4.2. Aplicações Lineares Contínuas

4.2.1 Lema.

Sejam $(E,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}})$ , $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ espaços normados sobre $\mathds{K}$ e $T:E\to F$ uma aplicação linear. As seguintes afirmações são equivalentes:

(a)

$T$ é contínua;
(b)

$T$ é contínua na origem;
(c)

$T$ é limitada em alguma vizinhança da origem, i.e., existem $c\geq 0$ e uma vizinhança $V$ da origem em $E$ tal que $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c$ , para todo $x\in V$ ;
(d)

$T$ é limitada na bola unitária de $E$ , i.e., existe $c\geq 0$ tal que $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c$ , para todo $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}$ ;
(e)

$T$ é limitada na esfera unitária de $E$ , i.e., existe $c\geq 0$ tal que $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c$ , para todo $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}=1$ ;
(f)

existe $c\geq 0$ tal que $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle E$}}$ , para todo $x\in E$ ;
(g)

$T$ é Lipschitziana.

Demonstração.

$\bullet$

(a) $\Rightarrow$ (b).

Trivial.
$\bullet$

(b) $\Rightarrow$ (c).

Dado, por exemplo, $\varepsilon=1$ , existe $\delta>0$ tal que:

$\big{\|}T(x)-T(0)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}=\big{\|}T(x)% \big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}<\varepsilon,$

para todo $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}<\delta$ . Daí $T$ é limitada na bola aberta de centro na origem de $E$ e raio $\delta$ .
$\bullet$

(c) $\Rightarrow$ (d).

Por hipótese, existem $r>0$ e $c\geq 0$ tais que $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c$ , para todo $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\leq r$ . Daí, se $x\in E$ é tal que $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\leq 1$ então $\|rx\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\leq r$ e portanto $\|T(rx)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c$ ; logo $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq\frac{c}{r}$ , para todo $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\leq 1$ .
$\bullet$

(d) $\Rightarrow$ (e).

Trivial.
$\bullet$

(e) $\Rightarrow$ (f).

Seja $c\geq 0$ tal que $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c$ , para todo $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}=1$ . Afirmamos que $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle E$}}$ , para todo $x\in E$ . De fato, se $x=0$ essa desigualdade é trivial. Se $x\neq 0$ , tomamos $y=\frac{x}{\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptscriptstyle E$}}}$ , de modo que $\|y\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}=1$ e:

$\frac{\big{\|}T(x)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}}{\|x\|_{% \lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}}=\big{\|}T(y)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{% $\scriptstyle F$}}\leq c.$

A conclusão segue.
$\bullet$

(f) $\Rightarrow$ (g).

Seja $c\geq 0$ tal que $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle E$}}$ , para todo $x\in E$ . Dados, $x,y\in E$ , então:

$\big{\|}T(x)-T(y)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}=\big{\|}T(x-y)% \big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq c\|x-y\|_{\lower 2.0pt\hbox% {$\scriptstyle E$}},$

de modo que $c$ é uma constante de Lipschitz para $T$ .
$\bullet$

(g) $\Rightarrow$ (a).

Trivial.∎

4.2.2 Definição.

Sejam $(E,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}})$ , $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ espaços normados sobre $\mathds{K}$ . Uma aplicação linear $T:E\to F$ é dita limitada se satisfaz uma das (e portanto todas as) condições equivalentes que aparecem no enunciado do Lema 4.2.1.

Normalmente, uma função $f$ cujo contra-domínio é um espaço métrico é dita limitada quando sua imagem é um conjunto limitado. No caso de aplicações lineares, usamos a expressão “limitada” com um significado um pouco diferente, i.e., dizemos que uma aplicação linear entre espaços normados é limitada quando sua restrição à bola unitária do domínio é limitada no sentido mais usual da palavra. Esse uso ligeiramente ambíguo da palavra “limitada” é completamente usual e não causa confusão, já que uma aplicação linear não nula nunca pode ter imagem limitada (veja Exercício 4.16).

Sejam $(E,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}})$ , $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ espaços normados sobre $\mathds{K}$ . Denotamos por $\mathrm{Lin}(E,F)$ o conjunto de todas as aplicações lineares limitadas $T:E\to F$ . Segue facilmente do resultado do Exercício 4.2 que $\mathrm{Lin}(E,F)$ é um subespaço vetorial do espaço de todas as aplicações lineares $T:E\to F$ .

