1.2 Primeiros Resultados

Em auxílio à prova do Teorema 1.1.1, vamos discutir propriedades de monotonicidade da função $\theta(p)$. Para isto, construiremos um modelo probabilístico em que os modelos de percolação com os diversos valores de $p$ possíveis estão acoplados. Esta construção, a que chamaremos de modelo padrão, será útil também em outros casos.

Seja ${\cal Z}:=\{Z_{e},e\in\mathbb{E}^{d}\}$ uma família de v.a.’s i.i.d. com distribuição comum uniforme em $[0,1]$. $\mathbb{P}$ denotará a probabilidade neste modelo.

Um elo $e$ da rede será dito $p$-aberto se

e $p$-fechado caso contrário. Podemos então construir o modelo de percolação com parâmetro $p$ usando elos $p$-abertos e $p$-fechados deste modelo, da mesma forma como na seção anterior.

Seja $C_{p}$ o aglomerado da origem no modelo acima (com a conectividade através de elos $p$-abertos). Temos que

Por outro lado,

quando $p<p^{\prime}$, pois neste caso um elo $p$-aberto está necessariamente $p^{\prime}$-aberto. Concluimos que

Para o próximo resultado, monotonicidade na dimensão, notemos que podemos construir o modelo de percolação em $d$ dimensões num hiperplano $d$-dimensional da rede $d+1$-dimensional contendo a origem, declarando fechados os elos ligando o hiperplano ao restante do espaço e usando ${\cal X}$ para os demais elos. Denotando por $\tilde{C}$ o aglomerado da origem neste modelo, temos claramente que $\tilde{C}\subset C$ e logo

Isto prova o seguinte.

Pelos dois lemas acima, torna-se suficiente, para provarmos o Teorema 1.1.1, mostrarmos os seguintes resultados.

Como veremos nas demonstrações destes resultados, abaixo, é suficiente no primeiro tomarmos $p<1/{(2d-1)}$ e no segundo $p>2/3$.

É suficiente mostrar que $\chi_{p}:=E_{p}|C|<\infty$ para $p$ próximo de 0.

Podemos escrever

onde $\mbox{\bf I}_{\{\cdot\}}$ é a função indicadora, isto é,

e logo

Podemos reescrever a probabilidade acima como $P_{p}(\cup_{\gamma}\{\gamma\mbox{ está aberto}\}),$ onde a união é sobre caminhos conectando $0$ a $x$. Temos então de (1.2.1) e a subaditividade que

onde a segunda soma é sobre os caminhos $\gamma$ conectando $0$ a $x$. A dupla soma pode ser então reordenada em

onde a segunda soma é sobre os caminhos $\gamma$ partindo da origem e de comprimento $n$ (isto é, caminhos $\gamma=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ em que $x_{1}=0$). A probabilidade acima vale $p^{n}$ independentemente de $\gamma$. Portanto temos que

onde $\sigma(n)$ denota o número de caminhos partindo da origem e de comprimento $n$.

Um argumento combinatório simples revela que, para $n\geq 1$,

De fato, o primeiro passo do caminho tem $2d$ possíveis sítios de destino, enquanto que a partir do segundo até o final, cada passo tem no máximo $2d-1$ possíveis sítios de destino (devido à ausência de loops). Temos

e para a série ser convergente, basta termos $p<1/{(2d-1)}.\quad\triangle$

Notemos que há uma relação 1 a 1 entre os sítios e elos de $\mathbb{Z}^{2}$ e aqueles de $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$. Seja a relação (1 a 1) $e\to e_{\ast}$ entre elos de $\mathbb{Z}^{2}$ e $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ que associa a cada elo da primeira rede o elo secante da rede dual, como na figura a seguir.

Definiremos um modelo de percolação em $\mathbb{Z}^{2}_{\ast}$ induzido pelo modelo em $\mathbb{Z}^{2}$ declarando $e_{\ast}$ aberto ou fechado conforme $e$ esteja aberto ou fechado, respectivamente.

No que se segue, um circuito será um caminho $\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\}$ tal que $y_{n}=x_{1}$, isto é, um caminho que se fecha sobre si mesmo.

