Apêndice 6.G Seção 8 (Levando a intuição do SCM ao POM)

Se ${\mathbf{Z}}_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)\neq{\mathbf{z}}$, então ${\mathbb{I}}({\mathbf{Z}}_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)={\mathbf{z}})=0$ e

Se ${\mathbf{Z}}_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)={\mathbf{z}}$, então ${\mathbb{I}}({\mathbf{Z}}_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)={\mathbf{z}})=1$ e basta provar que $W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)=W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$.

Para tal, considere primeiramente que $W\in{\mathbf{Z}}$. Pela definição de $\omega$, ${\mathbf{Z}}_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)={\mathbf{z}}={\mathbf{Z}}_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$. Portanto, $W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)=W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$. Similarmente, se $W\in{\mathbb{V}}$, decorre da Definição 4.7 que ${\mathbb{V}}_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)={\mathbf{v}}={\mathbb{V}}_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$. Portanto, $W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)=W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$. Assim, resta considerar o caso em que $W\notin({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}})$.

Para provar este fato, construíremos uma ordem sobre ${\mathcal{V}}-({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}})$. Defina ${\mathcal{V}}^{(0)}=\{W\in{\mathcal{V}}-({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}}):Pa(W)=\emptyset\}$, isto é ${\mathcal{V}}^{(0)}$ são vértices no DAG que não estão em ${\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}}$ e que são raízes. Além disso, para todo $1\leq i\leq n$, ${\mathcal{V}}^{(i)}=\{W\in{\mathcal{V}}-({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}}):Pa(W)\subseteq{\mathcal{V}}^{(i-1)}\cup({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}})\}$. Isto é, todos os pais de ${\mathcal{V}}^{(1)}$ são raízes ou estão em $({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}})$, todos os avós de ${\mathcal{V}}^{(2)}$ são raízes ou estão em $({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}})$, e assim por diante. Como ${\mathcal{V}}$ é finito, existe $n$ tal que ${\mathcal{V}}^{(n)}\equiv{\mathcal{V}}-({\mathbb{U}}\cup{\mathbb{V}})$.

Completaremos a prova por indução finita. Primeiramente, se $W\in{\mathcal{V}}^{(0)}$, decorre da Definição 4.7 que $W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}\equiv g_{W}(U_{W})\equiv W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}$. Em particular, $W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)=W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$. A seguir, suponha que para todo $W\in{\mathcal{V}}^{(i-1)}$, $W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)=W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$ e tome $W\in{\mathcal{V}}^{(i)}$. Por definição de ${\mathcal{V}}^{(i)}$, $Pa(W)\subseteq{\mathcal{V}}^{(i-1)}\cup({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}})$. Tome $W^{*}\in Pa(W)$. Por hipótese de indução, se $W^{*}\in{\mathcal{V}}^{(i-1)}$, então $W^{*}_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)=W^{*}_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$. Também provamos que, se $W^{*}\in{\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}}$, então $W^{*}_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)=W^{*}_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$. Conclua que $Pa^{*}(W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}})(\omega)=Pa^{*}(W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}})(\omega)$. Como decorre da Definição 4.7 que $W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}\equiv g_{W}(U_{W},Pa^{*}(W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}))$ e $W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}\equiv g_{W}(U_{W},Pa^{*}(W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}))$ e $Pa^{*}(W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}})(\omega)=Pa(W^{*}_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}})(\omega)$, conclua que $W_{{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)=W_{{\mathbf{Z}}={\mathbf{z}},{\mathbb{V}}={\mathbf{v}}}(\omega)$. A prova está completa observando que $W\in{\mathcal{V}}^{(}n)={\mathcal{V}}-({\mathbf{Z}}\cup{\mathbb{V}})$. ∎

