Notas em Percolação

Prefácio

Dos modelos da física estatística na rede a exibir transição de fase, o modelo de Percolação é possivelmente o mais simples e um dos que mais bem exemplificam a rica e frutífera interrelação que há na área entre métodos da física matemática, probabilidade e combinatória.

Formulado em fins da década de 50 por Broadbent e Hammersley [1] como um modelo de transporte de fluido em meio poroso, ele teve seus primeiros resultados não-triviais (sobre a existência de transição de fase) provados por estes autores. Harris [2] obteve resultados parciais sobre o ponto crítico em duas dimensões no início dos anos 60. Mais tarde, já em fins dos anos 70 e início dos 80, Kesten [3] estabeleceu seu valor exato. Diversos outros resultados importantes foram obtidos neste último período, como os argumentos independentes de Menshikov [4] e Aizenman e Barsky [5] para estabelecer a unicidade do ponto crítico e o resultado de Aizenman, Kesten e Newman sobre a unicidade do aglomerado infinito [6].

Os fins dos anos 80 e início dos 90 marcam o ataque a um dos problemas mais elusivos do modelo, a continuidade da densidade do aglomerado infinito no ponto crítico em mais do que duas dimensões. Idéias de renormalização de Barsky, Grimmett e Newman [7] produziram os resultados mais importantes a respeito, ainda que incompletos (o problema original permanece em aberto!).

Estas notas representam tópicos apresentados pelo autor em cursos sobre Percolação na USP de São Carlos e São Paulo, na UFMG e no IMPA entre janeiro de 1993 e fevereiro de 1994. Os pontos abordados são basicamente os delineados acima. As fontes são o livro já bastante aclamado Percolation de G.R. Grimmett [8], que serve de referência para tudo aqui e muito mais, e também notas de aulas tomadas de C.M. Newman na NYU em 1990. Supõe-se um conhecimento de teoria da probabilidade a nível de graduação. Alguns resultados mais avançados (mas clássicos) desta teoria são citados, para os quais indicamos, por exemplo, Breiman [9] como referência.

Agradeço o coleguismo e amizade dos mentores dos cursos que mencionei, Cláudio Paiva, Gastão Braga e Maria Eulália Vares. Agradecimentos especiais a esta última pela iniciativa de sugerir e organizar a edição destas notas junto ao IMPA/CNPq.

julho de 1996