Exercícios para o Capítulo 4

Sejam $E$ um espaço vetorial sobre $\mathds{K}$ e $\|\cdot\|$ uma semi-norma em $E$. Mostre que:

para todos $x,y\in E$. Conclua que se $(E,\|\cdot\|)$ é um espaço normado então a norma $\|\cdot\|:E\to\mathds{R}$ é uma aplicação Lipschitziana (e portanto uniformemente contínua), se $E$ é munido da métrica associada a $\|\cdot\|$.

Seja $(E,\|\cdot\|)$ um espaço normado sobre $\mathds{K}$. Se $E$ é munido da métrica associada a $\|\cdot\|$, mostre que as aplicações:

são contínuas.

Seja $(E,\|\cdot\|)$ um espaço normado sobre $\mathds{K}$. Mostre que a métrica $d$ associada à norma $\|\cdot\|$ satisfaz as seguintes condições:

• (a)
  ​

  $d(x+z,y+z)=d(x,y)$, para todos $x,y,z\in E$ (invariância por translações);

• (b)
  ​

  $d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|\,d(x,y)$, para todo $\lambda\in\mathds{K}$ e todos $x,y\in E$.

Reciprocamente, se $d$ é uma métrica num espaço vetorial $E$ sobre $\mathds{K}$ que satisfaz as condições (a) e (b) acima, mostre que existe uma única norma $\|\cdot\|$ em $E$ tal que $d$ é a métrica associada a $\|\cdot\|$.

Seja $E$ um espaço vetorial real. Para que uma métrica $d$ em $E$ seja a métrica associada a uma norma em $E$, mostre que é suficiente que $d$ satisfaça a condição (a) que está no enunciado do Exercício 4.3 e a condição:

• (b’)
  ​

  $d(\lambda x,\lambda y)=\lambda\,d(x,y)$, para todo $\lambda>0$ e todos $x,y\in E$ (homogeneidade positiva).

Sejam $E$ um espaço vetorial e $S\subset E$ um subespaço vetorial de $E$. Mostre que:

• •
  ​

  a relação binária $\sim$ em $E$ definida por:

  $$x\sim y\Longleftrightarrow x-y\in S,\quad x,y\in E,$$

  é uma relação de equivalência em $E$;

• •
  ​

  para todo $x\in E$, a classe de equivalência de $x$ correspondente a $\sim$ é dada por:

  $$x+S=\big{\{}x+v:v\in S\big{\}};$$
• •
  ​

  existe uma única estrutura de espaço vetorial no conjunto quociente $E/S=\big{\{}x+S:x\in E\big{\}}$ tal que a aplicação quociente:

  $$q:E\ni x\longmapsto x+S\in E/S$$

  é linear.

O espaço vetorial $E/S$ é chamado o espaço vetorial quociente de $E$ pelo subespaço $S$.

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $\mathds{K}$ e $\|\cdot\|$ uma semi-norma em $E$. Mostre que:

• •
  ​

  o conjunto $N=\big{\{}x\in E:\|x\|=0\big{\}}$ é um subespaço de $E$;

• •
  ​

  existe uma única norma $\|\cdot\|^{\prime}$ no espaço quociente $E/N$ tal que $\|x+N\|^{\prime}=\|x\|$, para todo $x\in E$.

Se $E$ é um espaço vetorial complexo e $\|\cdot\|$ é uma norma em $E$, mostre que $\|\cdot\|$ também é uma norma na realificação $E|_{\mathds{R}}$ de $E$. Dê exemplo de uma norma em $E|_{\mathds{R}}$ que não é uma norma em $E$.

Se $E$ é um espaço vetorial complexo e $\langle\cdot,\cdot\rangle$ é um produto interno em $E$, mostre que:

define um produto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathds{R}}$ em $E|_{\mathds{R}}$. Mostre também que:

• (a)
  ​

  $\langle\cdot,\cdot\rangle$ e $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathds{R}}$ determinam a mesma norma (conclua que $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ é um espaço de Hilbert complexo se e somente se $(E|_{\mathds{R}},\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathds{R}})$ é um espaço de Hilbert real);

• (b)
  ​

  $\langle ix,iy\rangle_{\mathds{R}}=\langle x,y\rangle_{\mathds{R}}$ e $\langle ix,y\rangle_{\mathds{R}}=-\langle x,iy\rangle_{\mathds{R}}$, para todos $x,y\in E$;

• (c)
  ​

  $\langle x,y\rangle=\langle x,y\rangle_{\mathds{R}}-i\langle ix,y\rangle_{\mathds{R}}$, para todos $x,y\in E$.

Seja $E$ um espaço vetorial complexo e $\langle\cdot,\cdot\rangle_{0}$ um produto interno em $E|_{\mathds{R}}$. Mostre que as duas seguintes condições são equivalentes:

• (i)
  ​

  $\langle ix,iy\rangle_{0}=\langle x,y\rangle_{0}$, para todos $x,y\in E$;

• (ii)
  ​

  $\langle ix,y\rangle_{0}=-\langle x,iy\rangle_{0}$, para todos $x,y\in E$.

Assumindo que uma das (e portanto ambas as) condições acima são satisfeitas, mostre que:

define um produto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$ em $E$ tal que $\langle x,y\rangle_{0}=\Re\langle x,y\rangle$, para todos $x,y\in E$.

Seja $X$ um conjunto com mais de um ponto. Mostre que a norma do supremo (Exemplo 4.1.3) definida no espaço vetorial $\mathrm{Bd}(X,\mathds{K})$ das funções limitadas $f:X\to\mathds{K}$ não satisfaz a identidade do paralelogramo (veja (4.1.5)). Conclua que essa norma não está associada a nenhum produto interno.

