Apêndice 6.D Relativas à Seção 4 (O modelo de probabilidade para intervenções)

Prova do Lema 3.2.

Decorre da Definição 3.1 que $f^{*}({\mathcal{V}})={\mathbb{I}}({\mathbf{X}}={\mathbf{x}})\prod_{V\notin{% \mathbf{X}}}f(V|Pa(V))$ . Definindo $g_{X_{i}}(X_{i})={\mathbb{I}}(X_{i}=x_{i})$ , para todo $X_{i}\in{\mathbf{X}}$ e $g_{V}(V,Pa(V))=f(v|Pa(V))$ , note que

\displaystyle f^{*}({\mathcal{V}})

\displaystyle=\prod_{X_{i}\in{\mathbf{X}}}g_{X_{i}}(X_{i})\prod_{V\notin{% \mathbf{X}}}g_{V}(V,Pa(V))

Portanto, decorre do Lema 2.14 que $f^{*}$ é compatível com um grafo em que todo $X_{i}\in{\mathbf{X}}$ não tem pais e todo $V\notin{\mathbf{X}}$ tem os mesmos pais que em ${\mathcal{G}}$ . Isto é, ${\mathcal{G}}$ é compatível com ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}})$ .

Além disso, tomando ${\mathbb{V}}={\mathcal{V}}-{\mathbf{X}}$ ,

	$\displaystyle f^{*}({\mathbf{X}})$	$\displaystyle=\int f^{*}(sV)d{\mathbb{V}}$
		$\displaystyle=\int{\mathbb{I}}({\mathbf{X}}={\mathbf{x}})\prod_{V\in{\mathbb{V% }}}f(V\|Pa(V))d{\mathbb{V}}$
		$\displaystyle={\mathbb{I}}({\mathbf{X}}={\mathbf{x}})\int\prod_{V\in{\mathbb{V% }}}f(V\|Pa(V))d{\mathbb{V}}$
		$\displaystyle={\mathbb{I}}({\mathbf{X}}={\mathbf{x}}).$

Portanto, ${\mathbf{X}}$ é degenerado em ${\mathbf{x}}$ segundo $f^{*}$ . ∎

6.D.1 Relativas ao Teorema 3.6

Lema 6.5.

Considere que $({\mathcal{G}},f)$ é um CM linear Gaussiano e que $f^{*}=f({\mathcal{V}}|do({\mathbf{X}}={\mathbf{x}}))$ . Se ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}})$ é como no Lema 3.2, então $({\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}}),f^{*})$ é um CM linear Gaussiano tal que, para todo $V\notin{\mathbf{X}}$ , ${\mathbb{E}}_{f}[V|Pa(V)]={\mathbb{E}}_{f^{*}}[V|Pa(V)]$ e ${\mathbb{E}}[{\mathbf{X}}]={\mathbf{x}}$ .

Demonstração.

Decorre do Lema 3.2 que $f^{*}$ é compatível com ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}})$ . Além disso, também decorre do Lema 3.2 que para todo $V\notin{\mathbf{X}}$ , $f(V|Pa(V))=f^{*}(V|Pa(V))$ . Portanto, ${\mathbb{E}}_{f}[V|Pa(V)]={\mathbb{E}}_{f^{*}}[V|Pa(V)]$ . Finalmente, segundo o Lema 3.2, ${\mathbf{X}}$ é degenerado em ${\mathbf{x}}$ . Assim, ${\mathbb{E}}[{\mathbf{X}}]={\mathbf{x}}$ . ∎

Prova do Teorema 3.6.

Defina $f^{*}_{x}=f({\mathcal{V}}|do(X=x))$ . Assim,

	$\displaystyle{ACE}_{X,Y}$	$\displaystyle=\frac{d{\mathbb{E}}[Y\|do(X=x)]}{dx}$
		$\displaystyle=\frac{d{\mathbb{E}}_{f^{*}_{x}}[Y]}{dx}$		(12)

Além disso, decorre do Lema 6.5 que $f^{*}$ é um CM linear Gaussiano no grafo ${\mathcal{G}}(\bar{X})$ .

Como $X$ não tem pais no grafo ${\mathcal{G}}(\bar{X})$ , os únicos caminhos direcionados de $X$ a $Y$ que passam por $X$ são aqueles que se iniciam em $X$ . Formalmente, defina $\mathbb{C}$ como o conjunto de todos os caminhos direcionados em ${\mathcal{G}}$ . Além disso, $\mathbb{C}_{X}=\{C\in\mathbb{C}:C_{i}=X\text{, para algum }i\}$ . Obtemos

\displaystyle\cup_{V\in{\mathcal{V}}}\mathbb{C}_{V,Y}\cap\mathbb{C}_{X}

\displaystyle=\mathbb{C}_{X,Y}.

(13)

Portanto,

$\displaystyle{ACE}_{X,Y}$	$\displaystyle=\frac{d{\mathbb{E}}_{f^{*}_{x}}[Y]}{dx}$
	$\displaystyle=\frac{d\sum_{V\in\mathbb{{\mathcal{V}}}}\sum_{C\in\mathbb{C}_{V,% Y}}\mu_{V}\cdot\prod_{i=1}^{\|C\|-1}\beta_{C_{i+1},C_{i}}}{dx}$	Lemas 2.27 e 6.5
	$\displaystyle=\frac{d\sum_{C\in\mathbb{C}_{X,Y}}\mu_{X}\cdot\prod_{i=1}^{\|C\|-1% }\beta_{C_{i+1},C_{i}}}{dx}$
	$\displaystyle=\frac{d\sum_{C\in\mathbb{C}_{X,Y}}x\cdot\prod_{i=1}^{\|C\|-1}\beta% _{C_{i+1},C_{i}}}{dx}$
	$\displaystyle=\sum_{C\in\mathbb{C}_{X,Y}}\prod_{i=1}^{\|C\|-1}\beta_{C_{i+1},C_{% i}}$

∎

$\displaystyle{ACE}_{X,Y}$	$\displaystyle=\frac{d{\mathbb{E}}_{f^{*}_{x}}[Y]}{dx}$
	$\displaystyle=\frac{d\sum_{V\in\mathbb{{\mathcal{V}}}}\sum_{C\in\mathbb{C}_{V,% Y}}\mu_{V}\cdot\prod_{i=1}^{\|C\|-1}\beta_{C_{i+1},C_{i}}}{dx}$	Lemas 2.27 e 6.5
	$\displaystyle=\frac{d\sum_{C\in\mathbb{C}_{X,Y}}\mu_{X}\cdot\prod_{i=1}^{\|C\|-1% }\beta_{C_{i+1},C_{i}}}{dx}$
	$\displaystyle=\frac{d\sum_{C\in\mathbb{C}_{X,Y}}x\cdot\prod_{i=1}^{\|C\|-1}\beta% _{C_{i+1},C_{i}}}{dx}$
	$\displaystyle=\sum_{C\in\mathbb{C}_{X,Y}}\prod_{i=1}^{\|C\|-1}\beta_{C_{i+1},C_{% i}}$