4.3. Funcionais Lineares e o Espaço Dual

Seja $(E,\|\cdot\|)$ um espaço vetorial normado sobre $\mathds{K}$ . Por um funcional linear em $E$ nós entendemos uma aplicação linear $\alpha:E\to\mathds{K}$ cujo contra-domínio é o corpo de escalares $\mathds{K}$ . Um funcional linear $\alpha:E\to\mathds{K}$ é dito limitado quando a aplicação linear $\alpha:E\to\mathds{K}$ for limitada. O conjunto:

E^{*}=\big{\{}\alpha:\text{$\alpha$ é um funcional linear limitado em $E$}\big% {\}}=\mathrm{Lin}(E,\mathds{K})

é chamado o espaço dual de $E$ . Como caso particular da Definição 4.2.3, nós temos:

\|\alpha\|=\sup\big{\{}|\alpha(x)|:\text{$x\in E$ e $\|x\|\leq 1$}\big{\}}.

4.3.1 Proposição.

Se $(E,\|\cdot\|)$ é um espaço vetorial normado sobre $\mathds{K}$ então seu dual $E^{*}$ é um espaço de Banach.

Demonstração.

Segue da Proposição 4.2.5, já que o corpo de escalares $\mathds{K}$ é completo. ∎

Observamos que em álgebra linear normalmente define-se o dual (também chamado de dual algébrico) de um espaço vetorial $E$ como sendo o espaço de todos os funcionais lineares em $E$ . Por isso, o espaço dual que nós definimos acima é muitas vezes chamado o dual topológico de $E$ . Nós não teremos nenhum uso para a noção de dual algébrico e portanto usamos “dual” como sinônimo de “dual topológico”.

4.3.2 Exemplo.

Seja $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ um espaço pré-Hilbertiano sobre $\mathds{K}$ . Para todo $v\in E$ , a aplicação:

\alpha_{v}:E\ni x\longmapsto\langle x,v\rangle\in\mathds{K}

é um funcional linear em $E$ . Segue da desigualdade de Cauchy–Schwarz (Lema 4.1.5) que:

\big{|}\alpha_{v}(x)\big{|}\leq\|v\|\|x\|,

donde vemos que $\alpha_{v}$ é limitado e $\|\alpha_{v}\|\leq\|v\|$ . Afirmamos que:

\|\alpha_{v}\|=\|v\|,

(4.3.1)

para todo $v\in E$ . De fato, se $v=0$ , essa igualdade é trivial; senão, tomamos $w=\frac{v}{\|v\|}$ , de modo que $\|w\|=1$ e:

\|\alpha_{v}\|\geq\big{|}\alpha_{v}(w)\big{|}=\frac{\langle v,v\rangle}{\|v\|}% =\|v\|,

provando (4.3.1). É fácil ver que:

\alpha_{v+w}=\alpha_{v}+\alpha_{w},\quad\alpha_{\lambda v}=\bar{\lambda}\alpha% _{v},

para todos $v,w\in E$ , $\lambda\in\mathds{K}$ , donde segue que a aplicação:

E\ni v\longmapsto\alpha_{v}\in E^{*}

(4.3.2)

é linear para $\mathds{K}=\mathds{R}$ e linear-conjugada para $\mathds{K}=\mathds{C}$ . A igualdade (4.3.1) nos diz que a aplicação (4.3.2) é uma imersão isométrica linear para $\mathds{K}=\mathds{R}$ e uma imersão isométrica linear-conjugada para $\mathds{K}=\mathds{C}$ . A aplicação (4.3.2) é chamada a aplicação de Riesz do espaço pré-Hilbertiano $E$ .

Temos o seguinte:

4.3.3 Teorema (de representação de Riesz).

Seja $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ um espaço de Hilbert sobre $\mathds{K}$ . Então a aplicação de Riesz (4.3.2) é uma isometria linear para $\mathds{K}=\mathds{R}$ e uma isometria linear-conjugada para $\mathds{K}=\mathds{C}$ .

A demonstração do Teorema 4.3.3 usa o seguinte:

4.3.4 Lema.

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $\mathds{K}$ e $\alpha:E\to\mathds{K}$ um funcional linear não nulo. Dado $x\in E$ com $\alpha(x)\neq 0$ então $\mathrm{Ker}(\alpha)\cup\{x\}$ é um conjunto de geradores para $E$ .

Demonstração.

Seja $y\in E$ ; queremos encontrar $\lambda\in\mathds{K}$ e $n\in\mathrm{Ker}(\alpha)$ com $y=n+\lambda x$ . Basta então encontrar $\lambda\in\mathds{K}$ com $y-\lambda x\in\mathrm{Ker}(\alpha)$ ; mas:

\alpha(y-\lambda x)=\alpha(y)-\lambda\alpha(x),

donde basta tomar $\lambda=\frac{\alpha(y)}{\alpha(x)}$ . ∎

4.3.5 Corolário.

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $\mathds{K}$ . Dados funcionais lineares $\alpha:E\to\mathds{K}$ , $\beta:E\to\mathds{K}$ , se $\mathrm{Ker}(\alpha)\subset\mathrm{Ker}(\beta)$ então existe $\lambda\in\mathds{K}$ com $\beta=\lambda\alpha$ .

Demonstração.

Se $\alpha=0$ então $\mathrm{Ker}(\alpha)=E=\mathrm{Ker}(\beta)$ , donde $\beta=0$ e basta tomar $\lambda=0$ . Se $\alpha\neq 0$ , seja $x\in E$ com $\alpha(x)\neq 0$ e tome $\lambda=\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$ . Temos que os funcionais lineares $\beta$ e $\lambda\alpha$ coincidem em $\mathrm{Ker}(\alpha)\cup\{x\}$ ; segue então do Lema 4.3.4 que $\beta=\lambda\alpha$ . ∎

Demonstração do Teorema 4.3.3.

Seja $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ um espaço de Hilbert sobre $\mathds{K}$ . Já sabemos que a aplicação de Riesz (4.3.2) é uma imersão isométrica (linear para $\mathds{K}=\mathds{R}$ e linear-conjugada para $\mathds{K}=\mathds{C}$ ), de modo que é suficiente demonstrar que ela é sobrejetora. Seja $\alpha\in E^{*}$ um funcional linear limitado em $E$ . Devemos encontrar $v\in E$ com $\alpha=\alpha_{v}$ . Se $\alpha=0$ , basta tomar $v=0$ . Suponha então que $\alpha\neq 0$ . Como $\alpha$ é contínuo, temos que $\mathrm{Ker}(\alpha)=\alpha^{-1}(0)$ é um subespaço fechado de $E$ , de modo que $E=\mathrm{Ker}(\alpha)\oplus\big{(}\mathrm{Ker}(\alpha)\big{)}^{\perp}$ , pelo Corolário 4.1.15. Como $\alpha\neq 0$ , temos $\mathrm{Ker}(\alpha)\neq E$ e portanto existe $x\in\big{(}\mathrm{Ker}(\alpha)\big{)}^{\perp}$ com $x\neq 0$ . Vemos então que o funcional linear $\alpha_{x}$ é nulo em $\mathrm{Ker}(\alpha)$ e portanto, pelo Corolário 4.3.5, existe $\lambda\in\mathds{K}$ com $\alpha_{x}=\lambda\alpha$ . Como $x\neq 0$ , temos que $\alpha_{x}\neq 0$ e portanto $\lambda\neq 0$ . Concluímos então que:

\alpha=\lambda^{-1}\alpha_{x}=\alpha_{v},

onde $v=\bar{\lambda}^{-1}x\in E$ . Isso completa a demonstração. ∎