4.5. Apêndice à Seção 4.4: funções convexas

4.5.1 Definição.

Seja $I\subset\mathds{R}$ um intervalo. Uma função $f:I\to\mathds{R}$ é dita convexa quando para todos $x,y\in I$ e todo $t\in[0,1]$ vale a desigualdade:

f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}\leq(1-t)f(x)+tf(y).

(4.5.1)

Dizemos que $f$ é estritamente convexa quando para todos $x,y\in I$ com $x\neq y$ e todo $t\in\left]0,1\right[$ vale a desigualdade estrita:

f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}<(1-t)f(x)+tf(y).

(4.5.2)

Claramente a igualdade vale em (4.5.1) quando $x=y$ ou $t\in\{0,1\}$ ; além do mais, as desigualdades (4.5.1) e (4.5.2) não se alteram quando trocamos $x$ por $y$ e $t$ por $1-t$ . Vemos então que $f$ é convexa (resp., estritamente convexa) se e somente se a desigualdade (4.5.1) (resp., a desigualdade estrita (4.5.2)) vale para todos $x,y\in I$ com $x<y$ e para todo $t\in\left]0,1\right[$ . Evidentemente toda função estritamente convexa é convexa.

Geometricamente, a desigualdade (4.5.1) diz que o trecho do gráfico de $f$ entre os pontos $\big{(}x,f(x)\big{)}$ e $\big{(}y,f(y)\big{)}$ está abaixo da correspondente reta secante. Vamos explorar algumas conseqüências da definição de convexidade. Dados $x,y\in I$ com $x\neq y$ , vamos denotar por $\mathfrak{c}(f;x,y)$ o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $\big{(}x,f(x)\big{)}$ e $\big{(}y,f(y)\big{)}$ ; mais explicitamente:

\mathfrak{c}(f;x,y)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\mathfrak{c}(f;y,x).

Se $x,y\in\mathds{R}$ e $x<y$ , temos uma bijeção estritamente crescente:

[0,1]\ni t\longmapsto w=(1-t)x+ty=x+t(y-x)\in[x,y],

(4.5.3)

cuja inversa é dada por:

[x,y]\ni w\longmapsto t=\frac{w-x}{y-x}\in[0,1].

Se $x,y\in I$ , $x<y$ e $t\in[0,1]$ , $w\in[x,y]$ estão relacionados por (4.5.3) então:

f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}\leq(1-t)f(x)+tf(y)\Longleftrightarrow f(w)\leq\frac{y% -w}{y-x}f(x)+\frac{w-x}{y-x}f(y).

Note também que:

\frac{y-w}{y-x}f(x)+\frac{w-x}{y-x}f(y)=f(x)+\mathfrak{c}(f;x,y)(w-x)\\ =f(y)+\mathfrak{c}(f;x,y)(w-y),

(4.5.4)

para todo $w\in\mathds{R}$ . Vemos então que:

	$\displaystyle f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}\leq(1-t)f(x)+tf(y)$	$\displaystyle\Longleftrightarrow\mathfrak{c}(f;x,w)\leq\mathfrak{c}(f;x,y)$		(4.5.5)
		$\displaystyle\Longleftrightarrow\mathfrak{c}(f;x,y)\leq\mathfrak{c}(f;w,y),$		(4.5.5)

	$\displaystyle f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}=(1-t)f(x)+tf(y)$	$\displaystyle\Longleftrightarrow\mathfrak{c}(f;x,w)=\mathfrak{c}(f;x,y)$		(4.5.6)
		$\displaystyle\Longleftrightarrow\mathfrak{c}(f;x,y)=\mathfrak{c}(f;w,y),$		(4.5.6)

onde $x,y\in I$ , $x<y$ , e $t\in\left]0,1\right[$ , $w\in\left]x,y\right[$ estão relacionados por (4.5.3). Observamos também que se $x,y,w\in I$ , $x<w<y$ então existe $\theta\in\left]0,1\right[$ tal que:

\mathfrak{c}(f;x,y)=(1-\theta)\mathfrak{c}(f;x,w)+\theta\mathfrak{c}(f;w,y);

(4.5.7)

de fato, basta tomar $\theta=\frac{y-w}{y-x}$ . Segue de (4.5.7) que $\mathfrak{c}(f;x,y)$ pertence ao intervalo fechado de extremidades $\mathfrak{c}(f;x,w)$ e $\mathfrak{c}(f;w,y)$ ; levando em conta (4.5.5) e (4.5.6) vemos então também que:

	$\displaystyle\mathfrak{c}(f;x,w)\leq\mathfrak{c}(f;x,y)$	$\displaystyle\Longleftrightarrow\mathfrak{c}(f;x,y)\leq\mathfrak{c}(f;w,y)$		(4.5.8)
		$\displaystyle\Longleftrightarrow\mathfrak{c}(f;x,w)\leq\mathfrak{c}(f;w,y),$		(4.5.8)

	$\displaystyle\mathfrak{c}(f;x,w)=\mathfrak{c}(f;x,y)$	$\displaystyle\Longleftrightarrow\mathfrak{c}(f;x,y)=\mathfrak{c}(f;w,y)$		(4.5.9)
		$\displaystyle\Longleftrightarrow\mathfrak{c}(f;x,w)=\mathfrak{c}(f;w,y).$		(4.5.9)

Temos então o seguinte:

4.5.2 Lema.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função definida num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . As seguintes condições são equivalentes:

•

$f$ é convexa;
•

$\mathfrak{c}(f;x,w)\leq\mathfrak{c}(f;x,y)$ , para todos $x,y,w\in I$ com $x<w<y$ ;
•

$\mathfrak{c}(f;x,y)\leq\mathfrak{c}(f;w,y)$ , para todos $x,y,w\in I$ com $x<w<y$ ;
•

$\mathfrak{c}(f;x,w)\leq\mathfrak{c}(f;w,y)$ , para todos $x,y,w\in I$ com $x<w<y$ .

Similarmente, são equivalentes as condições:

•

$f$ é estritamente convexa;
•

$\mathfrak{c}(f;x,w)<\mathfrak{c}(f;x,y)$ , para todos $x,y,w\in I$ com $x<w<y$ ;
•

$\mathfrak{c}(f;x,y)<\mathfrak{c}(f;w,y)$ , para todos $x,y,w\in I$ com $x<w<y$ ;
•

$\mathfrak{c}(f;x,w)<\mathfrak{c}(f;w,y)$ , para todos $x,y,w\in I$ com $x<w<y$ .

Demonstração.

Segue de (4.5.5), (4.5.6), (4.5.8) e (4.5.9). ∎

Uma função convexa só deixa de ser estritamente convexa se for afim em algum trecho de seu domínio. Esse é o conteúdo do seguinte:

4.5.3 Corolário.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função convexa num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Dados $x,y\in I$ com $x<y$ então são equivalentes:

existe $t\in\left]0,1\right[$ tal que $f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}=(1-t)f(x)+tf(y)$ ;

$f$ é afim no intervalo $[x,y]$ , i.e., existem $a,b\in\mathds{R}$ com $f(w)=aw+b$ , para todo $w\in[x,y]$ ;

$f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}=(1-t)f(x)+tf(y)$ , para todo $t\in[0,1]$ .

Demonstração.

$\bullet$

(a) $\Rightarrow$ (b).

Seja $t_{0}\in\left]0,1\right[$ com $f\big{(}(1-t_{0})x+t_{0}y\big{)}=(1-t_{0})f(x)+t_{0}f(y)$ e seja $w_{0}\in\left]x,y\right[$ relacionado com $t_{0}$ pela bijeção (4.5.3). Por (4.5.6), temos:

$\mathfrak{c}(f;x,w_{0})=\mathfrak{c}(f;x,y),\quad\mathfrak{c}(f;w_{0},y)=% \mathfrak{c}(f;x,y).$ (4.5.10)

O Lema 4.5.2 nos diz que as funções:

$I\cap\left]x,+\infty\right[\ni w\longmapsto\mathfrak{c}(f;x,w),\quad I\cap% \left]-\infty,y\right[\ni w\longmapsto\mathfrak{c}(f;w,y),$

são crescentes e portanto (4.5.10) implica que $\mathfrak{c}(f;x,w)=\mathfrak{c}(f;x,y)$ , para todo $w\in[w_{0},y]$ e que $\mathfrak{c}(f;w,y)=\mathfrak{c}(f;x,y)$ , para todo $w\in[x,w_{0}]$ . Daí:

$f(w)=\mathfrak{c}(f;x,y)(w-x)+f(x),$

para todo $w\in[w_{0},y]$ e:

$f(w)=\mathfrak{c}(f;x,y)(w-y)+f(y)\stackrel{{\scriptstyle\eqref{eq:% igualdadesfaceis}}}{{=}}\mathfrak{c}(f;x,y)(w-x)+f(x),$ 4.5.4⁢)𝔠⁢(f;x,y)⁢(w−x)+f⁢(x),f(w)=\mathfrak{c}(f;x,y)(w-y)+f(y)\stackrel{{\scriptstyle\eqref{eq:% igualdadesfaceis}}}{{=}}\mathfrak{c}(f;x,y)(w-x)+f(x),

para todo $w\in[x,w_{0}]$ .
$\bullet$

(b) $\Rightarrow$ (c).

Temos:

$(1-t)f(x)+tf(y)=(1-t)(ax+b)+t(ay+b)=a\big{(}(1-t)x+ty\big{)}+b\\ =f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}.$
$\bullet$

(c) $\Rightarrow$ (a).

Trivial.∎

4.5.4 Corolário.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função convexa num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Então $f$ não é estritamente convexa se e somente se existem $x,y\in I$ e $a,b\in\mathds{R}$ com $x<y$ e $f(w)=aw+b$ , para todo $w\in[x,y]$ .∎

Dada uma função $f:I\to\mathds{R}$ definida num intervalo $I\subset\mathds{R}$ e $x\in I$ um ponto que não é a extremidade direita de $I$ , denotamos por $\mathrm{d}^{+}f(x)$ a derivada à direita de $f$ no ponto $x$ , definida por:

\mathrm{d}^{+}f(x)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{y\to x^{+}}% \mathfrak{c}(f;x,y)\in\overline{\mathds{R}},

desde que esse limite exista em $\overline{\mathds{R}}$ . Similarmente, se $x\in I$ não é a extremidade esquerda de $I$ , denotamos por $\mathrm{d}^{-}f(x)$ a derivada à esquerda de $f$ no ponto $x$ , definida por:

\mathrm{d}^{-}f(x)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{y\to x^{-}}% \mathfrak{c}(f;x,y)\in\overline{\mathds{R}},

desde que esse limite exista em $\overline{\mathds{R}}$ .

4.5.5 Lema.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função convexa num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Se $x\in I$ não é a extremidade direita então a derivada à direita $\mathrm{d}^{+}f(x)$ existe em $\overline{\mathds{R}}$ e vale a desigualdade:

\mathrm{d}^{+}f(x)\leq\mathfrak{c}(f;x,v)<+\infty,

(4.5.11)

para todo $v\in I$ com $v>x$ . Similarmente, se $x\in I$ não é a extremidade esquerda então a derivada à esquerda $\mathrm{d}^{-}f(x)$ existe em $\overline{\mathds{R}}$ e vale a desigualdade:

-\infty<\mathfrak{c}(f;u,x)\leq\mathrm{d}^{-}f(x),

(4.5.12)

para todo $u\in I$ com $u<x$ . Quando $x\in I$ é um ponto interior então existem e são finitas ambas as derivadas laterais $\mathrm{d}^{+}f(x)$ , $\mathrm{d}^{-}f(x)$ e vale a desigualdade:

\mathrm{d}^{-}f(x)\leq\mathrm{d}^{+}f(x).

(4.5.13)

Se $f$ é estritamente convexa então as desigualdades em (4.5.11) e (4.5.12) são estritas.

