A.2. Exercícios do Capítulo 2

Exercício 2.1. Se $f:X\to X^{\prime}$ é constante então para todo subconjunto $A$ de $X^{\prime}$ temos $f^{-1}(A)=\emptyset$ ou $f^{-1}(A)=X$; em todo caso, $f^{-1}(A)\in\mathcal{A}$.

Exercício 2.2. Evidentemente $\mathcal{A}|_{Y}$ é não vazia, já que $\mathcal{A}$ é não vazia. Seja $(A^{\prime}_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência em $\mathcal{A}|_{Y}$; para cada $k\geq 1$ existe $A_{k}\in\mathcal{A}$ com $A^{\prime}_{k}=A_{k}\cap Y$. Daí:

e $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{A}$; logo $\bigcup_{k=1}^{\infty}A^{\prime}_{k}\in\mathcal{A}|_{Y}$. Agora seja $A^{\prime}\in\mathcal{A}|_{Y}$, de modo que $A^{\prime}=A\cap Y$, com $A\in\mathcal{A}$. Temos que o complementar de $A^{\prime}$ em $Y$ é igual à interseção do complementar de $A$ em $X$ com $Y$, ou seja:

Como $X\setminus A$ está em $\mathcal{A}$, segue que $Y\setminus A^{\prime}\in\mathcal{A}|_{Y}$.

Exercício 2.3. Pelo resultado do Exercício 2.2, temos que $\mathcal{A}|_{Y}$ é uma $\sigma$-álgebra de partes de $Y$ que contém $\mathcal{C}|_{Y}$; logo $\mathcal{A}|_{Y}$ contém $\sigma[\mathcal{C}|_{Y}]$. Para mostrar que $\mathcal{A}|_{Y}$ está contido em $\sigma[\mathcal{C}|_{Y}]$, considere a coleção:

Verifica-se diretamente que $\mathcal{A}^{\prime}$ é uma $\sigma$-álgebra de partes de $X$; obviamente, $\mathcal{C}\subset\mathcal{A}^{\prime}$. Logo $\mathcal{A}\subset\mathcal{A}^{\prime}$, o que prova que $A\cap Y\in\sigma[\mathcal{C}|_{Y}]$, para todo $A\in\mathcal{A}$, i.e., $\mathcal{A}|_{Y}\subset\sigma[\mathcal{C}|_{Y}]$.

Exercício 2.4. De acordo com a definição da $\sigma$-álgebra de Borel de $\overline{\mathds{R}}$, se $A\in\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})$ então $A\cap\mathds{R}\in\mathcal{B}(\mathds{R})$; logo $\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})|_{\mathds{R}}\subset\mathcal{B}(\mathds{R})$. Por outro lado, se $A\in\mathcal{B}(\mathds{R})$ então também $A\in\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})$ (já que $A\cap\mathds{R}=A$ é um Boreleano de $\mathds{R}$) e portanto $A\cap\mathds{R}=A\in\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})|_{\mathds{R}}$.

Exercício 2.5. Seja $\mathcal{C}$ a coleção formada pelos intervalos da forma $[-\infty,c]$, $c\in\mathds{R}$. Claramente $\mathcal{C}\subset\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})$ e portanto $\sigma[\mathcal{C}]\subset\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})$. Vamos mostrar então que $\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})\subset\sigma[\mathcal{C}]$. Em primeiro lugar, afirmamos que:

De fato, (A.2.1) segue das igualdades:

e (A.2.2) segue de (A.2.1), já que $\mathds{R}=\{+\infty,-\infty\}^{\mathrm{c}}$. Note que:

e portanto o resultado do Exercício 1.25 nos dá $\sigma[\mathcal{C}|_{\mathds{R}}]=\mathcal{B}(\mathds{R})$; daí, o resultado do Exercício 2.3 implica que:

Seja $A\in\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})$, de modo que $A\cap\mathds{R}\in\mathcal{B}(\mathds{R})$. Por (A.2.3), temos que existe $A^{\prime}\in\sigma[\mathcal{C}]$ tal que $A\cap\mathds{R}=A^{\prime}\cap\mathds{R}$. Daí (A.2.2) implica que $A\cap\mathds{R}\in\sigma[\mathcal{C}]$. Finalmente, (A.2.1) implica que $A\cap\{+\infty,-\infty\}\in\sigma[\mathcal{C}]$, o que prova que $A=(A\cap\mathds{R})\cup\big{(}A\cap\{+\infty,-\infty\}\big{)}\in\sigma[\mathcal{C}]$.

Exercício 2.6. Pelo Corolário 2.1.18, a função

definida por $h(x)=f(x)-g(x)$ é mensurável. Logo o conjunto:

é mensurável. A conclusão segue da igualdade:

Exercício 2.7. Vamos usar o Lema 2.1.13. Temos que os conjuntos:

constituem uma cobertura enumerável de $\mathds{R}^{2}$ por Boreleanos. É suficiente então mostrar que a restrição de $f$ a cada um desses Boreleanos é Borel mensurável. A restrição de $f$ ao conjunto (A.2.4a) é contínua, e portanto Borel mensurável (veja Lema 2.1.15). A restrição de $f$ ao conjunto (A.2.4b) é um limite pontual de funções contínuas e portanto é Borel mensurável, pelo Corolário 2.1.24 (na verdade, essa restrição de $f$ também é contínua, já que a série em questão converge uniformemente, pelo teste $M$ de Weierstrass). Finalmente, a restrição de $f$ ao conjunto (A.2.4c) é Borel mensurável, sendo igual à composição da função contínua $(x,y)\mapsto x+y$ com a função Borel mensurável $\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Q}$}}$.

