Capítulo 6 Continuidade no Ponto Crítico: Renormalização

Neste último capítulo trataremos de forma pincelada de um método de ataque ao problema de se provar a continuidade de $\theta(p)$ em $p_{c}$ em mais dimensões do que duas. Neste caso, não temos nem a auto-dualidade da rede hipercúbica nem conhecemos (ou esperamos algum dia conhecer) o valor exato de $p_{c}$. Ambos conhecimentos foram úteis em $d=2$ (Capítulo 5).

A idéia será relacionar a ocorrência de percolação a um evento em volume finito, cuja probabilidade, sendo contínua (pois as probabilidades de todos tais eventos são polinômios em $p$), nos permitirá concluir que, se há percolação para $p$, então há também para $p-\epsilon$ com $\epsilon>0$ suficientemente pequeno.

O método é chamado de renormalização. A versão a ser esboçada, que chamaremos renormalização estática, não foi ainda realizada com rigor em modelos de percolação (uma prova para a Proposição 6.2 abaixo ainda não foi feita), mas técnicas de renormalização dinâmica muito similares foram aplicadas com sucesso para percolação em semi-espaços de $\mathbb{Z}^{d}$, $d\geq 3$ [7]. O problema da continuidade no ponto crítico em $\mathbb{Z}^{d}$ inteiro permanece aberto para valores intermediários de $d$ entre $2$ e $d_{0}$, este último o menor valor para o qual Hara e Slade [17] podem aplicar sua expansão em laços e obter a continuidade a partir daí, entre outros resultados ($d_{0}$ estava em 19 segundo as últimas notícias, mas não se espera que possa vir abaixo de 7).

Para $0\leq K\leq L$, considere a partição de $\mathbb{Z}^{d}$ em cubos concêntricos de lado $2K$ e $2L$ como na figura abaixo e seja $A_{K,L}$ o evento em que existe um caminho aberto dentro dos dois cubos grandes conectando a superfície dos dois cubos menores (vide Figura 6.1).

Para garantir interconexão, precisamos intersectar $A_{K,L}$ com outro evento

em que $B_{K,L}^{i}$, $i=1,2$, é o evento de que todos os sítios do cubo menor $i$, que estiverem ligados por caminhos abertos à fronteira do cubo grande respectivo, estarão conectados entre si por caminhos abertos dentro do cubo grande.

Seja $\tilde{A}_{K,L}=A_{K,L}\cap B_{K,L}$.

Um argumento para a validade deste resultado será esboçado adiante.

Primeiro mostraremos que a Proposição 6.2 conjecturada implica que se $\theta(p^{\prime})>0$, então

(portanto $R_{K,L}(p^{\prime})>\lambda^{\ast}$ para algum $K$ e $L$).

De fato, para cada $K$ fixo,

para $i=1,2$, pois de outra forma haveria probabilidade positiva de que 2 sítios do cubo menor estivessem em aglomerados infinitos disjuntos. Logo

do que se conclui que

Agora suponha que, para algum $p^{\prime}$, $\theta(p^{\prime})>0$. Pelo argumento acima podemos escolher $K_{0}$ e $L_{0}$ tais que $R_{K_{0},L_{0}}(p^{\prime})>\lambda^{\ast}$. Mas $R_{K_{0},L_{0}}(p)$ é um polinômio em $p$. Logo

para algum $\epsilon$ positivo. Pela Proposição 6.1

Temos portanto que $\theta(p^{\prime})>0$ implica que $\theta(p^{\prime}-\epsilon)>0$ para algum $\epsilon>0$. Logo $\theta(p_{c})$ não pode ser positivo, pois isto implicaria em $\theta(p)$ positivo para algum $p<p_{c}$, o que contradiz a definição de $p_{c}$. $\quad\triangle$

Considere uma rede renormalizada isomórfica a $\mathbb{Z}^{2}$ na qual cada sítio corresponde a um cubo $2L\times 2L\times 2L$ em $\mathbb{Z}^{3}$, como na Figura 6.2. Declare um elo renormalizado aberto se $\tilde{A}_{K,L}(e)$ ocorrer.

Teremos então um modelo de percolação dependente na rede renormalizada com uma medida de probabilidade $\tilde{P}_{p}$ tal que

Precisamos mostrar que existe $\lambda^{\ast}\in(0,1)$ tal que se $R_{K,L}$ for maior do que $\lambda^{\ast}$, então percolação dependente ocorre na rede renormalizada. Se isto ocorrer, obviamente percolação independente ocorrerá na rede original.

A prova de que percolação dependente ocorre em $\mathbb{Z}^{2}$ renormalizada pode ser feita pelo mesmo argumento de Peierls na prova da Proposição 1.2.2 (a partir dos circuitos nos elos duais de $\mathbb{Z}^{2}$) com a única pequena modificação de que a medida nos elos não é mais independente, mas apenas localmente dependente. Deixamos os detalhes para o leitor. $\quad\triangle$