Demonstração.

Suponha que $x\in I$ não é a extremidade direita. O Lema 4.5.2 nos diz que a função:

I\cap\left]x,+\infty\right[\ni v\longmapsto\mathfrak{c}(f;x,v)

(4.5.14)

é crescente; segue então que o limite $\lim_{v\to x^{+}}\mathfrak{c}(f;x,v)$ existe em $\overline{\mathds{R}}$ e:

\mathrm{d}^{+}f(x)=\lim_{v\to x^{+}}\mathfrak{c}(f;x,v)=\inf_{\begin{subarray}% {c}v>x\\ v\in I\end{subarray}}\mathfrak{c}(f;x,v),

o que prova (4.5.11). Similarmente, se $x\in I$ não é a extremidade esquerda então o Lema 4.5.2 nos diz que a função:

I\cap\left]-\infty,x\right[\ni u\longmapsto\mathfrak{c}(f;u,x)

(4.5.15)

é crescente, donde o limite $\lim_{u\to x^{-}}\mathfrak{c}(f;u,x)$ existe em $\overline{\mathds{R}}$ e:

\mathrm{d}^{-}f(x)=\lim_{u\to x^{-}}\mathfrak{c}(f;u,x)=\sup_{\begin{subarray}% {c}u<x\\ u\in I\end{subarray}}\mathfrak{c}(f;u,x),

provando (4.5.12). Se $x\in I$ é um ponto interior então o Lema 4.5.2 nos diz que:

\mathfrak{c}(f;u,x)\leq\mathfrak{c}(f;x,v),

sempre que $u,v\in I$ , $u<x<v$ ; daí:

-\infty<\mathrm{d}^{-}f(x)=\sup_{\begin{subarray}{c}u<x\\ u\in I\end{subarray}}\mathfrak{c}(f;u,x)\leq\inf_{\begin{subarray}{c}v>x\\ v\in I\end{subarray}}\mathfrak{c}(f;x,v)=\mathrm{d}^{+}f(x)<+\infty,

provando (4.5.13). Finalmente, se $f$ é estritamente convexa então o Lema 4.5.2 nos diz que as funções (4.5.14) e (4.5.15) são estritamente crescentes, o que prova as desigualdades estritas em (4.5.11) e (4.5.12). ∎

4.5.6 Corolário.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função convexa num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Dados $x,y\in I$ com $x<y$ então:

\mathrm{d}^{+}f(x)\leq\mathrm{d}^{-}f(y).

A desigualdade é estrita se $f$ é estritamente convexa.

Demonstração.

Os Lemas 4.5.2 e 4.5.5 implicam que para todo $w$ em $\left]x,y\right[$ , temos:

\mathrm{d}^{+}f(x)\leq\mathfrak{c}(f;x,w)\leq\mathfrak{c}(f;w,y)\leq\mathrm{d}% ^{-}f(y).

Se $f$ é estritamente convexa então:

\mathrm{d}^{+}f(x)<\mathfrak{c}(f;x,w)<\mathfrak{c}(f;w,y)<\mathrm{d}^{-}f(y).\qed

4.5.7 Corolário.

Se $f:I\to\mathds{R}$ é uma função convexa num intervalo $I\subset\mathds{R}$ então $f$ é contínua em todos os pontos interiores de $I$ .

Demonstração.

Seja $x$ um ponto no interior de $I$ . A existência e a finitude das derivadas laterais $\mathrm{d}^{+}f(x)$ e $\mathrm{d}^{-}f(x)$ implica que os limites laterais $\lim_{y\to x^{+}}f(y)$ e $\lim_{y\to x^{-}}f(y)$ existem e são iguais a $f(x)$ ; de fato:

	$\displaystyle\lim_{y\to x^{+}}\big{(}f(y)-f(x)\big{)}=\lim_{y\to x^{+}}\big{(}% \mathfrak{c}(f;x,y)(y-x)\big{)}=\mathrm{d}^{+}f(x)\cdot 0=0,$
	$\displaystyle\lim_{y\to x^{-}}\big{(}f(y)-f(x)\big{)}=\lim_{y\to x^{-}}\big{(}% \mathfrak{c}(f;x,y)(y-x)\big{)}=\mathrm{d}^{-}f(x)\cdot 0=0.$