Exercício 2.8.

• (a)
  ​

  Como $X\setminus X_{1}$ tem medida nula, temos que todo subconjunto de $X\setminus X_{1}$ é mensurável (recorde Lema 1.4.16). Portanto, a restrição de $f$ a $X\setminus X_{1}$ é automaticamente mensurável (seja lá qual for a função $f$). Como os conjuntos $X\setminus X_{1}$ e $X_{1}=X\setminus(X\setminus X_{1})$ são mensuráveis, segue do Lema 2.1.13 que $f$ é mensurável.

• (b)
  ​

  Como $f=g$ quase sempre, existe um subconjunto $X_{1}$ de $X$ tal que $X\setminus X_{1}$ tem medida nula e tal que $f$ e $g$ coincidem em $X_{1}$. Como $f$ é mensurável, segue que $g|_{X_{1}}=f|_{X_{1}}$ também é mensurável; logo, o resultado do item (a) implica que $g$ é mensurável.

• (c)
  ​

  Basta observar que $g=\liminf_{k\to\infty}f_{k}$ quase sempre e usar o resultado do item (b) juntamente com o Corolário 2.1.23.

Exercício 2.9. Devemos mostrar que se $A$ é um subconjunto Lebesgue mensurável de $\mathds{R}^{m}$ então $\pi^{-1}(A)$ é um subconjunto Lebesgue mensurável de $\mathds{R}^{m+n}$. Mas $\pi^{-1}(A)=A\times\mathds{R}^{n}$ e portanto a conclusão segue do resultado do item (b) do Exercício 1.27.

Exercício 2.10. Considere a função $\phi:X\times\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ definida por $\phi(x,y)=y-f(x)$, para todos $x\in X$, $y\in\mathds{R}^{n}$. Obviamente:

Considere a projeção $\pi:\mathds{R}^{m+n}\to\mathds{R}^{m}$ nas primeiras $m$ coordenadas. Temos que $\pi$ é contínua e portanto Borel mensurável; daí $X\times\mathds{R}^{n}=\pi^{-1}(X)$ é Boreleano, caso $X$ seja Boreleano. Além do mais, pelo resultado do Exercício 2.9, $X\times\mathds{R}^{n}$ é Lebesgue mensurável, caso $X$ seja Lebesgue mensurável. Para concluir a demonstração, vamos verificar que:

• •
  ​

  $\phi$ é Borel mensurável se $f$ for Borel mensurável;

• •
  ​

  $\phi$ é mensurável se $f$ for mensurável.

De fato, temos que $\phi$ é igual à diferença entre a função contínua $(x,y)\mapsto y$ e a função $(x,y)\mapsto f(x)$, que é simplesmente a composição da restrição de $\pi$ a $X\times\mathds{R}^{n}$ com $f$. A conclusão segue do resultado do Exercício 2.9.

Exercício 2.11.

• (a)
  ​

  Se $f$ é integrável então, por definição, $f^{+}$ e $f^{-}$ são integráveis, donde $|f|=f^{+}+f^{-}$ é integrável. Reciprocamente, se $|f|$ é integrável então $f^{+}$ e $f^{-}$ são integráveis, já que $0\leq f^{+}\leq|f|$ e $0\leq f^{-}\leq|f|$. Segue que $f$ é integrável.

• (b)
  ​

  Temos:

  $$\Big{|}\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu\Big{|}=\Big{|}\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu\Big{|}\leq\Big{|}\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu\Big{|}+\Big{|}\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu\Big{|}\\ =\int_{X}f^{+}+f^{-}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}|f|\,\mathrm{d}\mu.$$

Exercício 2.12. Seja $g_{n}=\sum_{k=1}^{n}f_{k}$. Daí $(g_{n})_{n\geq 1}$ é uma seqüência de funções mensuráveis não negativas com $g_{n}\nearrow f$. Segue do Teorema 2.3.3 que:

Exercício 2.13. Obviamente $\nu_{f}(\emptyset)=0$, pelo Lema 2.4.10. Seja $(E_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de subconjuntos mensuráveis dois a dois disjuntos de $X$. Temos:

e portanto o Lema 2.3.4 e o resultado do Exercício 2.12 implicam:

Exercício 2.14.

• (a)
  ​

  Se a função $f$ é não negativa, a afirmação segue do resultado do Exercício 2.13. No caso geral, temos:

  $$\int_{A}f^{+}\,\mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{A_{k}}f^{+}\,\mathrm{d}\mu,\quad\int_{A}f^{-}\,\mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{A_{k}}f^{-}\,\mathrm{d}\mu,$$

  e a conclusão segue subtraindo as duas igualdades acima.

• (b)
  ​

  Se a função $f$ é não negativa, a afirmação segue do resultado do Exercício 2.13 e do Lema 1.4.48. No caso geral, temos:

  $$\int_{A}f^{+}\,\mathrm{d}\mu=\lim_{k\to\infty}\int_{A_{k}}f^{+}\,\mathrm{d}\mu,\quad\int_{A}f^{-}\,\mathrm{d}\mu=\lim_{k\to\infty}\int_{A_{k}}f^{-}\,\mathrm{d}\mu,$$

  e a conclusão segue subtraindo as duas igualdades acima.

• (c)
  ​

  Análogo ao item (b), observando que se $f|_{A_{1}}$ é integrável então $\int_{A_{1}}f^{+}\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ e $\int_{A_{1}}f^{-}\,\mathrm{d}\mu<+\infty$.