do tipo

P_{p}(\rho_{k}\leq r_{k}|\rho_{1}=r_{1},\ldots,\rho_{k-1}=r_{k-1},A_{n})\geq P% (M_{k}\leq r_{k}),

(3.12)

para todo $n$ , $k$ e $r_{1}+\ldots+r_{k}\leq n-k$ .

O próximo lema mostra que este é o caso.

Lema 3.1

A desigualdade (3.12) implica a desigualdade (3.11)

Portanto é suficiente provar o seguinte.

Lema 3.2

A desigualdade (3.12) é válida.

Antes de provarmos os lemas acima, vejamos porque (3.11) implica no resultado da parte 2.

De (3.10) e (3.11), temos

P_{p}(N(A_{n})\geq k|A_{n})\geq P((1+M_{1})+\ldots+(1+M_{k})\leq n).

(3.13)

Consideremos $M_{1}^{\prime},M_{2}^{\prime},\ldots$ v.a.’s independentes com a mesma distribuição de $M^{\prime}=1+M\wedge n$ . Temos

P_{p}(N(A_{n})\geq k|A_{n})\geq P(M_{1}^{\prime}+\ldots+M_{k}^{\prime}\leq n).

Agora usamos um pouco da teoria da renovação elementar. Considere um processo de renovação com ”tempos de vida” $M_{1}^{\prime},M_{2}^{\prime},\ldots$ (e portanto instantes de renovação $M_{1}^{\prime}$ , $M_{1}^{\prime}+M_{2}^{\prime},\ldots,M_{1}^{\prime}+\ldots+M_{k}^{\prime},\ldots$ )

Defina a v.a. $K$ como 1 mais o número de renovações até o instante $n$ , isto é,

K=\min\{k:M_{1}^{\prime}+\ldots+M_{k}^{\prime}>n\}.

Temos então

P(M_{1}^{\prime}+\ldots+M_{k}^{\prime}\leq n)=P(K\geq k+1)=P(K-1\geq k).

Somando sobre $k\geq 1$ :

E_{p}(N(A_{n})|A_{n})\geq E(K-1)=E(K)-1.

Para obter uma cota inferior para $E(K)$ usamos a Identidade de Wald [9], que diz que

E(M_{1}^{\prime}+\ldots+M_{K}^{\prime})=E(K)E(M^{\prime}).

Como, claramente, $M_{1}^{\prime}+\ldots+M_{K}^{\prime}\geq n+1>n,$ temos imediatamente que

E(K)-1>\frac{n}{E(M^{\prime})}-1,

como queríamos.

Vamos agora às demonstrações dos lemas.

Prova do Lema 3.1

			$\displaystyle P_{p}(\rho_{1}+\ldots+\rho_{k}\leq n-k\|A_{n})$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\!\!\!\!\!\!\sum_{r_{1},\ldots,r_{k-1}}\!\!\!\!\!\!P_{p}(\rho_{k}% \leq n-k-\sum_{i=1}^{k-1}r_{i}\|\rho_{1}=r_{1},\ldots,\rho_{k-1}=r_{k-1},A_{n})$
			$\displaystyle\mbox{}\hskip 42.67912pt\times P_{p}(\rho_{1}=r_{1},\ldots,\rho_{% k-1}=r_{k-1}\|A_{n})$
		$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\!\!\!\!\!\!\sum_{r_{1},\ldots,k-1}\!\!\!\!\!\!P_{p}(M_{k}\leq n-% k-\sum_{i=1}^{k-1}r_{i})P_{p}(\rho_{1}=r_{1},\ldots,\rho_{k-1}=r_{k-1}\|A_{n})$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle P_{p}(\rho_{1}+\ldots+\rho_{k-1}+M_{k}\leq n-k\|A_{n})$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\!\!\!\!\!\!\sum_{r_{1},\ldots,r_{k-2},r_{k}}\!\!\!\!\!\!P_{p}(% \rho_{k-1}\leq n-k-\!\!\!\!\!\!\sum_{i=1,i\neq k-1}^{k}\!\!\!\!\!\!r_{i}\|\rho_% {1}=r_{1},\ldots,\rho_{k-2}=r_{k-2},$
			$\displaystyle\mbox{}\hskip 56.9055ptM_{k}=r_{k},A_{n})P_{p}(\rho_{1}=r_{1},% \ldots,\rho_{k-2}=r_{k-2},M_{k}=r_{k}\|A_{n})$
		$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\!\!\!\!\!\!\sum_{r_{1},\ldots,r_{k-2},r_{k}}\!\!\!\!\!\!P_{p}(M_% {k-1}\leq n-k-\!\!\!\!\!\!\sum_{i=1,i\neq k-1}^{k}\!\!\!\!\!\!r_{i})$
			$\displaystyle\mbox{}\hskip 42.67912pt\times P_{p}(\rho_{1}=r_{1},\ldots,\rho_{% k-2}=r_{k-2},M_{k}=r_{k}\|A_{n})$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle P_{p}(\rho_{1}+\ldots+\rho_{k-2}+M_{k-1}+M_{k}\leq n-k\|A_{n})$
		$\displaystyle\vdots$
		$\displaystyle\geq$	$\displaystyle P_{p}(M_{1}+\ldots+M_{k}\leq n-k),$