Logo $f$ é contínua no ponto $x$ . ∎

4.5.8 Lema.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função convexa num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Se $x\in I$ é um ponto interior e $a\in\mathds{R}$ é tal que $\mathrm{d}^{-}f(x)\leq a\leq\mathrm{d}^{+}f(x)$ então:

f(y)\geq f(x)+a(y-x),

(4.5.16)

para todo $y\in I$ . A desigualdade em (4.5.16) é estrita se $f$ é estritamente convexa e $y\neq x$ .

Demonstração.

Se $y=x$ , vale a igualdade em (4.5.16). Se $y>x$ , a desigualdade (4.5.16) é equivalente a $\mathfrak{c}(f;x,y)\geq a$ ; mas segue do Lema 4.5.5 que:

\mathfrak{c}(f;x,y)\geq\mathrm{d}^{+}f(x)\geq a.

Similarmente, se $y<x$ , a desigualdade (4.5.16) é equivalente a $\mathfrak{c}(f;y,x)\leq a$ ; mas segue do Lema 4.5.5 que:

\mathfrak{c}(f;y,x)\leq\mathrm{d}^{-}f(x)\leq a.

Se $f$ é estritamente convexa então $\mathfrak{c}(f;x,y)>\mathrm{d}^{+}f(x)\geq a$ para $y>x$ e $\mathfrak{c}(f;y,x)<\mathrm{d}^{-}f(x)\leq a$ para $y<x$ . ∎

Dada uma função $f:I\to\mathds{R}$ e um ponto $x\in I$ , então uma reta:

L:\mathds{R}\ni y\longmapsto ay+b\in\mathds{R}

tal que $f(x)=L(x)$ e $f(y)\geq L(y)$ para todo $y\in I$ é dita uma reta suporte para $f$ no ponto $x$ . O Lema 4.5.8 nos diz então que uma função convexa $f:I\to\mathds{R}$ num intervalo $I$ possui uma reta suporte em todo ponto $x$ do interior do intervalo $I$ .

4.5.9 Lema.

Seja $(f_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ uma família não vazia de funções convexas $f_{\lambda}:I\to\mathds{R}$ num intervalo $I$ . Se para todo $x\in I$ o supremo $\sup_{\lambda\in\Lambda}f_{\lambda}(x)$ é finito então a função $f=\sup_{\lambda\in\Lambda}f_{\lambda}$ é convexa em $I$ .

Demonstração.

Sejam $x,y\in I$ e $t\in[0,1]$ . Para todo $\lambda\in\Lambda$ , temos:

f_{\lambda}\big{(}(1-t)x+ty\big{)}\leq(1-t)f_{\lambda}(x)+tf_{\lambda}(y)\leq(% 1-t)f(x)+tf(y);

tomando o supremo em $\lambda$ , obtemos $f\big{(}(1-t)x+ty\big{)}\leq(1-t)f(x)+tf(y)$ . ∎

4.5.10 Corolário.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função definida num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Se $f$ admite uma reta suporte em todo ponto de $I$ então $f$ é convexa.

Demonstração.

Para cada $x\in I$ , seja $L_{x}:\mathds{R}\to\mathds{R}$ uma reta suporte para $f$ . Obviamente:

\sup_{x\in I}L_{x}(y)\leq f(y),

para todo $y\in I$ . Além do mais:

\sup_{x\in I}L_{x}(y)\geq L_{y}(y)=f(y),

para todo $y\in I$ , donde $\sup_{x\in I}L_{x}=f$ . Como cada $L_{x}$ é convexa (veja Exercício 4.23), segue do Lema 4.5.9 que $f$ é convexa. ∎

4.5.11 Proposição.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função derivável num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . As seguintes condições são equivalentes:

(a)

$f$ é convexa;
(b)

a derivada $f^{\prime}$ é crescente;
(c)

$f(y)\geq f(x)+f^{\prime}(x)(y-x)$ , para todos $x,y\in I$ (o gráfico de $f$ fica acima de suas retas tangentes).

