2.3 Fórmula de Russo ‣ Capítulo 2 Ferramentas úteis ‣ Notas em Percolação

O próximo resultado é uma fórmula para a derivada em $p$ da probabilidade de um evento crescente. Para obtê-la, usaremos a construção acoplada do modelo de percolação usando a família de variáveis uniformes ${\cal Z}$ vista no capítulo anterior (o modelo padrão).

Consideramos então, para uma dada configuração das variáveis em ${\cal Z}$ , a configuração de elos $p$ -abertos $\omega_{p}$ , isto é, $(\omega_{p}(e))_{e\in\mathbb{E}^{d}}$ tal que

\omega_{p}(e)=\cases{1,&se $Z_{e}<p$\cr 0,&caso contrário}

para todo $e\in\mathbb{E}^{d}$ .

Seja $A$ um evento crescente que depende de um conjunto finito de elos ${\cal G}$ de $\mathbb{E}^{d}$ e considere

P_{p+\delta}(A)-P_{p}(A)=\mathbb{P}(\omega_{p}\notin A,\omega_{p+\delta}\in A).

(2.3.1)

Como $A$ é crescente, se $\omega_{p}\notin A$ e $\omega_{p+\delta}\in A$ , então há elos $e\in\mathcal{G}$ tais que $\omega_{p}(e)=0$ mas $\omega_{p+\delta}(e)=1$ , isto é, $p\leq Z_{e}<p+\delta$ . Denote por ${\cal N}_{p,\delta}$ o conjunto de tais elos. A probabilidade de que $|{\cal N}_{p,\delta}|\geq 2$ é $o(\delta)$ . Por outro lado, se $\omega_{p}\notin A$ , $\omega_{p+\delta}\in A$ e $|{\cal N}_{p,\delta}|=1$ , então o (estado do) elo $e$ em questão deve ser essencial em $\omega_{p}$ para (a ocorrência ou não de) $A$ no sentido de que $\omega_{p}\notin A$ , mas $\omega_{p}^{\prime}\in A$ , onde $\omega_{p}^{\prime}$ é a configuração obtida de $\omega_{p}$ trocando o status do elo $e$ de $0$ para $1$ . A última probabilidade em (2.3.1) fica, então,

\mathbb{P}(\omega_{p}\notin A,\omega_{p+\delta}\in A,|{\cal N}_{p,\delta}|=1)+% o(\delta).

A probabilidade acima pode ser escrita como

\sum_{e\in{\cal G}}\mathbb{P}(\omega_{p}\notin A,\omega_{p+\delta}\in A,{\cal N% }_{p,\delta}=\{e\}).

O evento dentro da probabilidade na soma é equivalente ao evento

\{\mbox{$e$ é essencial em $\omega_{p}$ para $A$},p\leq Z_{e}<p+\delta,{\cal N% }_{p,\delta}=\{e\}\}.

Aquela probabilidade pode ser escrita, então, como

			$\displaystyle\mathbb{P}[\mbox{$e$ é essencial em $\omega_{p}$ para $A$},p\leq Z% _{e}<p+\delta]$		(2.3.2)
		$\displaystyle-$	$\displaystyle\mathbb{P}[\mbox{$e$ é essencial em $\omega_{p}$ para $A$},p\leq Z% _{e}<p+\delta,{\cal N}_{p,\delta}\neq\{e\}].$		(2.3.3)

A probabilidade em (2.3.3) é limitada superiormente por

\mathbb{P}(|{\cal N}_{p,\delta}|\geq 2)=o(\delta).

Observemos agora que a ocorrência ou não do evento { $e$ é essencial em $\omega_{p}$ para $A$ } não depende de $\omega(e)$ . Logo, a probabilidade em (2.3.2) fatora.

Combinando os argumentos acima, temos

$\displaystyle P_{p+\delta}(A)-P_{p}(A)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{e}\mathbb{P}(\mbox{$e$ é essencial em $\omega_{p}$ para $A$% })\mathbb{P}(p\leq Z_{e}<p+\delta)+o(\delta)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\delta\sum_{e}\mathbb{P}(\mbox{$e$ é essencial em $\omega_{p}$ % para $A$})+o(\delta)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\delta E(N(A))+o(\delta),$

onde $N(A)$ denota o número de elos essenciais em $\omega_{p}$ para $A$ (e $E$ é a esperança com respeito a $\mathbb{P}$ ).

Modificando um pouco a terminologia, e voltando ao modelo com as variáveis de Bernoulli, dado um evento qualquer $A\in{\cal E}$ e uma configuração $\omega\in\Omega$ , definimos um elo $e$ como pivotal para $A$ (mais precisamente, para ( $A,\omega$ )) se, denotando por $\omega^{\prime}$ a configuração idêntica a $\omega$ em todos os elos com exceção de $e$ , em que $\omega$ e $\omega^{\prime}$ são diferentes, uma das duas coisas acontece: ou

\omega\in A\quad\mbox{e}\quad\omega^{\prime}\notin A

ou

\omega\notin A\quad\mbox{e}\quad\omega^{\prime}\in A.

Seja $N(A)$ o número de elos pivotais para $A$ . O argumento acima prova o seguinte.

A equação (2.3.4) também pode ser escrita

\frac{d}{dp}P_{p}(A)=\sum_{e}P_{p}(\mbox{$e$ é pivotal para $A$}).

O uso que se fará da fórmula de Russo parte da observação de que o evento { $e$ é pivotal para $A$ } é independente do elo $e$ e portanto independente do evento { $e$ está aberto}, para deduzir que

P_{p}(\mbox{$e$ é pivotal para $A$})=\frac{1}{p}P_{p}(\mbox{$e$ está aberto e % é pivotal para $A$}).

Logo, se $A$ for crescente, aplicando a fórmula de Russo temos

$\displaystyle\frac{d}{dp}P_{p}(A)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{p}\sum_{e}P_{p}(\mbox{$e$ está aberto e é pivotal para $% A$})$	(2.3.5)
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{p}\sum_{e}P_{p}(A\cap\{\mbox{$e$ é pivotal para $A$}\})$	(2.3.6)
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{p}\sum_{e}P_{p}(A)P_{p}(\mbox{$e$ é pivotal para $A$}\|A)$	(2.3.7)
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{p}E_{p}(N(A)\|A)P_{p}(A).$	(2.3.8)

Dividindo a primeira e última expressões por $P_{p}(A)$ e integrando em $[p_{1},p_{2}]$ ( $0<p_{1}\leq p_{2}\leq 1$ ), chegamos a

P_{p_{2}}(A)=P_{p_{1}}(A)\exp\left(\int_{p_{1}}^{p_{2}}\frac{1}{p}E_{p}(N(A)|A% )dp\right).

(2.3.9)

A identidade acima será aplicada no próximo capítulo.

2.3 Fórmula de Russo

Teorema 2.3.1