A ocorrência de um aglomerado da origem finito em $\mathbb{Z}^{2}$ está associada à existência de um circuito fechado (isto é, um circuito de elos fechados) na rede dual ao redor da origem. Isto se deve ao fato de que se o aglomerado da origem for finito, os elos da fronteira do aglomerado (isto é, elos ligando sítios do aglomerado a sítios fora do aglomerado), obviamente fechados, estão sempre dispostos de tal forma que os elos correspondentes do dual formam um circuito, que será então fechado. A figura a seguir ilustra este fato geométrico elementar, bastante intuitivo (o aglomerado da origem aparece em linhas cheias, sua fronteira em linhas pontilhadas e o circuito no dual em linhas tracejadas) e, como a prova é longa e tediosa (vide [10] página 386 e a Proposição 5.1 na página 5.1 destas notas), não a apresentaremos neste texto.

Seguimos com a demonstração da Proposição 1.2.2.

Vamos mostrar que a probabilidade de o aglomerado da origem ser finito é estritamente menor do que 1 para $p$ suficientemente próximo de 1. Para isto, em vista do fato geométrico acima, bastará argumentar que a probabilidade de haver algum circuito fechado na rede dual ao redor da origem é estritamente menor do que 1 para $p$ suficientemente próximo de 1. O argumento é semelhante ao argumento de Peierls para demonstrar a ocorrência de magnetização no modelo de Ising.

onde a soma é sobre todos os circuitos $\gamma$ ao redor da origem. Ela pode ser reordenada da seguinte maneira

onde a segunda soma é sobre circuitos $\gamma$ ao redor da origem de comprimento $n$.

Está claro que a probabilidade no interior das somas depende apenas de $n$ e vale $(1-p)^{n}$. Portanto, a expressão acima fica

onde $\lambda(n)$ denota o número de circuitos na rede dual ao redor da origem de comprimento $n$.

O seguinte argumento produz uma cota superior útil para $\lambda(n)$. Qualquer circuito de comprimento $n$ da rede dual ao redor da origem deve cruzar um elo da rede original da forma $((0,k),(0,k+1))$, para algum $-n/2\leq k\leq n/2$. A partir deste elo secante, cada um dos $n-1$ elos subseqüentes pode ser colocado de no máximo $3$ maneiras diferentes. Por isto

Substituindo na soma acima, temos

que é uma função contínua e decrescente em $p$ quando $p>2/3$, anulando-se quando $p=1$. Segue-se que existe $p_{0}<1$ tal que a expressão acima é estritamente menor do que 1 para $p>p_{0}$.$\quad\triangle$

Uma melhoria do argumento acima que mostra que a probabilidade de o aglomerado da origem ser infinito ($\theta(p)$) é estritamente positiva para $p>2/3$ é o seguinte.

Denotemos por $Q_{M}$ o quadrado centrado na origem e de lado $2M+1$. Seja $A_{M}$ o evento que todos os elos de $Q_{M}$ estejam abertos e $B_{M}$ o evento de haver um circuito fechado na rede dual completamente fora de $Q_{M}$.

Repetindo o argumento da demonstração acima, temos

Dado $p>2/3$, esta expressão pode ser tornada estritamente menor do que 1 escolhendo-se $M$ suficientemente grande, digamos $M_{0}$. Portanto

Agora, na intersecção dos eventos $A_{M_{0}}$ e $B_{M_{0}}^{c}$, o aglomerado da origem é infinito. Além disso, $A_{M_{0}}$ e $B_{M_{0}}^{c}$ são independentes, pois dependem de conjuntos disjuntos de elos. Logo, de (1.2.3) concluimos que

pois $P_{p}(A_{M_{0}})>0$ (ainda que próximo de 0). O argumento está completo.

A probabilidade crítica $p_{c}$ depende da dimensão e podemos denotá-la $p_{c}(d)$. As proposições acima mostram que

Kesten [11] mostrou que

para dimensões grandes.

O Teorema 1.1.1 não diz nada sobre o que acontece em $p=p_{c}$. Como veremos no Capítulo 4, $\theta(p)$ é uma função contínua, exceto possivelmente em $p=p_{c}$. Se $\theta(p_{c})=0$, então $\theta(p)$ será contínua e seu gráfico se parecerá com o da figura à esquerda a seguir. Caso contrário, o gráfico será mais parecido com o da figura à direita.

Qual caso vale é uma questão em aberto para $d$ genérico, mas se acredita que $\theta(p)$ seja contínua. Isto está de fato provado em 2 dimensões e em dimensões grandes. Veremos o caso bidimensional no Capítulo 5 e discutiremos um método de ataque ao problema em mais dimensões no Capítulo 6.