Apêndice 6.C Seção 3 (Independência Condicional e D-separação)

A prova consistirá em demonstrar que, para cada $i$, a afirmação $i$ decorre da afirmação $i-1$. Finalmente, a afirmação $1$ decorre da afirmação $4$. Os símbolos ${\mathbf{X}}$ e ${\mathbf{x}}$ referem-se a $({\mathbf{X}}_{1},\ldots,{\mathbf{X}}_{d})$ e $({\mathbf{x}}_{1},\ldots,{\mathbf{x}}_{d})$.

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  $(1\Longrightarrow 2)$

  	$\displaystyle f({\mathbf{x}}|{\mathbf{y}})$	$\displaystyle=\prod_{j=1}^{d}{f({\mathbf{x}}_{j}|{\mathbf{y}})}$	$\displaystyle(1)$
  		$\displaystyle=\prod_{j=1}^{d}{h({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})}$	$\displaystyle h({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})=f({\mathbf{x}}_{j}|{\mathbf{y}})$

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  $(2\Longrightarrow 3)$ Note que,

  	$\displaystyle f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{x}}_{-i},{\mathbf{y}})$	$\displaystyle=\frac{f({\mathbf{x}}|{\mathbf{y}})}{f({\mathbf{x}}_{1},\ldots,{\mathbf{x}}_{i-1},{\mathbf{x}}_{i+1},\ldots{\mathbf{x}}_{d}|{\mathbf{y}})}$
  		$\displaystyle=\frac{f({\mathbf{x}}|{\mathbf{y}})}{\int_{\mathbb{R}}{f({\mathbf{x}}|{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{i}}}$
  		$\displaystyle=\frac{\prod_{j=1}^{d}{h_{j}({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})}}{\int_{\mathbb{R}}{\prod_{j=1}^{d}{h_{j}({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})}d{\mathbf{x}}_{i}}}(2)$
  		$\displaystyle=\frac{\prod_{j=1}^{d}{h_{j}({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})}}{\prod_{j\neq i}{h_{j}({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})}\int_{\mathbb{R}}{h_{i}({\mathbf{x}}_{i},{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{i}}}$
  		$\displaystyle=\frac{\tilde{h}_{i}({\mathbf{x}}_{i},{\mathbf{y}})}{\int_{\mathbb{R}}{h_{i}({\mathbf{x}}_{i},{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{i}}}$
  		$\displaystyle=\frac{\prod_{j\neq i}{\int_{\mathbb{R}}{h_{j}({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{j}}}}{\prod_{j\neq i}{\int_{\mathbb{R}}{h_{j}({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{j}}}}\cdot\frac{h_{i}({\mathbf{x}}_{i},{\mathbf{y}})}{\int_{\mathbb{R}}{h_{i}({\mathbf{x}}_{i},{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{i}}}$
  		$\displaystyle=\frac{\int_{\mathbb{R}^{d-1}}{\prod_{j=1}^{d}{h_{j}({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})}d{\mathbf{x}}_{-i}}}{\int_{\mathbb{R}^{d}}{\prod_{j=1}^{d}{h_{j}({\mathbf{x}}_{j},{\mathbf{y}})}d{\mathbf{x}}}}$
  		$\displaystyle=\frac{\int_{\mathbb{R}^{d-1}}{f({\mathbf{x}}|{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{-i}}}{\int_{\mathbb{R}^{d}}{f({\mathbf{x}}|{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}}}$	$\displaystyle(2)$
  		$\displaystyle=f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{y}})$

