Capítulo 4 Fase Supercrítica: Unicidade do Aglomerado Infinito

A ergodicidade da medida produto tem como conseqüência que, quase certamente, existe um aglomerado infinito quando $\theta(p)>0$.

De fato, o evento de que existe um aglomerado infinito ($\cup_{x\in\mathbb{Z}^{d}}\{|C_{x}|=\infty\}$) é invariante por translação e portanto trivial sob $P_{p}$. (O que decorre também deste evento ser caudal e da Lei 0-1 de Kolmogorov.)

Neste capítulo, a ergodicidade será explorada para estabelecer um dos aspectos mais interessantes desta fase, o fato de que o aglomerado infinito é único (quase certamente).

Vamos definir por $\eta$ a variável aleatória que conta o número de aglomerados infinitos distintos de uma configuração de $\Omega$. $\eta$ é invariante por translação (pois translações das configurações de $\Omega$ não alteram o número de aglomerados infinitos delas) e as medidas $P_{p}$ são ergódicas, por serem produto. Portanto, por uma conhecida lei 0-1, $\eta$ é constante quase certamente. Em princípio, $\eta$ pode assumir qualquer valor inteiro, desde $0$ até $\infty$. O resultado principal deste capítulo exclui $\eta\geq 2$.

O Teorema 4.1 é provado por meio das seguintes proposições, devidas respectivamente a Newman e Schulman [15] e Aizenman, Kesten e Newman [6]. A primeira, exclui $2\leq\eta<\infty$. A segunda exclui $\eta\geq 3$. (Infelizmente, não se pode incluir $\infty$ na primeira ou $2$ na segunda.)

Seja $k_{p}$ a constante tal que $P_{p}(\eta=k_{p})=1$. Suponha que $1\leq k_{p}<\infty$. Vamos mostrar que disto se segue que $P_{p}(\eta=1)>0$, o que implica pela trivialidade de $\eta$ que $k_{p}=1$.

De fato, denotando por $Q_{n}$ o cubo de lado $2n+1$ centrado na origem., considere o evento

Note que $A_{n}$ depende da configuração de elos apenas da fronteira de $Q_{n}$ para fora. Como $k_{p}<\infty$,

Seja $n_{0}$ tal que $P_{p}(A_{n_{0}})>0$ e considere o evento

Note que $B_{n_{0}}$ depende apenas dos elos interiores a $Q_{n_{0}}$ e logo é independente de $A_{n_{0}}$.

Finalmente, o evento de que $\eta=1$ contem $A_{n_{0}}\cap B_{n_{0}}$. Concluimos da discussão acima que

Deste resultado apresentaremos uma prova diferente da original de Aizenman, Kesten e Newman, mais simples e geral, devida a Burton e Keane [16]. Ela se vale do argumento geométrico esboçado a seguir.

A ocorrência de três aglomerados infinitos disjuntos (e a ergodicidade de $P_{p}$) tem como conseqüência a existência de uma densidade de pontos triplos especiais, isto é, sítios ligados por elos disjuntos a três aglomerados infinitos, que seriam disjuntos ao se remover os elos incidentes àqueles sítios. Mas um lema sobre grafos (que será enunciado abaixo como exercício) mostra que dentro de um cubo podem existir um número de pontos triplos especiais apenas da ordem da área da fronteira do cubo. Da contradição segue o resultado da proposição.

Agora enunciamos o lema sobre grafos, em forma de exercício para o leitor.

Exercício

Seja G um grafo conexo com conjunto de sítios S e conjunto de elos E. Um sítio $x$ em S será chamado um ponto triplo para G se

• i)
  ​

  existirem apenas três elos de E tocando $x$ e

• ii)
  ​

  o grafo G$\backslash${$x$}, em que $x$ é removido de S e os três elos tocando em $x$ são removidos de E, tem exatamente três componentes conexos. (Denotaremos os conjuntos de sítios destes três componentes $E_{1}(x),E_{2}(x),E_{3}(x)$ e os chamaremos de ramos. Veja Figura 4.1.)

a. Suponha que G seja um grafo conexo e que $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ sejam pontos triplos distintos para G. Mostre que para algum i dois dos três ramos em $x_{i}$, digamos $E_{2}(x_{i})$ e $E_{3}(x_{i})$ não contêm nenhum dos outros pontos triplos ($\{x_{1},\ldots,x_{n}\}\backslash\{x_{i}\}$).[Sugestão: indução em n]

b. Considere o grafo $\mbox{G}^{\prime}$ obtido de G e $x_{1},\ldots,x_{n}$ do item anterior removendo-se todos os sítios de $E_{3}(x_{i})$ e todos os elos tocando estes sítios. Mostre que $\{x_{1},\ldots,x_{n}\}\backslash\{x_{i}\}$ são pontos triplos para $\mbox{G}^{\prime}$.

c. Suponha que G seja um grafo conexo e que $x_{1},\ldots,x_{n}$ sejam pontos triplos distintos de G. Entre os 3n ramos,

mostre que se pode achar pelo menos n+2 ramos disjuntos.

