1.1 O Modelo

Considere a rede hipercúbica em $d$ dimensões ($\mathbb{Z}^{d},\mathbb{E}^{d}$) (denotada por um abuso de linguagem costumeiro por $\mathbb{Z}^{d}$), onde $\mathbb{Z}^{d}$ é o conjunto de sítios da rede e $\mathbb{E}^{d}=\{(x,y)\in\mathbb{Z}^{d}\times\mathbb{Z}^{d}:||x-y||_{1}=1\}$ é o seu conjunto de elos (vizinhos mais próximos).

A cada elo de $\mathbb{E}^{d}$ será atribuido aleatoriamente o status aberto ou fechado da seguinte maneira. Seja ${\cal X}:=\{X_{e},e\in\mathbb{E}^{d}\}$ uma família de variáveis aleatórias (v.a.’s) independentes e identicamente distribuidas (i.i.d.) com distribuição comum de Bernoulli com parâmetro $p$, isto é,

para todo $e\in\mathbb{E}^{d}$, onde $p$ é um número real entre $0$ e $1$ e $P_{p}$ é a probabilidade associada a ${\cal X}$ (algumas vezes denotada $P_{p,d}$). A esperança com respeito a esta probabilidade será denotado por $E_{p}$.

Mais formalmente, o espaço amostral do modelo será dado por $\Omega=\{0,1\}^{\mathbb{E}^{d}}$. A $\sigma$-álgebra é a usual, denotada por ${\cal E}$, gerada pelos eventos cilíndricos, isto é, aqueles que dependem de elos em subconjuntos finitos de $\mathbb{E}^{d}$ apenas. A probabilidade $P_{p}$ é a probabilidade produto em $\Omega$ atribuindo peso $p$ a $1$’s e $1-p$ a $0$’s. $X_{e}$ é a projeção na coordenada $e$, isto é,

para todo $\omega\in\Omega$.

$X_{e}=1$ indica que o elo $e$ está aberto e $X_{e}=0$ indica que $e$ está fechado.

Um conjunto de elos de $\mathbb{E}^{d}$, $\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\},\,n\geq 1$, onde $e_{i}=(x_{i},y_{i})$, $i=1,2,\ldots,n$, será dito um caminho se $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ forem distintos e $y_{i}=x_{i+1}$, $i=1,2,\ldots,n-1$ (não há loops). Um caminho será dito aberto se todos os seus elos estiverem abertos (isto é, se $X_{e_{i}}=1$, $i=1,2,\ldots,n$). Diremos que dois sítios da rede, $x$ e $y$, estão conectados (notação: $x\leftrightarrow y$) se existir um caminho aberto $\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\}$ com $x_{1}=x$ e $y_{n}=y$. Vê-se que a conectividade é uma relação de equivalência e às classes de equivalência em que se dividem os sítios chamaremos aglomerados (ou a expressão em inglês clusters). Denotaremos por $C_{x}$ o aglomerado do sítio $x$ e por $C$ o aglomerado da origem, objeto básico de nosso estudo.

Estaremos interessados inicialmente em $|C|$, o volume (ou cardinalidade) do aglomerado da origem, mais precisamente em sua distribuição (que, note-se, é a mesma que a de $|C_{x}|$ para todo sítio $x$, pela invariância por translação de $P_{p}$). Especificamente, queremos saber se aglomerados infinitos podem ocorrer (com probabilidade positiva).

Em dimensão 1, o problema é trivial, pois, denotando por $C_{-}$ e $C_{+}$ os sítios de $C$ à esquerda e à direita da origem, respectivamente, temos que $|C_{-}|$ e $|C_{+}|$ são v.a.’s i.i.d. com $P_{p}(|C_{+}|\geq k)=p^{k}$. Logo, não há aglomerados infinitos quase-certamente em dimensão 1 se $p<1$. Restringiremo-nos pois a $d\geq 2$.

$|C|$ é uma v.a. que pode assumir os valores $1,2,\ldots,\infty$. Uma quantidade de interesse será

Podemos então escrever

Expressões para $P_{p}(|C|=k)$ são relativamente simples de calcular para $k$ pequeno, mas se tornam combinatorialmente crescentemente complicadas para $k$ crescente e não há uma forma explícita para $k$ genérico. O estudo de $\theta(p)$ deve seguir uma outra abordagem.

Na próxima seção, provaremos o resultado principal deste capítulo, o primeiro não-trivial da teoria, aquele que estabelece a existência de transição de fase no modelo de percolação em 2 ou mais dimensões, como enunciado em seguida.

Resultados subseqüentes, de que nos ocuparemos em capítulos seguintes, procuram caracterizar as diversas fases do modelo: a fase subcrítica ($p<p_{c}$), a fase supercrítica ($p>p_{c}$) e a fase crítica ($p=p_{c}$).