Demonstração.

$\bullet$

(a) $\Rightarrow$ (b).

Segue do Corolário 4.5.6.
$\bullet$

(b) $\Rightarrow$ (c).

Seja $x\in I$ fixado e considere a função $g:I\to\mathds{R}$ definida por:

$g(y)=f(y)-\big{(}f(x)+f^{\prime}(x)(y-x)\big{)},$

para todo $y\in I$ . Temos $g^{\prime}(y)=f^{\prime}(y)-f^{\prime}(x)\leq 0$ , se $y\in I\cap\left]-\infty,x\right]$ e $g^{\prime}(y)\geq 0$ , se $y\in I\cap\left[x,+\infty\right[$ ; segue que $g$ é decrescente em $I\cap\left]-\infty,x\right]$ e crescente em $I\cap\left[x,+\infty\right[$ . Como $g(x)=0$ , concluímos que $g(y)\geq 0$ , para todo $y\in I$ .
$\bullet$

(c) $\Rightarrow$ (a).

Segue do Corolário 4.5.10.∎

4.5.12 Corolário.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função duas vezes derivável num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Então $f$ é convexa se e somente se a sua derivada segunda $f^{\prime\prime}$ é não negativa.

Demonstração.

Evidentemente $f^{\prime}$ é crescente se e somente se $f^{\prime\prime}$ é não negativa. ∎

Temos a seguinte versão da Proposição 4.5.11 para convexidade estrita.

4.5.13 Proposição.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função derivável num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . As seguintes condições são equivalentes:

(a)

$f$ é estritamente convexa;
(b)

a derivada $f^{\prime}$ é estritamente crescente;
(c)

$f(y)>f(x)+f^{\prime}(x)(y-x)$ , para todos $x,y\in I$ com $x\neq y$ .

Demonstração.

$\bullet$

(a) $\Rightarrow$ (b).

Segue do Corolário 4.5.6.
$\bullet$

(b) $\Rightarrow$ (c).

Argumentamos como na demonstração da implicação (b) $\Rightarrow$ (c) na Proposição 4.5.11, mas agora temos que $g^{\prime}(y)<0$ para $y\in I$ com $y<x$ e $g^{\prime}(y)>0$ para $y\in I$ com $y>x$ ; daí $g$ é estritamente decrescente em $I\cap\left]-\infty,x\right]$ e estritamente crescente em $I\cap\left[x,+\infty\right[$ . Concluímos então que $g(y)>0$ , para $y\in I$ com $y\neq x$ .
$\bullet$

(c) $\Rightarrow$ (a).

O Corolário 4.5.10 nos garante que $f$ é convexa. Se $f$ não fosse estritamente convexa, existiriam $u,v\in I$ , $a,b\in\mathds{R}$ com $u<v$ e:

$f(w)=aw+b,$

para todo $w\in[u,v]$ (Corolário 4.5.4). Daí, para todos $x,y\in[u,v]$ , teríamos:

$f(x)+f^{\prime}(x)(y-x)=ax+b+a(y-x)=f(y),$

contradizendo (c).∎

4.5.14 Corolário.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função duas vezes derivável num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Se sua derivada segunda $f^{\prime\prime}$ é positiva então $f$ é estritamente convexa.

Demonstração.

Evidentemente $f^{\prime}$ é estritamente crescente se $f^{\prime\prime}$ é positiva. ∎

4.5.15 Exemplo.

A recíproca do Corolário 4.5.14 não é verdadeira. De fato, a função $f:\mathds{R}\ni x\mapsto x^{4}\in\mathds{R}$ é estritamente convexa, pois sua derivada $f^{\prime}(x)=4x^{3}$ é estritamente crescente. No entanto, temos $f^{\prime\prime}(0)=0$ .