4.2.3 Definição.

Sejam $(E,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}})$ , $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ espaços normados sobre $\mathds{K}$ . Se $T:E\to F$ é uma aplicação linear limitada então a norma de $T$ é definida por:

\|T\|=\sup\big{\{}\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}:\text{$x\in E% $ e $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\leq 1$}\big{\}}\in\left[0,+% \infty\right[.

(4.2.1)

Quando o espaço $E$ é não nulo, então a norma de uma aplicação linear $T:E\to F$ coincide com o supremo de $\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}$ quando $x$ percorre a esfera unitária de $E$ (veja Exercício 4.17). Deixamos a cargo do leitor a verificação de que (4.2.1) define uma norma no espaço vetorial $\mathrm{Lin}(E,F)$ (veja Exercício 4.18).

4.2.4 Lema.

Sejam $(E,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}})$ , $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ espaços normados sobre $\mathds{K}$ . Então:

\|T(x)\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq\|T\|\|x\|_{\lower 2.0pt% \hbox{$\scriptstyle E$}},

(4.2.2)

para todos $T\in\mathrm{Lin}(E,F)$ , $x\in E$ . Se $(G,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle G$}})$ é um espaço normado sobre $\mathds{K}$ e $T\in\mathrm{Lin}(E,F)$ , $S\in\mathrm{Lin}(F,G)$ então:

\|S\circ T\|\leq\|S\|\|T\|.

Demonstração.

Seja $x\in E$ . Se $x=0$ , então a desigualdade (4.2.2) é trivial. Senão, seja $y=\frac{x}{\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptscriptstyle E$}}}$ ; temos $\|y\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}=1$ e portanto:

\frac{\big{\|}T(x)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}}{\|x\|_{% \lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}}=\big{\|}T(y)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{% $\scriptstyle F$}}\leq\|T\|,

donde a desigualdade (4.2.2) segue. Seja $S\in\mathrm{Lin}(F,G)$ ; para todo $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\leq 1$ , temos:

\big{\|}(S\circ T)(x)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle G$}}=\big{\|}S% \big{(}T(x)\big{)}\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle G$}}\leq\|S\|\big{% \|}T(x)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq\|S\|\|T\|,

donde $\|S\circ T\|\leq\|S\|\|T\|$ . ∎

4.2.5 Proposição.

Sejam $(E,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}})$ , $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ espaços normados sobre $\mathds{K}$ . Se $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ é um espaço de Banach então também $\mathrm{Lin}(E,F)$ é um espaço de Banach.

Demonstração.

Seja $(T_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de Cauchy em $\mathrm{Lin}(E,F)$ . Para todo $x\in E$ , temos:

\big{\|}T_{n}(x)-T_{m}(x)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq\|T% _{n}-T_{m}\|\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}},

para todos $n,m\geq 1$ ; segue que $\big{(}T_{n}(x)\big{)}_{n\geq 1}$ é uma seqüência de Cauchy em $F$ . Como $F$ é completo, podemos definir uma aplicação $T:E\to F$ fazendo:

T(x)=\lim_{n\to\infty}T_{n}(x),

para todo $x\in E$ . Se $x,y\in E$ e $\lambda\in\mathds{K}$ então segue do resultado do Exercício 4.2 que:

	$\displaystyle T(x+y)=\lim_{n\to\infty}T_{n}(x+y)=\lim_{n\to\infty}\big{(}T_{n}% (x)+T_{n}(y)\big{)}=T(x)+T(y),$
	$\displaystyle T(\lambda x)=\lim_{n\to\infty}T_{n}(\lambda x)=\lim_{n\to\infty}% \big{(}\lambda T_{n}(x)\big{)}=\lambda T(x),$

donde $T$ é linear. Seja dado $\varepsilon>0$ . Vamos mostrar que existe $n_{0}\geq 1$ tal que $T_{n}-T$ é limitada e $\|T_{n}-T\|\leq\varepsilon$ , para todo $n\geq n_{0}$ ; seguirá daí automaticamente que $T$ é limitada, já que $T=T_{n}-(T_{n}-T)$ , com $T_{n}$ e $T_{n}-T$ ambas limitadas. Como $(T_{n})_{n\geq 1}$ é de Cauchy, existe $n_{0}\geq 1$ tal que $\|T_{n}-T_{m}\|<\varepsilon$ , para todos $n,m\geq n_{0}$ . Fixado $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\leq 1$ então:

