2.1 Desigualdade de FKG

Eventos e, mais geralmente, variáveis aleatórias crescentes do modelo de percolação têm a propriedade de serem positivamente correlacionadas.

Vamos supor inicialmente que $Z$ e $Y$ sejam cilíndricas, isto é, dependam apenas de um conjunto finito de elos $\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\}$. Provaremos o teorema neste caso por indução em $n$.

Para $n=1$, $Z=f(X_{e_{1}})$ e $Y=g(X_{e_{1}})$, onde $f$ e $g$ são crescentes. Seja $Y^{\prime}$ uma cópia independente de $X_{e_{1}}$ (isto é, $Y^{\prime}$ e $X_{e_{1}}$ são i.i.d.). Então

pelo fato de $f$ e $g$ serem crescentes. Portanto

Expandindo o termo à esquerda, temos

Pela independência entre $X_{e_{1}}$ e $Y^{\prime}$, a expressão à direita fica

Como $X_{e_{1}}$ e $Y^{\prime}$ têm a mesma distribuição, a desigualdade (2.1.2) fica

isto é

e o resultado está provado para $n=1$.

Supondo-o válido para $n=k$, seja $n=k+1$. Então

com $f$ e $g$ crescentes.

Agora

Na esperança condicional acima, $X_{e_{k+1}}$ está fixo e portanto $f$ e $g$ podem ser vistas como funções de $X_{e_{1}},\ldots,X_{e_{k}}$ e a hipótese de indução pode ser aplicada para dar que a última expressão acima é maior ou igual a

Agora é claro que as esperanças condicionais acima são funções crescentes de $X_{e_{k+1}}$. Novo uso da hipótese de indução produz o resultado para $n=k+1$, completando o passo de indução.

Para completar a demonstração, consideremos $Z$ e $Y$ não necessariamente cilíndricas. Seja $e_{1},e_{2},\ldots$ uma enumeração de $\mathbb{E}^{d}$. Pelo Teorema da Convergência de Martingais (veja [9]),

e de maneira semelhante para $Y$. Pelo passo anterior, a desigualdade de FKG vale quando $Z$ e $Y$ são substituidos por

Uma passagem ao limite em $n$ e o Teorema da Convergência Dominada nos dão o resultado geral. $\quad\triangle$

Basta aplicar o Teorema 2.1.1 com $Z=\mbox{\bf I}_{A}$ e $Y=\mbox{\bf I}_{B}$ $\quad\triangle$

Observamos que a desigualdade em (2.1.3) é equivalente a

o que nos diz que a ocorrência de um evento crescente aumenta a probabilidade de ocorrência de um outro evento crescente.

O Teorema 2.1.1 vale também para duas v.a.’s decrescentes (na ordem parcial), pois a desigualdade não muda se substituirmos $Z$ e $Y$ respectivamente por $-Z$ e $-Y$, que são crescentes. Segue que o Corolário 2.1.1 vale também para dois eventos decrescentes.

As desigualdades acima foram primeiro provadas por Harris [2] e posteriormente generalizadas para outros modelos por Fortuin, Kasteleyn e Ginibre [12], cujas iniciais batizaram-nas.