4.5.16 Proposição.

Seja $f:I\to\mathds{R}$ uma função convexa num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Dados $x_{1},\ldots,x_{n}\in I$ e números reais não negativos $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{n}$ com $\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}=1$ então $\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{n}x_{n}\in I$ e:

f(\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{n}x_{n})\leq\alpha_{1}f(x_{1})+\cdots+\alpha_% {n}f(x_{n});

(4.5.17)

se $f$ é estritamente convexa e $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}>0$ então a igualdade vale em (4.5.17) se e somente se $x_{1}=\cdots=x_{n}$ .

Demonstração.

Se $a=\min\{x_{1},\ldots,x_{n}\}$ e $b=\max\{x_{1},\ldots,x_{n}\}$ então $a,b\in I$ e:

a=(\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n})a\leq\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{n}x_{n}% \leq(\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n})b=b,

donde $\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{n}x_{n}\in I$ . Para provar o restante da tese, usamos indução em $n$ . O resultado é óbvio no caso que $n=1$ . Assumindo o resultado válido para um certo $n\geq 1$ , sejam $x_{1},\ldots,x_{n+1}\in I$ e $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n+1}\geq 0$ com $\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n+1}=1$ . Vamos mostrar que:

f(\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{n}x_{n}+\alpha_{n+1}x_{n+1})\\ \leq\alpha_{1}f(x_{1})+\cdots+\alpha_{n}f(x_{n})+\alpha_{n+1}f(x_{n+1}).

(4.5.18)

Se $\alpha_{n+1}=1$ , vale a igualdade em (4.5.18). Suponha que $\alpha_{n+1}<1$ . Seja $\alpha^{\prime}_{i}=\frac{\alpha_{i}}{1-\alpha_{n+1}}$ , $i=1,\ldots,n$ . Claramente $\alpha^{\prime}_{1},\ldots,\alpha^{\prime}_{n}\geq 0$ e $\alpha^{\prime}_{1}+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}=1$ , donde a hipótese de indução nos dá:

f(\alpha^{\prime}_{1}x_{1}+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}x_{n})\leq\alpha^{\prime}% _{1}f(x_{1})+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}f(x_{n}).

Temos:

f(\alpha_{1}x_{1}+\cdots+\alpha_{n}x_{n}+\alpha_{n+1}x_{n+1})\\ =f\big{(}(1-\alpha_{n+1})(\alpha^{\prime}_{1}x_{1}+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}x% _{n})+\alpha_{n+1}x_{n+1}\big{)}\\ \leq(1-\alpha_{n+1})f(\alpha^{\prime}_{1}x_{1}+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}x_{n}% )+\alpha_{n+1}f(x_{n+1})\\ \leq(1-\alpha_{n+1})\big{(}\alpha^{\prime}_{1}f(x_{1})+\cdots+\alpha^{\prime}_% {n}f(x_{n})\big{)}+\alpha_{n+1}f(x_{n+1})\\ =\alpha_{1}f(x_{1})+\cdots+\alpha_{n}f(x_{n})+\alpha_{n+1}f(x_{n+1}),

(4.5.19)

onde na primeira desigualdade usamos $\alpha^{\prime}_{1}x_{1}+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}x_{n}\in I$ e a convexidade de $f$ . Isso prova (4.5.18). Suponha agora que $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n+1}>0$ , $f$ é estritamente convexa e vale a igualdade em (4.5.18). Daí todas as desigualdades em (4.5.19) são igualdades e portanto:

\alpha^{\prime}_{1}x_{1}+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}x_{n}=x_{n+1},

(4.5.20)

f(\alpha^{\prime}_{1}x_{1}+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}x_{n})=\alpha^{\prime}_{1% }f(x_{1})+\cdots+\alpha^{\prime}_{n}f(x_{n}).

Como $\alpha^{\prime}_{1},\ldots,\alpha^{\prime}_{n}>0$ , a hipótese de indução nos dá $x_{1}=\cdots=x_{n}$ . Finalmente, (4.5.20) implica que $x_{1}=\cdots=x_{n}=x_{n+1}$ . ∎