\big{\|}T_{n}(x)-T_{m}(x)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}<\varepsilon;

fazendo $m\to\infty$ (com $n$ e $x$ fixados), obtemos:

\big{\|}T_{n}(x)-T(x)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}\leq\varepsilon,

para todo $n\geq n_{0}$ e todo $x\in E$ com $\|x\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}\leq 1$ . Daí $\|T_{n}-T\|\leq\varepsilon$ , para todo $n\geq n_{0}$ . Isso mostra que $\lim_{n\to\infty}T_{n}=T$ em $\mathrm{Lin}(E,F)$ , o que completa a demonstração. ∎

4.2.6 Definição.

Sejam $E$ , $F$ espaços vetoriais complexos. Uma aplicação $T:E\to F$ é dita linear-conjugada se:

T(x+y)=T(x)+T(y)\quad\text{e}\quad T(\lambda x)=\bar{\lambda}T(x),

para todos $x,y\in E$ e todo $\lambda\in\mathds{C}$ .

Se $E$ , $F$ são espaços vetoriais complexos e $T:E\to F$ é uma aplicação linear-conjugada então $T$ é $\mathds{R}$ -linear, i.e., a aplicação $T:E|_{\mathds{R}}\to F|_{\mathds{R}}$ é linear, onde $E|_{\mathds{R}}$ , $F|_{\mathds{R}}$ denotam as realificações dos espaços complexos $E$ e $F$ respectivamente (veja Definição 4.1). Obtemos daí o seguinte:

4.2.7 Lema.

O resultado do Lema 4.2.1 também vale se supusermos que $\mathds{K}=\mathds{C}$ e que $T:E\to F$ é uma aplicação linear-conjugada.

Demonstração.

Basta aplicar o Lema 4.2.1 para a aplicação linear $T:E|_{\mathds{R}}\to F|_{\mathds{R}}$ , observando que $\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}}$ e $\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}$ também são normas nos espaços vetorais reais $E|_{\mathds{R}}$ e $F|_{\mathds{R}}$ , respectivamente (veja Exercício 4.7). ∎

Dizemos que uma aplicação linear-conjugada $T:E\to F$ é limitada quando satisfaz uma das (e portanto todas as) condições equivalentes que aparecem no enunciado do Lema 4.2.1. Definimos então a norma de $T$ como em (4.2.1). O Lema 4.2.4, a Proposição 4.2.5 e o resultado dos Exercícios 4.17 e 4.18 todos possuem versões correspondentes para aplicações lineares-conjugadas (e as correspondentes demonstrações são perfeitamente análogas às demonstrações das versões originais). Observamos também que uma aplicação linear-conjugada pode ser transformada em uma aplicação linear se trocarmos o sinal da estrutura complexa de seu domínio ou de seu contra-domínio (veja Exercícios 4.19, 4.20, 4.21 e 4.22). Tal observação permite obter de forma imediata as versões para aplicações lineares-conjugadas dos resultados que demonstramos sobre aplicações lineares.

4.2.8 Definição.

Seja $(E,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}})$ , $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ espaços vetoriais sobre $\mathds{K}$ e seja $T:E\to F$ uma aplicação linear (resp., linear conjugada). Dizemos que $T$ é uma imersão isométrica linear (resp., imersão isométrica linear-conjugada) se:

\big{\|}T(x)\big{\|}_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}}=\|x\|_{\lower 2.0pt% \hbox{$\scriptstyle E$}},

(4.2.3)

para todo $x\in E$ . Se, além do mais, $T$ é sobrejetora, dizemos que $T$ é uma isometria linear (resp., isometria linear-conjugada).

A condição (4.2.3) implica diretamente que $\mathrm{Ker}(T)=\{0\}$ , i.e., que $T$ é injetora. Assim, toda isometria linear (resp., isometria linear conjugada) é bijetora e é fácil ver que sua inversa $T^{-1}:F\to E$ também é uma isometria linear (resp., isometria linear conjugada). Além do mais, é claro que toda imersão isométrica linear (e toda imersão isométrica linear-conjugada) $T$ é limitada e que $\|T\|=1$ , a menos que seu domínio seja o espaço nulo.