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($1\rightarrow 2$) Para realizar esta demonstração provaremos que a negação de $2$ implica a negação de $1$. Suponha que exista um ascendente comum de $X$ e $Y$. Portanto, existe $V\in{\mathcal{V}}$, um caminho direcionado de $V$ em $X$, $C^{X}=(V,C^{X}_{2},\ldots,C^{X}_{n-1},X)$, e um caminho direcionado de $V$ em $Y$, $C^{Y}=(V,C^{Y}_{2},\ldots,C^{Y}_{m-1},Y)$. Defina $C=(X,C^{X}_{n-1},\ldots,C^{X}_{2},V,C^{Y}_{2},\ldots C^{Y}_{m-1},Y)$. Como $C^{X}$ é um caminho direcionado, $(C^{X}_{n-1},X)\in{\mathcal{E}}$. Além disso, como $C^{X}$ e $C^{Y}$ são caminhos direcionados, não há colisor em $C$. Conclua que $C$ está bloqueado dado $\emptyset$. Isto é, $\emptyset$ não satisfaz o critério backdoor para medir o efeito causal de $X$ em $Y$.

($2\rightarrow 3$) Para realizar esta demonstração provaremos que a negação de $3$ implica a negação de $2$. Suponha que no grafo potencial, ${\mathcal{G}}^{*}$, existe um caminho não bloqueado de $X$ a $Y_{x}$, $C$. Portanto, existe $V\in{\mathcal{V}}$ tal que $C=X,\ldots V\leftarrow U_{V}\rightarrow V_{x},\ldots Y_{x}$. Como $C$ não está bloqueado, não há colisor em $C$. Portanto,

Decorre da Definição 4.5 que $V$ é ancestral comum de $X$ e $Y$. Para constatar essa última afirmação basta remover $U_{V}$ e $V_{x}$ do caminho e substituir cada vértice potencial a partir de $V_{x}$ por sua cópia em ${\mathcal{V}}$.

($3\rightarrow 1$) Esta demonstração decorre do Lema 4.16, provado a seguir, tomando ${\mathbf{Z}}=\emptyset$. ∎

Suponha que ${\mathbf{Z}}$ não satisfaz o critério backdoor para medir o efeito causal de $X$ em $Y$. Como $X\notin Anc({\mathbf{Z}})$, existe um caminho não bloqueado de $X$ em $Y$ dado ${\mathbf{Z}}$, $C=(X,C_{2},\ldots,C_{n-1},Y)$ tal que $X\leftarrow C_{2}$. Há dois casos para considerar: $C_{n-1}\leftarrow Y$ e $C_{n-1}\rightarrow Y$.

Se $C_{n-1}\leftarrow Y$, então não há colisor em $C_{n-1}\leftarrow Y\leftarrow U_{Y}\rightarrow Y_{x}$. Portanto, $C^{*}=(X,C_{2},\ldots,C_{n-1},Y,U_{Y},Y_{x})$ é um caminho desbloqueado de $X$ a $Y_{x}$ no grafo potencial.

A seguir, considere que $C_{n-1}\rightarrow Y$. Tome $m=\max(\{1\}\cup\{i:C_{i}\text{ é colisor}\})$. Assim, $C_{m}\leftarrow C_{m+1}\ldots C_{n-1}\rightarrow Y$. Pelo diagrama acima, existe $p>m$ tal que $C_{p-1}\leftarrow C_{p}\rightarrow C_{p+1}$. Defina $C^{*}=(X_{x},(C_{2})_{x},\ldots,(C_{n-1})_{x},Y_{x})$. Não há colisor em $C_{p-1}\leftarrow C_{p}\leftarrow U_{C_{p}}\rightarrow C^{*}_{p}$. Também, como não há colisor em $(C_{p},C_{p+1},\ldots,Y)$, decorre da Definição 4.5 que não há colisor em $(C^{*}_{p},C^{*}_{p+1},\ldots Y)$. Portanto, não há colisor em $(C_{p},U_{C_{p}},C^{*}_{p},C^{*}_{p+1},\ldots Y)$. Defina

Como $C$ está bloqueado dado ${\mathbf{Z}}$, para todo $i\leq p$, $C_{i}\in{\mathbf{Z}}$ se e somente se $C_{i}$ é um colisor em $C$. Além disso, para todo $i>p$, $C^{+}_{i}$ não é colisor e $C^{+}_{i}$ não está em ${\mathbf{Z}}$, pois é um resultado potencial ou uma variável em $U$. Assim $C^{+}_{i}$ não está bloqueado dado ${\mathbf{Z}}$ e é um caminho de $X$ a $Y_{x}$. ∎