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  $(3\Longrightarrow 4)$

  	$\displaystyle f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{x}}_{1}^{i-1},{\mathbf{y}})$	$\displaystyle=\frac{f({\mathbf{x}}_{1}^{i}|{\mathbf{y}})}{f({\mathbf{x}}_{1}^{i-1}|{\mathbf{y}})}$
  		$\displaystyle=\frac{\int_{\mathbb{R}^{d-i}}{f({\mathbf{x}}|{\mathbf{y}})}d{\mathbf{x}}_{i+1}^{d}}{f({\mathbf{x}}_{1}^{i-1}|{\mathbf{y}})}$
  		$\displaystyle=\frac{\int_{\mathbb{R}^{d-i}}{f({\mathbf{x}}_{-i}|{\mathbf{y}})f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{x}}_{-i},{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{i+1}^{d}}}{f({\mathbf{x}}_{1}^{i-1}|{\mathbf{y}})}$
  		$\displaystyle=\frac{f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{y}})\int_{\mathbb{R}^{d-i}}{f({\mathbf{x}}_{-i}|{\mathbf{y}})d{\mathbf{x}}_{i+1}^{d}}}{f({\mathbf{x}}_{1}^{i-1}|{\mathbf{y}})}$	$\displaystyle(3)$
  		$\displaystyle=\frac{f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{y}})f({\mathbf{x}}_{1}^{i-1}|{\mathbf{y}})}{f({\mathbf{x}}_{1}^{i-1}|{\mathbf{y}})}$
  		$\displaystyle=f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{y}})$

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  $(4\Longrightarrow 1)$

  	$\displaystyle f({\mathbf{x}}|{\mathbf{y}})$	$\displaystyle=\prod_{i=1}^{d}{f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{x}}_{1}^{i-1},{\mathbf{y}})}$
  		$\displaystyle=\prod_{i=1}^{d}{f({\mathbf{x}}_{i}|{\mathbf{y}})}$	$\displaystyle(4)$

∎

Defina ${\mathbb{V}}^{*}_{1}=\{V\in{\mathcal{A}}:V\in{\mathbb{V}}_{1}\text{ ou }V_{1}\rightarrow V,\text{ para algum }V_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}\}$ e ${\mathbb{V}}^{*}_{2}={\mathcal{A}}-{\mathbb{V}}^{*}_{1}$. Como ${\mathbb{V}}_{1}\perp{\mathbb{V}}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$, decorre de Definição 2.48 que não existe $V_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}$ e $V_{2}\in{\mathbb{V}}_{2}$ tal que $V_{1}\rightarrow V_{2}$. Portanto,

A seguir, demonstraremos que

Tome $V^{*}_{1}\in{\mathbb{V}}^{*}_{1}$. Como $V^{*}_{1}\in{\mathcal{A}}$ e ${\mathcal{A}}$ é ancestral, decorre da Definição 2.9 que $Pa(V^{*}_{1})\subseteq{\mathcal{A}}$. Assim, basta demonstrar que $Pa(V^{*}_{1})\cap{\mathbb{V}}_{2}=\emptyset$. Se $V^{*}_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}$, então decorre de Definição 2.48 que não existe $V_{2}\in{\mathbb{V}}_{2}$ tal que $V_{2}\rightarrow V^{*}_{1}$. Caso contrário, se $V^{*}_{1}\in{\mathbb{V}}_{3}$, então existe $V_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}$ tal que $V_{1}\rightarrow V^{*}_{1}$. Decorre de Definição 2.48 que não existe $V_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}$, $V_{2}\in{\mathbb{V}}_{2}$ e $V_{3}\in{\mathbb{V}}_{3}$ tais que $V_{3}$ é um colisor entre $V_{1}$ e $V_{2}$, isto é, $V_{1}\rightarrow V_{3}\leftarrow V_{2}$. Portanto, não existe $V_{2}\in{\mathbb{V}}_{2}$ tal que $V_{2}\rightarrow V^{*}_{1}$. Conclua que $Pa(V^{*}_{1})\subseteq{\mathbb{V}}_{1}\cup{\mathbb{V}}_{3}$.

A seguir, note que pela definição de ${\mathbb{V}}^{*}_{1}$, se $V\in{\mathcal{A}}$ é tal que existe $V_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}$ com $V_{1}\rightarrow V$, então $V\in{\mathbb{V}}^{*}_{1}$. Portanto, como ${\mathbb{V}}^{*}_{2}={\mathcal{V}}-{\mathbb{V}}^{*}_{1}$, para todo $V^{*}_{2}\in{\mathbb{V}}^{*}_{2}$, não existe $V_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}$ tal que $V_{1}\rightarrow V^{*}_{2}$. Isto é, $Pa(V^{*}_{2})\subseteq{\mathcal{V}}-{\mathbb{V}}_{1}$. Como $V^{*}_{2}\in{\mathcal{A}}$ e ${\mathcal{A}}$ é ancestral, conclua da Definição 2.9 que $Pa(V^{*}_{2})\subseteq{\mathcal{A}}$. Combinando as duas últimas frases, $Pa(V^{*}_{2})\subseteq{\mathbb{V}}_{2}\cup{\mathbb{V}}_{3}$.