as desigualdades acima todas seguindo de (3.12).

Prova do Lema 3.2

Queremos provar que

P_{p}(\rho_{k}\leq r_{k}|\rho_{1}=r_{1},\ldots,\rho_{k-1}=r_{k-1},A_{n})\geq P% _{p}(M\leq r_{k})

(3.14)

quando $r_{1}+\ldots+r_{k}\leq n-k.$ Isto é equivalente a (denotando o evento $\{\rho_{1}=r_{1},\ldots,\rho_{k-1}=r_{k-1}\}$ por $B$ )

P_{p}(\rho_{k}>r_{k},B,A_{n})\leq P_{p}(M>r_{k})P_{p}(B,A_{n}).

(3.15)

Note que $\{M>r_{k}\}=A_{r_{k}+1}$ . Para $k=1$ a desigualdade se torna

P_{p}(\rho_{1}>r_{1},A_{n})\leq P_{p}(A_{r_{1}+1})P_{p}(A_{n})

(3.16)

para $r_{1}\leq n-1$ .

No evento em que $\{\rho_{1}>r_{1}\}$ , a origem está conectada por dois caminhos disjuntos a $x_{1}$ e $x_{1}$ está a distância pelo menos $r_{1}+1$ da origem (veja a Figura 3.2).

Figura 3.2: Os elos pivotais são $e_{i}=(x_{i},y_{i})$ para $i=1,2,3,4.$ Note que $x_{3}=y_{2}$ nesta configuração. A linha tracejada é a superfície $\partial S_{\rho_{1}}$ de $S_{\rho_{1}}$ . Note os caminhos disjuntos da origem a $\partial S_{\rho_{1}}$ .

No evento $\{\rho_{1}>r_{1}\}\cap A_{n}$ , há dois caminhos disjuntos, um de $O$ a $\partial S_{r_{1}+1}$ e outro de $O$ a $\partial S_{n}$ . Portanto,

\{\rho_{1}>r_{1}\}\cap A_{n}\subset A_{r_{1}+1}\circ A_{n}

e a desigualdade de BK produz a desigualdade (3.16).

Para $k>1$ , escreva

B=\bigcup_{\Gamma}B_{\Gamma},

união disjunta sobre configurações (detalhadas) das salsichas até $y_{k-1}$ . Então

P_{p}(B,A_{n})=\sum_{\Gamma}P_{p}(A_{n}|B_{\Gamma})P_{p}(B_{\Gamma})

(3.17)

P_{p}(\rho_{k}>r_{k},B,A_{n})=\sum_{\Gamma}P_{p}(\rho_{k}>r_{k},A_{n}|B_{% \Gamma})P_{p}(B_{\Gamma}).

(3.18)

Logo é suficiente mostrar para cada $\Gamma$ :

P_{p}(\rho_{k}>r_{k},A_{n}|B_{\Gamma})\leq P_{p}(A_{r_{k}+1})P_{p}(A_{n}|B_{% \Gamma}).

