Apêndice 6.A Seção 2.4 (Exemplos de Modelo Probabilístico em um DAG)

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Considere que $V_{2}\sim\text{Bernoulli}(0.02)$. Além disso, $V_{1},V_{3}\in\{0,1\}$ são independentes dado $V_{2}$. Também, ${\mathbb{P}}(V_{1}=1|V_{2}=1)={\mathbb{P}}(V_{3}=1|V_{2}=1)=0.9$ e ${\mathbb{P}}(V_{1}=1|V_{2}=0)={\mathbb{P}}(V_{3}=1|V_{2}=0)=0.05$. Note que, por construção, ${\mathbb{P}}$ é compatível com figur 2. Isto é, $P(v_{1},v_{2},v_{3})={\mathbb{P}}(v_{2}){\mathbb{P}}(v_{1}|v_{2}){\mathbb{P}}(v_{3}|v_{2})$. Além disso,

Por simetria, ${\mathbb{P}}(V_{3}=1)=0.067$. Além disso,

Como ${\mathbb{P}}(V_{1}=1){\mathbb{P}}(V_{3}=1)=0.067\cdot 0.067\approx 0.0045\neq 0.01865={\mathbb{P}}(V_{1}=1,V_{3}=1)$, temos que $V_{1}$ e $V_{3}$ não são independentes. ∎

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Considere que $V_{1}\sim\text{Bernoulli}(0.5)$, ${\mathbb{P}}(V_{2}=1|V_{1}=1)=0.9$, ${\mathbb{P}}(V_{2}=1|V_{1}=0)=0.05$, ${\mathbb{P}}(V_{3}=1|V_{2}=1,V_{1})=0.9$, e ${\mathbb{P}}(V_{3}=1|V_{2}=0,V_{1})=0.05$. Note que $(V_{1},V_{2},V_{3})$ formam uma Cadeia de Markov. Note que, por construção, ${\mathbb{P}}$ é compatível com figur 3. Isto é, $P(v_{1},v_{2},v_{3})={\mathbb{P}}(v_{1}){\mathbb{P}}(v_{2}|v_{1}){\mathbb{P}}(v_{3}|v_{2})$. Além disso,

Além disso,

Como ${\mathbb{P}}(V_{1}=1){\mathbb{P}}(V_{3}=1)=0.5\cdot 0.45125\approx 0.226\neq 0.40625={\mathbb{P}}(V_{1}=1,V_{3}=1)$, temos que $V_{1}$ e $V_{3}$ não são independentes. ∎

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Considere que $V_{1}$ e $V_{3}$ são independentes e tem distribuição $\text{Bernoulli}(0.5)$. Além disso, $V_{2}\equiv V_{1}+V_{3}$. Como ${\mathbb{P}}(V_{3}=1)=0.5$ e ${\mathbb{P}}(V_{3}=1|V_{1}=1,V_{2}=2)=1$, conclua que $V_{1}\not\perp\!\!\!\!\perp V_{3}|V_{2}$. ∎