Apêndice 6.B Seção 2.5 (Modelo Causal (Causal Model))

Realizaremos a demonstração por indução. Para tal, defina ${\mathcal{V}}^{(1)}=\{V\in{\mathcal{V}}:Pa(V)=\emptyset\}$, e para cada $i>2$, ${\mathcal{V}}^{(i)}=\{V\in{\mathcal{V}}:Pa(V)\subseteq{\mathcal{V}}^{(i-1)}\}$.

Se $Y\in{\mathcal{V}}^{(1)}$, então por construção ${\mathbb{E}}[Y]=\mu_{Y}$. Também, como $Pa(Y)=\emptyset$, $\mathbb{C}_{V,Y}=\emptyset$, para todo $V\neq Y$, e $\mathbb{C}_{Y,Y}$ tem apenas o caminho unitário, $C^{*}=(Y)$. Assim,

A seguir, suponha que para todo $W\in{\mathcal{V}}^{(i-1)}$, ${\mathbb{E}}[W]=\sum_{V\in\mathbb{{\mathcal{V}}}}\sum_{C\in\mathbb{C}_{V,W}}\mu_{V}\cdot\prod_{i=1}^{|C|-1}\beta_{C_{i+1},C_{i}}$ e tome $Y\in{\mathcal{V}}^{(i)}$. Como todo caminho direcionado que chega em $Y$ a partir de $V\neq Y$ tem como penúltimo elemento um pai de $Y$, podemos escrever

Portanto, obtemos:

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