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $\mathds{K}$ e $\langle\cdot,\cdot\rangle$ um produto interno em $E$. Se $\mathds{K}=\mathds{R}$, mostre que:

para todos $x,y\in E$. Para $\mathds{K}=\mathds{C}$, mostre que:

para todos $x,y\in E$. Use a fórmula que está no item (c) do Exercício 4.8 para concluir que, também no caso $\mathds{K}=\mathds{C}$, podemos escrever uma fórmula para $\langle x,y\rangle$ usando apenas a norma $\|\cdot\|$.

Seja $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ um espaço pré-Hilbertiano sobre $\mathds{K}$. Se $E$ é munido da métrica associada à norma associada a $\langle\cdot,\cdot\rangle$, mostre que o produto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle:E\times E\to\mathds{K}$ é uma aplicação contínua.

Este exercício contém um resultado preparatório que será usado na resolução do Exercício 4.14. Sejam $E$, $E^{\prime}$ espaços vetoriais sobre $\mathds{Q}$ e seja $T:E\to E^{\prime}$ um homomorfismo de grupos aditivos, i.e., $T(x+y)=T(x)+T(y)$, para todos $x,y\in E$. Mostre que $T$ é linear, i.e., mostre que $T(\lambda x)=\lambda T(x)$, para todos $x\in E$, $\lambda\in\mathds{Q}$.

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $\mathds{K}$ e $\|\cdot\|$ uma norma em $E$ que satisfaz a identidade do paralelogramo (4.1.5). O objetivo deste exercício é mostrar que $\|\cdot\|$ está associada a um único produto interno no espaço vetorial $E$.

• (a)
  ​

  Mostre que:

  $$\|x+y\|^{2}+\|x+z\|^{2}+\|y+z\|^{2}=\|x+y+z\|^{2}+\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+\|z\|^{2},$$

  para todos $x,y,z\in E$.

• (b)
  ​

  Defina $\langle\cdot,\cdot\rangle:E\times E\to\mathds{R}$ através da fórmula (4.5.21) e use o resultado do item (a) para concluir que $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$, para todos $x,y,z\in E$.

• (c)
  ​

  Use o resultado do item (b) e o resultado do Exercício 4.13 para concluir que $\langle\lambda x,y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle$, para todos $x,y\in E$ e todo $\lambda\in\mathds{Q}$.

• (d)
  ​

  Use o resultado do item (d) e o resultado dos Exercícios 4.1 e 4.2 para concluir que $\langle\lambda x,y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle$, para todos $x,y\in E$ e todo $\lambda\in\mathds{R}$.

• (e)
  ​

  Se $\mathds{K}=\mathds{R}$, mostre que (4.5.21) define um produto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$ em $E$ e que $\|\cdot\|$ é a norma associada a $\langle\cdot,\cdot\rangle$.

• (f)
  ​

  Se $\mathds{K}=\mathds{C}$, use o resultado do Exercício 4.9 para concluir que existe um único produto interno em $E$ ao qual a norma $\|\cdot\|$ está associada.

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $\mathds{K}$ e $\langle\cdot,\cdot\rangle$ um produto interno em $E$. Se $x,y\in E$ são ortogonais, mostre que:

Mostre que:

• •
  ​

  um espaço vetorial normado não nulo nunca é um espaço métrico limitado;

• •
  ​

  uma aplicação linear não nula entre espaços normados nunca possui imagem limitada.

Sejam $(E,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle E$}})$, $(F,\|\cdot\|_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle F$}})$ espaços normados sobre $\mathds{K}$, com $E$ não nulo. Se $T:E\to F$ é uma aplicação linear limitada, mostre que:

Mostre que (4.2.1) define uma norma no espaço vetorial $\mathrm{Lin}(E,F)$.

Seja $E$ um espaço vetorial complexo. Denotemos por $\overline{E}$ o conjunto $E$ munido da mesma soma de $E$ e da operação de multiplicação por escalares complexos definida por:

Mostre que:

• •
  ​

  $\overline{E}$ também é um espaço vetorial complexo;

• •
  ​

  uma aplicação $\|\cdot\|:E\to\mathds{R}$ é uma norma em $E$ se e somente se ela é uma norma em $\overline{E}$.

Dizemos que $\overline{E}$ é o espaço vetorial conjugado a $E$.

Sejam $E$ um espaço vetorial complexo e $\overline{E}$ seu espaço vetorial conjugado. Mostre que:

• •
  ​

  o espaço vetorial conjugado de $\overline{E}$ é $E$;

• •
  ​

  se $S$ é um subespaço vetorial de $E$ então o espaço vetorial conjugado a $S$ é um subespaço vetorial de $\overline{E}$.

Sejam $E$ um espaço vetorial complexo e $\overline{E}$ seu espaço vetorial conjugado. Se $\langle\cdot,\cdot\rangle$ é um produto interno em $E$, mostre que:

é um produto interno em $\overline{E}$. Mostre que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ e (4.5.23) definem a mesma norma em $E$.

Sejam $E$, $F$ espaços vetoriais complexos e $\overline{E}$, $\overline{F}$ seus espaços vetoriais conjugados. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes sobre uma aplicação $T:E\to F$:

• •
  ​

  $T:E\to F$ é linear;

• •
  ​

  $T:\overline{E}\to\overline{F}$ é linear.

Mostre também que são equivalentes as seguintes afirmações:

• •
  ​

  $T:E\to F$ é linear-conjugada;

• •
  ​

  $T:\overline{E}\to F$ é linear;

• •
  ​

  $T:E\to\overline{F}$ é linear.

Se $f:\mathds{R}\to\mathds{R}$ é uma função afim, i.e., existem $a,b\in\mathds{R}$ com $f(x)=ax+b$ para todo $x\in\mathds{R}$, mostre que $f$ é convexa.