4.4. Espaços ${L^{p}}$

A função nula obviamente está em $\mathcal{L}^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$. Dados uma função mensurável $f:X\to\mathds{K}$ e $\lambda\in\mathds{K}$ então a função $\lambda f$ é mensurável e:

donde:

Daí $\lambda f\in\mathcal{L}^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$ sempre que $f\in\mathcal{L}^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$. Para mostrar que $\mathcal{L}^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$ é fechado por somas, usamos a desigualdade:

válida para quaisquer números reais não negativos $a$, $b$. Para provar (4.4.4), seja $c=\max\{a,b\}$, de modo que $c^{p}=\max\{a^{p},b^{p}\}$ e $a+b\leq c+c=2c$; temos:

Agora, dadas $f,g\in\mathcal{L}^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$, então:

de modo que:

e portanto $f+g\in\mathcal{L}^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$. ∎

Obviamente, $\|f\|_{p}$ é um número real não negativo, para toda $f\in\mathcal{L}^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$. Vimos em (4.4.3) que $\|\lambda f\|_{p}=|\lambda|\,\|f\|_{p}$, para todo $\lambda\in\mathds{K}$ e toda $f\in\mathcal{L}^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$. Finalmente, a desigualdade triangular para $\|\cdot\|_{p}$ é exatamente a desigualdade de Minkowski (Lema 4.4.3). ∎

Se $p=1$ então:

Suponha agora que $p>1$ e seja $q=\frac{p}{p-1}\in\left]1,+\infty\right[$, de modo que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Temos:

Usando a desigualdade de Hölder (Lema 4.4.5), obtemos:

daí:

De (4.4.8) e (4.4.9) vem:

e:

Se $0<\|f+g\|_{p}<+\infty$ então (4.4.5) segue diretamente de (4.4.10). Se $\|f+g\|_{p}=0$, a desigualdade (4.4.5) é trivial. Finalmente, se $\|f+g\|_{p}$ é igual a $+\infty$ então o Lema 4.4.2 implica que $\|f\|_{p}=+\infty$ ou $\|g\|_{p}=+\infty$, donde a desigualdade (4.4.5) segue. ∎

A prova deste lema usa algus fatos simples da teoria de funções convexas, que serão demonstrados na Seção 4.5. A função exponencial $\exp:\mathds{R}\ni x\mapsto e^{x}\in\mathds{R}$ possui derivada segunda positiva e portanto é estritamente convexa (Corolário 4.5.14). Dados então números reais positivos $\alpha_{1}$, …, $\alpha_{n}$ com $\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}=1$ e números reais $y_{1}$, …, $y_{n}$, temos (Proposição 4.5.16):

onde a igualdade vale se e somente se $y_{1}=\cdots=y_{n}$. Se todos os $x_{i}$ são positivos, a conclusão é obtida fazendo $y_{i}=\ln(x_{i})$, $i=1,\ldots,n$. O caso em que algum $x_{i}$ é igual a zero é trivial, já que o lado esquerdo de (4.4.11) é zero e o lado direito de (4.4.11) é não negativo, sendo igual a zero se e somente se $x_{1}=\cdots=x_{n}=0$. ∎

Use o Lema 4.4.6 com $n=2$, $x_{1}=a^{p}$, $x_{2}=b^{q}$, $\alpha_{1}=\frac{1}{p}$ e $\alpha_{2}=\frac{1}{q}$. ∎

Se $\|f\|_{p}=0$ ou $\|g\|_{q}=0$ então $f=0$ q. s. ou $g=0$ q. s. (veja (4.4.2)) e $\int_{X}|fg|\,\mathrm{d}\mu=0$, donde o resultado segue trivialmente. Suponhamos que $\|f\|_{p}>0$ e $\|g\|_{q}>0$. Se $\|f\|_{p}=+\infty$ ou $\|g\|_{q}=+\infty$ então $\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}=+\infty$, donde também o resultado é trivial. Podemos supor então que as normas $\|f\|_{p}$ e $\|g\|_{q}$ são positivas e finitas. Sendo $\|f\|_{p}$ e $\|g\|_{q}$ ambas positivas, vemos que a existência de $\lambda\geq 0$ tal que (4.4.7) vale é equivalente à existência de $\lambda>0$ tal que $|g|^{q}=\lambda|f|^{p}$ q. s.; integrando essa igualdade dos dois lados, vem:

donde a condição (4.4.7) é na verdade equivalente a:

Sejam:

A desigualdade de Hölder (4.4.6) é equivalente a:

A igualdade (4.4.3) nos dá:

Usando o Corolário 4.4.7, obtemos:

integrando, vem:

provando (4.4.14) (e também (4.4.6)). Temos que a igualdade em (4.4.6) é equivalente à igualdade em (4.4.14) que, por sua vez, é equivalente à afirmação que a desigualdade que aparece em (4.4.16) é uma igualdade; usando (4.4.15) e o resultado do Exercício 2.22, vemos então que a igualdade em (4.4.6) é equivalente a:

Pelo Corolário 4.4.7, (4.4.17) é equivalente a:

que, por sua vez, é equivalente a (4.4.13). Isso completa a demonstração. ∎

É suficiente mostrar que $\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$; de fato, isso implica em particular que $\|f_{n}-f\|_{p}<+\infty$ para $n$ suficientemente grande, donde segue que $f_{n}-f\in L^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$ e portanto também $f$ está em $L^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$. Seja dado $\varepsilon>0$. Como $(f_{n})_{n\geq 1}$ é uma seqüência de Cauchy em $L^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$, existe $n_{0}\geq 1$ tal que $\|f_{n}-f_{m}\|_{p}<\varepsilon$, para todos $n,m\geq n_{0}$, isto é:

para todos $n,m\geq n_{0}$. Fixando $n\geq n_{0}$ e usando o Lema de Fatou (Proposição 2.5.2) para a seqüência $\big{(}|f_{n}-f_{m}|^{p}\big{)}_{m\geq 1}$, obtemos:

para todo $n\geq n_{0}$. Mas $f_{m}\to f$ q. s. implica que:

e portanto:

para todo $n\geq n_{0}$. Isso prova que $\|f_{n}-f\|_{p}\leq\varepsilon$, para todo $n\geq n_{0}$ e completa a demonstração. ∎

A tese segue facilmente da seguinte observação: dadas funções mensuráveis $f,g:X\to\mathds{K}$ então para todo $\varepsilon>0$ vale a desigualdade:

Para provar a observação, seja $A=\big{\{}x\in X:\big{|}f(x)-g(x)\big{|}\geq\varepsilon\big{\}}$; então:

Seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de Cauchy em $L^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$. Pelo Lema 4.4.10, a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ também é de Cauchy em medida e portanto, pelo Lema 2.7.14, existe uma subseqüência $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ de $(f_{n})_{n\geq 1}$ que converge pontualmente quase sempre para uma função mensurável $f:X\to\mathds{K}$. O Lema 4.4.9 nos diz então que $f$ está em $L^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$ e que $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ converge para $f$ em $L^{p}(X,\mathcal{A},\mu;\mathds{K})$. A conclusão segue da seguinte observação elementar: se uma seqüência de Cauchy num espaço métrico possui uma subseqüência convergente então a própria seqüência de Cauchy também é convergente (para o mesmo limite). ∎