(3.19)

Mas a probabilidade à esquerda é menor ou igual a

	$\displaystyle P_{p}(\mbox{há caminhos disjuntos abertos de $y_{k-1}$ a $\partial S(y_{k-1},r_{k}+1)$ e de $y_{k-1}$}$
	$\displaystyle\mbox{}\mbox{a $\partial S_{n}$ que não usam elos dos fechos das % salsichas anteriores}),$

onde $S(y_{k-1},r_{k}+1)$ é a esfera de centro em $y_{k-1}$ e raio $r_{k}+1$ .

Como no caso $k=1$ , da desigualdade de BK, desta vez aplicada substituindo $\mathbb{E}^{d}$ por $\mathbb{E}^{d}\backslash$ (elos dos fechos das salsichas anteriores), segue que a probabilidade acima é menor ou igual a

	$\displaystyle P_{p}(y_{k-1}\leftrightarrow\partial S(y_{k-1},r_{k}+1)\,\,\mbox% {sem usar elos anteriores})$
	$\displaystyle\times P_{p}(y_{k-1}\leftrightarrow\partial S_{n}\,\,\mbox{sem % usar elos anteriores}).$

A última probabilidade é igual a $P_{p}(A_{n}|B_{\Gamma})$ . A primeira é menor ou igual a

P_{p}(y_{k-1}\leftrightarrow\partial S(y_{k-1},r_{k}+1))

que, pela invariância translacional do modelo, é igual a $P_{p}(A_{r_{k}+1}).\quad\triangle$

A conclusão de que (3.9), e portanto o Teorema 3.1, segue de (3.8) se dá através do próximo lema, um resultado puramente analítico, cuja prova será apresentada no apêndice a estas notas.

Lema 3.3

Para $p<p_{c}$ , existe uma constante $\delta(p)$ tal que

g_{p}(n)\leq\delta(p)n^{-1/2}.

(3.20)

Prova do Teorema 3.1 De (3.20), temos que

\sum_{i=0}^{n}g_{p}(i)\leq\Delta(p)n^{1/2},

(3.21)

para algum $\Delta(p)$ .

Substituindo (3.21) em (3.8), obtemos

g_{\alpha}(n)\leq g_{\beta}(n)\exp\left[(\beta-\alpha)-c(\beta-\alpha)n^{1/2}% \right],

(3.22)

onde $c$ é uma constante positiva, o que implica (3.9). $\quad\triangle$

É uma conseqüência imediata do Teorema 3.1 o decaimento exponencial da função de conectividade.

Corolário 3.2

\tau_{p}(x,y)\leq e^{-\phi_{p}||x-y||_{1}},

(3.23)

com $\phi_{p}>0$ para $p<p_{c}$ .

(Verifique!)

Em seguida apresentamos outro corolário ao Teorema 3.1 estabelecendo a suavidade de $\chi_{p}$ na fase subcrítica.

Corolário 3.3

$\chi_{p}$ é $k$ vezes diferenciável em $p<p_{c}$ para todo $k\geq 1$ .

Prova.

Como $p<p_{c}$ , podemos escrever $\chi_{p}$ como

\chi_{p}=\sum_{n=1}^{\infty}nP_{p}(|C|=n).

(3.24)

A última probabilidade pode ser expressa como

P_{p}(|C|=n)=\sum_{m,b}a_{nmb}p^{m}(1-p)^{b},

(3.25)

onde $a_{nmb}$ é o número de animais de rede com $n$ sítios, $m$ elos e $b$ elos de fronteira. Por animal de rede denotamos conjuntos conexos de sítios da rede contendo a origem.

Para $n$ fixo, são válidas as seguintes cotas para $m$ e $b$ (verifique-as!)

n-1\leq m\leq dn\quad\mbox{e}\quad b\leq 2dn.

(3.26)

Estas produzem a seguinte cota para $\sum_{m,b}a_{nmb}$

	$\displaystyle 1\geq\sum_{m,b}a_{nmb}p^{m}(1-p)^{b}$	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\sum_{m,b}a_{nmb}p^{dn}(1-p)^{2dn}$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle(p(1-p)^{2})^{dn}\sum_{m,b}a_{nmb},$

do que temos

\sum_{m,b}a_{nmb}\leq(p(1-p)^{2})^{-dn}\leq 7^{dn}.