Suponha que $P_{p}(\eta\geq 3)>0$. Vamos procurar uma contradição.

Seja o evento

Note que $F_{n}\uparrow\{\eta\geq 3\}$ quando $n\uparrow\infty$, logo existe $n_{0}$ tal que $P_{p}(F_{n_{0}})>0$. Dados $y_{1},y_{2},y_{3}$ três pontos distintos no interior das faces de $\partial Q_{n_{0}}$, seja o evento

Como $F_{n_{0}}\subset\bigcup_{y_{1},y_{2},y_{3}}F_{n_{0}}(y_{1},y_{2},y_{3})$, temos que

para algum $y_{1},y_{2},y_{3}$. Dados estes $y_{1},y_{2},y_{3}$, seja $x=x(y_{1},y_{2},y_{3})$ um ponto do interior de $Q_{n_{0}}$ com a propriedade de que há três caminhos de elos disjuntos no interior $Q_{n_{0}}$²² 2 $Q_{n-1}$ mais os elos com uma extremidade em $Q_{n-1}$ ligando $x$ a $y_{1},y_{2},y_{3}$ respectivamente. Defina agora o evento

Logo

onde a igualdade segue da independência dos eventos (o primeiro depende apenas de elos exteriores a $Q_{n_{0}}$; o segundo, apenas de elos interiores).

Vamos dizer agora que um ponto triplo (segundo a definição no exercício acima) é um ponto triplo especial se seus ramos são infinitos. Note que

De toda discussão acima, concluimos que, se $P_{p}(\eta\geq 3)>0$, então

A probabilidade acima não depende de $x$, pela invariância por translação de $P_{p}$. Vamos denotá-la por $\rho$. Segue-se que

logo

para todo $n$ (pois, para toda variável aleatória integrável X,

Por outro lado, é uma conseqüência do exercício acima que o número de pontos triplos especiais em $Q_{n-1}$ é inferior a $2d(2n-1)^{d-1}$ para toda configuração de $\Omega$ e todo $n$, o que contradiz (4.14) para $n$ suficientemente grande. Da contradição segue o resultado.

Vamos agora argumentar a afirmação no começo do parágrafo anterior. Cada ramo de cada ponto triplo especial (pte) toca um (ou mais) sítios em alguma face de $\partial Q_{n}$ ($2d(2n-1)^{d-1}$ é o total de sítios em $\partial Q_{n}$).

Considere os componentes conexos dos pte’s usando apenas elos no interior de $Q_{n}$. Digamos que cada componente contenha $n_{1},n_{2},\ldots$ pte’s cada (isto é, o $i$-ésimo componente contem $n_{i}$ pte’s). Logo

dá o total de pte’s em $Q_{n-1}$. Usando a linguagem do exercício acima, cada componente contem $n_{i}$ pontos triplos. Daquele resultado sabemos que podemos achar pelo menos $n_{i}+2$ ramos distintos dentre as $3n_{i}$ possibilidades. Portanto, podemos achar

ramos distintos de todos os pontos triplos. Como cada um toca pelo menos um ponto das faces de $Q_{n}$, será necessário que

como queríamos mostrar. $\quad\triangle$

A seguir, apresentamos alguns corolários do Teorema 4.1. Lembramos que $\tau_{p}(x,y)$ é a função de conectividade dos sítios $x$ e $y$, isto é,

O resultado acima tem como conseqüência que, na fase supercrítica, a função de conectividade entre dois pontos não decai quando a distância entre eles cresce.

onde a primeira igualdade deve-se ao Teorema 4.1 e a última desigualdade é FKG. $\quad\triangle$

Vamos construir modelos de percolação para todo $p\in[0,1]$ acoplados usando uma família de variáveis i.i.d. Uniformes em $[0,1]$ $\{Z_{e},e\in\mathbb{E}^{d}\}$ declarando um elo $e$ $p$-aberto se $Z_{e}<p$ (como na prova da monotonicidade de $\theta(p)$). Seja $C_{p}$ o aglomerado da origem com elos $p$-abertos.

