Capítulo 2 Ferramentas úteis

Este capítulo será dedicado à apresentação de alguns resultados auxiliares a serem utilizados nos capítulos subseqüentes. Todos dizem respeito a funções e eventos crescentes, que passamos a definir.

Para isto, introduzimos a ordem parcial em Ω\Omega

ω≤ω′⇔ωe≤ωe′⁢para todo e∈𝔼d.\omega\leq\omega^{\prime}\Leftrightarrow\ \omega_{e}\leq\omega^{\prime}_{e}\,% \,\mbox{para todo $e\in\mathbb{E}^{d}$}.

Uma variável aleatória XX é dita crescente se for crescente na ordem parcial acima, isto é,

X⁢(ω)≤X⁢(ω′)⁢sempre que⁢ω≤ω′.X(\omega)\leq X(\omega^{\prime})\,\,\mbox{sempre que}\,\,\omega\leq\omega^{% \prime}.

Um evento A∈ℰA\in{\cal E} é dito crescente se IA\mbox{\bf I}_{A}, a função indicadora de AA, for crescente.

Em palavras, um evento AA é crescente sempre que para cada configuração de elos abertos em que AA ocorre, ao abrirmos mais elos nesta configuração, AA continua ocorrendo. Exemplos comuns são os eventos {x↔y}\{x\leftrightarrow y\} em que dois sítios da rede estão conectados por um caminho de elos abertos e {|C|=∞}\{|C|=\infty\} em que o aglomerado da origem é infinito.