Decorre da conclusão dos dois últimos parágrafos que likning 9 está demonstrado.

Assim, decorre do Lema 2.45 que ${\mathbb{V}}_{1}\perp\!\!\!\!\perp^{f}{\mathbb{V}}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$. ∎

Defina ${\mathcal{A}}=Anc({\mathbb{V}}_{1}\cup{\mathbb{V}}_{2}\cup{\mathbb{V}}_{3})$, ${\mathbb{V}}^{*}_{1}=\{V\in{\mathcal{A}}:V\text{ não é d-separado de }{\mathbb{V}}_{1}|{\mathbb{V}}_{3}\}$, e ${\mathbb{V}}^{*}_{2}={\mathcal{A}}-{\mathbb{V}}^{*}_{1}$. Por definição,

O primeiro é provar que ${\mathbb{V}}^{*}_{1}\perp{\mathbb{V}}^{*}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$. Pela definição de ${\mathbb{V}}^{*}_{2}$, para todo $V_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}$ e $V^{*}_{2}\in{\mathbb{V}}^{*}_{2}$, $V_{1}\perp V^{*}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$, isto é,

Suponha por absurdo que existam $V^{*}_{1}\in{\mathbb{V}}^{*}_{1}$ e $V^{*}_{2}\in{\mathbb{V}}^{*}_{2}$ tais que $V^{*}_{1}$ e $V^{*}_{2}$ não são d-separados dado ${\mathbb{V}}_{3}$. Portanto, existe um caminho ativo dado ${\mathbb{V}}_{3}$, $(V^{*}_{1},C_{2},\ldots,C_{n-1},V^{*}_{2})$. Pela definição de ${\mathbb{V}}^{*}_{1}$, existe $V_{1}\in{\mathbb{V}}_{1}$ e um caminho ativo dado ${\mathbb{V}}_{3}$, $(V_{1},C^{*}_{2},\ldots,C^{*}_{m-1},V^{*}_{1})$. Assim, $(V_{1},C^{*}_{2},\ldots,C^{*}_{m-1},V^{*}_{1},C_{2},\ldots,C_{n-1},V^{*}_{2})$ é é um caminho ativo dado ${\mathbb{V}}_{3}$ de $V_{1}$ a $V^{*}_{2}$, uma contradição com likning 11. Conclua que ${\mathbb{V}}^{*}_{1}\perp{\mathbb{V}}^{*}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$.

A seguir, provaremos que ${\mathbb{V}}^{*}_{1}\perp\!\!\!\!\perp^{f}{\mathbb{V}}^{*}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$. Como ${\mathcal{A}}=Anc({\mathbb{V}}_{1}\cup{\mathbb{V}}_{2}\cup{\mathbb{V}}_{3})$, decorre do Lema 2.10 que ${\mathcal{A}}$ é ancestral. Portanto, como ${\mathcal{A}}={\mathbb{V}}^{*}_{1}\cup{\mathbb{V}}^{*}_{2}\cup{\mathbb{V}}_{3}$ e ${\mathbb{V}}^{*}_{1}\perp{\mathbb{V}}^{*}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$, decorre do Lema 6.1 que ${\mathbb{V}}^{*}_{1}\perp\!\!\!\!\perp^{f}{\mathbb{V}}^{*}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$.

Como ${\mathbb{V}}^{*}_{1}\perp\!\!\!\!\perp^{f}{\mathbb{V}}^{*}_{2}|{\mathbb{V}}_{3}$, a conclusão do lema decorre do fato de que ${\mathbb{V}}_{1}\subseteq{\mathbb{V}}^{*}_{1}$ e ${\mathbb{V}}_{2}\subseteq{\mathbb{V}}^{*}_{2}$. ∎

Decorre do Teorema 6.3. ∎

Decorre dos Lemas 6.2 e 6.4. ∎