Se $\pi\leq p$ então $C_{\pi}\subset C_{p}$ e

Queremos mostrar que a última probabilidade acima vale $\theta(p)$. Consideremos então

para $p>p_{c}$. Para concluirmos que a última expressão é nula, basta argumentarmos que se $|C_{p}|=\infty$ e o aglomerado infinito $p$-aberto for único, então $|C_{\pi}|=\infty$ para algum $\pi<p$.

De fato, nestas condições, tome $\alpha$ satisfazendo $p_{c}<\alpha<p$. Então, quase certamente existe um aglomerado infinito $\alpha$-aberto, $I_{\alpha}$, que precisa satisfazer $I_{\alpha}\subset C_{p}$ (pois do contrário haveria dois aglomerados infinitos de elos $p$-abertos!).

Logo, existe um caminho finito de elos $p$-abertos $\gamma$ ligando a origem a $I_{\alpha}$. Como $\gamma$ é finito e cada elo $e$ nele tem $Z_{e}<p$, então

Se $\pi$ for tal que $\pi\geq\alpha$ e $\mu<\pi<p$, então $I_{\alpha}$ e $\gamma$ são $\pi$-abertos. Portanto $|C_{\pi}|=\infty$.$\quad\triangle$

O resultado acima, junto com o seguinte (que não é corolário da unicidade do aglomerado infinito) nos diz que $\theta(p)$ é contínua em $(p_{c},1]$.

Seja $A_{n}$ o evento de que a origem está ligada à fronteira de $S_{n}$ por um caminho aberto. $(A_{n})_{n\geq 1}$ é uma seqüência decrescente e

quando $n\uparrow\infty$. $P_{p}(A_{n})$ é contínua em $p$ (pois é um polinômio) e, usando o modelo padrão do Capítulo 1, é fácil ver também que é crescente nesta variável. Logo, $\theta(p)$ é o limite decrescente de funções contínuas crescentes. Um resultado de análise sobre funções semi-contínuas inferiores (ou um argumento direto) nos dá o resultado. $\quad\triangle$

Para o próximo corolário, vamos dizer que ocorre um cruzamento da esquerda para a direita no cubo $Q_{n}$ se houver um caminho de elos abertos contidos em $Q_{n}$ ligando a face esquerda de $Q_{n}$ a sua face direita. Denotemos por $ED_{n}$ o evento de que tal cruzamento ocorre. $ED_{n}$ poderia ser visto como uma versão a volume finito do evento de que há percolação. É uma decorrência do decaimento exponencial do raio de $C$ na fase subcrítica que $P_{p}(ED_{n})\to 0$ quando $n\to\infty$ neste caso (verifique). O caso supercrítico será tratado no próximo resultado.

Veremos no próximo capítulo que em $p=p_{c}$ um evento similar a $ED_{n}$ tem probabilidade que não converge nem para 0 nem para 1 quando $n\to\infty$.

Seja $I_{m}$ o evento de que algum sítio de $Q_{m}$ está num aglomerado infinito. Dado $\epsilon>0$, escolha $m$ grande o suficiente para que

(isto é possível pela discussão nos primeiros parágrafos do capítulo).

Temos que, para $n\geq m$

onde $F_{1},\ldots,F_{2d}$ são as faces de $Q_{n}$.

Logo

onde $F\in\{F_{1},\ldots,F_{2d}\}$ e a última desigualdade segue de FKG pelo fato de que os eventos na intersecção são decrescentes e também do fato que estes eventos têm a mesma probabilidade (vide prova do Lema 5.1 na página 5.1).

De (4.21) e (4.23), temos que

Sejam $F_{e}$ e $F_{d}$ as faces esquerda e direita de $Q_{n}$ respectivamente. Por FKG e (4.24),

Seja agora $A_{m,n}$ o evento de que há 2 sítios em $\partial Q_{m}$ em 2 aglomerados abertos disjuntos, ambos tocando $\partial Q_{n}$. Temos que $A_{m,n}\supset A_{m,n+1}$ e $A_{m,n}\downarrow A_{m}$ quando $n\uparrow\infty$, onde $A_{m}$ é o evento de que há 2 aglomerados abertos infinitos disjuntos tocando $Q_{m}$.

Em conclusão

quando $n\to\infty$ e portanto, de

que decorre de

temos

e o resultado segue de $\epsilon$ ser arbitrário. $\quad\triangle$