2.2 Desigualdade de BK

A próxima desigualdade que discutiremos vai no sentido contrário da desigualdade de FKG e envolve uma intersecção restrita de eventos crescentes.

Dados dois eventos crescentes $A$ e $B$ de ${\cal E}$, dizemos que $A$ e $B$ ocorrem disjuntamente (para um dado $\omega$) se existirem dois caminhos abertos (de elos) disjuntos (em $\omega$) tais que o primeiro garante a ocorrência de $A$ e o segundo garante a ocorrência de $B$. Denotamos por $A\circ B$ a ocorrência disjunta de $A$ e $B$.

Por exemplo, no evento $\{x\leftrightarrow y\}\circ\{u\leftrightarrow v\}$ há dois caminhos abertos disjuntos, um ligando os sítios $x$ e $y$ e outro ligando os sítios $u$ e $v$.

O nome da desigualdade é referência a seus descobridores van den Berg e Kesten [13]. A restrição a eventos que dependem apenas de um conjunto finito de elos deve-se a razões técnicas, a extensão pode ser feita para outros casos de interesse. Para uma discussão mais completa com a demonstração do resultado, veja [8] página 29. Discutiremos abaixo a idéia da prova, usando os eventos do exemplo acima, mas restritos a uma sub-rede finita de $\mathbb{Z}^{d}$ (por exemplo, o quadrado $Q_{M}$ do capítulo anterior, para algum $M$), do contrário eles dependerão de um conjunto infinito de elos.

Notemos para começar que dada a ocorrência de $\{u\leftrightarrow v\}$, temos informação sobre elos abertos, que não podem ser usados na ocorrência disjunta de $\{x\leftrightarrow y\}$. Isto torna plausível a desigualdade

A idéia da prova é a seguinte. Seja ${\cal G}$ uma sub-rede finita de $\mathbb{Z}^{d}$ e $e$ um elo de ${\cal G}$. Substituamos $e$ por dois elos paralelos $e^{\prime}$ e $e^{\prime\prime}$ abertos com probabilidade $p$ e fechados com probabilidade $1-p$ independentemente um do outro. Considera-se a ocorrência disjunta de $\{x\leftrightarrow y\}$ e $\{u\leftrightarrow v\}$ nesta nova rede, mas com o primeiro evento evitando $e^{\prime\prime}$ e o segundo evento evitando $e^{\prime}$. Observa-se que esta operação não pode diminuir a probabilidade original. Continua-se indutivamente substitindo-se os elos $f$ de ${\cal G}$ por elos paralelos e independentes $f^{\prime}$ e $f^{\prime\prime}$ e considerando-se a ocorrência disjunta de $\{x\leftrightarrow y\}$ e $\{u\leftrightarrow v\}$ na nova rede, a ocorrência do primeiro sem usar elos ^′′ e a do segundo sem usar elos ^′. A operação não diminui a probabilidade do passo anterior. Ao término, esgotados todos os elos de ${\cal G}$, temos duas cópias independentes desta rede, uma na qual perguntamos pela ocorrência de $\{x\leftrightarrow y\}$, na outra perguntamos pela ocorrência de $\{u\leftrightarrow v\}$, eventos portanto independentes. A probabilidade final é então o produto das probabilidades dos eventos e a cadeia de desigualdades levando à probabilidade de ocorrência disjunta dos eventos em ${\cal G}$ nos dá o resultado.