Apêndice 6.F Seções 6 e 7 (Controlando mediadores (critério frontdoor))

Seja $f^{*}({\mathcal{V}})\equiv f({\mathcal{V}}|do({\mathbf{X}}={\mathbf{x}}))$. Decorre do Lema 3.2 que $f^{*}$ é compatível com ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}})$ e que ${\mathbf{X}}$ é degenerado em ${\mathbf{x}}$ segundo $f^{*}$. Assim,

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Seja $f^{*}({\mathcal{V}})\equiv f({\mathcal{V}}|do({\mathbf{X}}={\mathbf{x}}))$. Como $Y\perp^{d}{\mathbf{W}}|{\mathbf{Z}}\cup{\mathbf{X}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}},\underline{{\mathbf{W}}})$, não há nenhum caminho ativo em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}})$ de ${\mathbf{X}}$ em $Y$ que inicia com ${\mathbf{W}}\leftarrow$. Isto é, ${\mathbf{X}}\cup{\mathbf{Z}}$ satisfaz o segundo item do critério backdoor para medir o efeito causal de ${\mathbf{W}}$ em $Y$. Portanto,

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Seja $f^{*}({\mathcal{V}})\equiv f({\mathcal{V}}|do({\mathbf{W}}={\mathbf{w}}))$.

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Decorre dos Lemas 6.14, 6.15 e 6.16. ∎

Decorre do critério frontdoor Definição 3.43.3 que $X$ satisfaz o item 2 do critério backdoor para medir o efeito causal de ${\mathbf{W}}$ em $Y$. Portanto, pelo Lema 3.49, ${\mathbf{Y}}\perp^{d}{\mathbf{W}}|{\mathbf{X}}$ em ${\mathcal{G}}(\underline{{\mathbf{W}}})$. Pelo Exercício 2.56, ${\mathbf{Y}}\perp^{d}{\mathbf{W}}|{\mathbf{X}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}},\underline{{\mathbf{W}}})$. A prova se conclui aplicando o item 2 do Teorema 3.48. ∎

A prova consiste em aplicar o item 3 do Teorema 3.48. Para tal, desejamos provar que ${\mathbf{Y}}\perp^{d}I_{X}|{\mathbf{W}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{W}}},X^{+})$. Tome $C$ como um caminho arbitrário em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{W}}},X^{+})$ de $I_{{\mathbf{X}}}$ em $Y$.

Primeiramente, provaremos que $C$ não é um caminho direcionado. $C$ não é um caminho direcionado de $Y$ a $I_{X}$ pois a única aresta em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{W}}},X^{+})$ ligada a $I_{X}$ é $I_{X}\rightarrow X$. A seguir, suponha que $C$ é um caminho direcionado de $I_{X}$ a $Y$. Pelo Definição 3.43.2, existe $C_{i}$ tal que $C_{i}\in{\mathbf{W}}$. Como $C$ é direcionado de $I_{X}$ em $Y$, $C_{i-1}\rightarrow C_{i}$. Este é um absurdo, pois não há aresta apontando para ${\mathbf{W}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{W}}},X^{+})$. Portanto, $C$ não é um caminho direcionado.

Conclua que existe $C_{i}$ que é um colisor. Como não há arestas apontando para ${\mathbf{W}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{W}}},X^{+})$, não há $W\in{\mathbf{W}}$ que é descendente de $C_{i}$. Como $C_{i}$ é um colisor e $C_{i}$ não tem descendentes em ${\mathbf{W}}$, conclua que $C$ está bloqueado. Como $C$ era arbitrário, ${\mathbf{Y}}\perp^{d}I_{X}|{\mathbf{W}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{W}}},X^{+})$. ∎

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