(3.27)

Voltando a (3.25), temos

\chi_{p}=\sum_{n}\sum_{m=n-1}^{dn}\sum_{b=1}^{2dn}na_{nmb}p^{m}(1-p)^{b}.

(3.28)

Vamos dividir o argumento em dois. Para $p=0$ , provaremos o fato mais forte de que $\chi_{p}$ é analítica (isto é, pode ser escrita como série de potências convergente de $p$ , o que implica em suavidade). Em seguida, provaremos suavidade para $0<p<p_{c}$ .

Estendendo $\chi_{p}$ formalmente ao plano complexo a partir de (3.28), temos

K(z)=\sum_{n}\sum_{m=n-1}^{dn}\sum_{b=1}^{2dn}na_{nmb}z^{m}(1-z)^{b}.

(3.29)

Para provarmos analiticidade de $\chi_{p}$ na origem, basta mostrarmos (pelo Teorema de Vitali), que a série acima é uniformemente convergente numa região do plano complexo contendo a origem.

De (3.27) temos

$\displaystyle\left\|\sum_{m=n-1}^{dn}\sum_{b=1}^{2dn}na_{nmb}z^{m}(1-z)^{b}\right\|$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\sum_{m=n-1}^{dn}\sum_{b=1}^{2dn}na_{nmb}\|z\|^{m}(1+\|z\|)^{b}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle n7^{dn}\|z\|^{n-1}(1+\|z\|)^{2dn}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle Anc(z)^{n-1}$

se $|z|\leq 1$ , onde $A$ depende apenas de $d$ e $c(z)=|z|\{7(1+|z|)^{2}\}$ .

Para $|z|$ suficientemente pequeno, $c(z)<1$ e concluimos que a série definindo $K(z)$ é uniformemente convergente numa vizinhança complexa da origem e portanto $\chi_{p}$ é analítica em $p=0$ .

Em seguida, vamos diferenciar $\chi_{p}$ formalmente $k$ vezes usando (3.28) para obter

\frac{d^{k}}{dp^{k}}\chi_{p}=\sum_{n}\sum_{m=n-1}^{dn}\sum_{b=1}^{2dn}na_{nmb}% \frac{d^{k}}{dp^{k}}(p^{m}(1-p)^{b}).

(3.30)

Para obter a diferenciabilidade de $\chi_{p}$ em $I:=(0,p_{c})$ , basta mostrar que a série acima é uniformemente convergente num intervalo fechado arbitrário de $I$ . Para isto notemos que

$\displaystyle\left\|\frac{d^{k}}{dp^{k}}(p^{m}(1-p)^{b})\right\|$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\left\|\sum_{r=0}^{k}{k\choose r}m_{r}b_{k-r}p^{m-r}(-1)^{k-r}(1-p% )^{b-(k-r)}\right\|$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle p^{m}(1-p)^{b}\sum_{r=0}^{k}{k\choose r}(m/p)^{r}(b/(1-p))^{k-r}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle p^{m}(1-p)^{b}\left(\frac{m}{p}+\frac{b}{1-p}\right)^{k},$

onde $x_{r}=x!/r!$ . Logo,

			$\displaystyle\sum_{n\geq N}\left\|\sum_{m=n-1}^{dn}\sum_{b=1}^{2dn}na_{nmb}% \frac{d^{k}}{dp^{k}}(p^{m}(1-p)^{b})\right\|$
		$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\left(\frac{2d}{p(1-p)}\right)^{k}\sum_{n\geq N}n^{k}\sum_{m=n-1}% ^{dn}\sum_{b=1}^{2dn}na_{nmb}p^{m}(1-p)^{b}$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\left(\frac{2d}{p(1-p)}\right)^{k}\sum_{n\geq N}n^{k}P_{p}(\|C\|=n)$

e, portanto, (3.3) implica na convergência uniforme de (3.30) em intervalos fechados de $I$ . $\quad\triangle$

Observação 3.3

Um argumento semelhante ao da prova acima, mas usando o decaimento exponencial da distribuição de $|C|$ (como discutido na Observação 3.2), prova analiticidade de $\chi_{p}$ em $(0,p_{c})$ . (Vide [8].)