1.1 Números reais

O conjunto dos números reais, $\mathbb{R}$ , pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: $x,y,s,t,u$ , etc. $\mathbb{R}$ é munido de quatro operações aritméticas básicas: adição ( $+$ ), subtração ( $-$ ), multiplicação ( $\times$ ou $\cdot$ ) e divisão ( $\div$ , ou simplesmente $/$ ).

Lembremos a importância de dois números com papel relevante com respeito à adição e multiplicação. Primeiro, o elemento $0$ (“zero”) é tal que $x+0=0+x=x$ , $x\cdot 0=0\cdot x=0$ para todo $x$ . Um real $x$ diferente de zero será às vezes chamado de não-nulo.

Por outro lado, o elemento $1$ (“um”) é tal que $x\cdot 1=1\cdot x=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . É importante lembrar que a divisão por zero não é definida. Portanto, símbolos do tipo $x/0$ ou $0/0$ não fazem sentido. No entanto, $0/x=0$ para todo $x\neq 0$ .

Os subconjuntos de $\mathbb{R}$ serão em geral denotados usando letras maiúsculas. Por exemplo, $A=\{0,1,2\}$ é o conjunto que contém os três números reais $0,1$ e $2$ , e $B=(0,2)$ é o intervalo aberto que contém todos os reais entre $0$ e $2$ (ver abaixo). O conjunto dos números naturais é ¹¹ 1 Ao longo da apostila, o símbolo “ ${:=}$ ” será usado para definir um objeto. Por exemplo, $A{:=}\{x\in\mathbb{R}:x^{2}>1\}$ significa que $A$ é definido como o conjunto dos números reais cujo quadrado é maior que $1$ .

\mathbb{N}{:=}\{1,2,3,\dots\}\,,

e o conjunto dos inteiros é

\mathbb{Z}{:=}\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}\,.

As operações entre conjuntos são: interseção ( $\cap$ ), união ( $\cup$ ), diferença ( $\setminus$ ). O conjunto vazio será denotado por $\varnothing$ .

1.1.1 Equações do primeiro e segundo grau

Considere a equação do primeiro grau:

1+4x=-7\,.

(1.1)

Resolver essa equação significa achar o(s) valor(es) da variável $x$ para os quais a igualdade em (1.1) é verdadeira. Esse conjunto de valores será denotado por $S$ e chamado conjunto de soluções. A resolução é bem conhecida: isolando $x$ obtemos uma única solução $x=-2$ . Portanto, o conjunto das soluções de (1.1) é $S=\{-2\}$ .

Considere em seguida a equação do segundo grau:

x^{2}=9\,.

(1.2)

Aqui, sabemos que existem duas soluções, $x=\pm\sqrt{9}=\pm 3$ , logo $S=\{+3,-3\}$ .

Agora, já que um número negativo não possui raiz quadrada, a equação

x^{2}=-4

não possui nenhuma solução real: $S=\varnothing$ . Finalmente,

x^{2}=0

possui uma única solução: $S=\{0\}$ .

Um outro jeito de entender (1.2) é de escrevê-la $x^{2}-9=0$ e de fatorar o polinômio $x^{2}-9$ , obtendo um produto de dois fatores:

(x-3)(x+3)=0\,.

Para o produto de dois fatores (aqui, $x-3$ e $x+3$ ) ser zero, é necessário que pelo menos um deles seja nulo. Se for o primeiro, $x-3=0$ , então $x=3$ . Se for o segundo, $x+3=0$ , logo $x=-3$ . De modo geral, para $x$ ser solução de uma equação da forma

(x-\alpha)(x-\beta)=0\,,

(1.3)

pelo menos um dos fatores, $(x-\alpha)$ ou $(x-\beta)$ , deve ser igual a zero, o que implica $x=\alpha$ ou $x=\beta$ . Portanto, o conjunto das soluções de (1.3) é dado por $S=\{\alpha,\beta\}$ .

Olhemos agora para a equação do segundo grau da forma geral

ax^{2}+bx+c=0\,.

(1.4)

Se $a=0$ , essa equação é do primeiro grau,

bx+c=0\,,

e a sua única solução é dada por $x=-\frac{c}{b}$ (supondo $b\neq 0$ ). Isto é, $S=\{-\frac{c}{b}\}$ . Por outro lado, se $a\neq 0$ , então dividindo (1.4) por $a$ , e completando o quadrado obtemos:

\displaystyle 0=x^{2}+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}

\displaystyle=(x+\tfrac{b}{2a})^{2}-(\tfrac{b}{2a})^{2}+\tfrac{c}{a}\,.

Portanto,

(x+\tfrac{b}{2a})^{2}=(\tfrac{b}{2a})^{2}-\tfrac{c}{a}=\tfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2% }}\,.

Defina $\Delta{:=}b^{2}-4ac$ . Se $\Delta<0$ , não tem soluções: $S=\varnothing$ . Se $\Delta\geq 0$ , podemos tomar a raiz quadrada em ambos lados dessa última expressão, e obter

x+\tfrac{b}{2a}=\pm\tfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\,.

Isto é,

x=\tfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\,.

(1.5)

Resumindo: quando $a\neq 0$ , o conjunto das soluções de (1.4) é dado por

S=\begin{cases}\varnothing&\text{ se }\Delta<0\,\text{(zero solu\c{c}\~{o}es)}% \\ \{\tfrac{-b}{2a}\}&\text{ se }\Delta=0\,\text{(uma solu\c{c}\~{a}o)}\\ \{\tfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\}&\text{ se }\Delta>0\,\text{(duas solu\c{c}% \~{o}es)}\,.\end{cases}

Exercício 1.1.

Resolva as seguintes equações.

1.

$1-x=1$
2.

$x^{2}=1$
3.

$\frac{1}{x}=x+1$
4.

$(x+1)(x-7)=0$
5.

$x=x$
6.

$x=x^{2}$
7.

$1=0$
8.

$6x^{3}-1=3x(1+2x^{2})$
9.

$(x+6)(x+1)=1$

Exercício 1.2.

Mostre que se $\gamma$ e $\beta$ forem dois números positivos satisfazendo

2\gamma-\frac{\gamma^{2}}{2}+\frac{\beta^{2}}{2}=2\,,

então ou $\gamma+\beta=2$ , ou $\gamma-\beta=2$ .

Exercício 1.3.

Existe um triângulo retângulo de área $7$ e de perímetro $12$ ?

1.1.2 Ordem e intervalos

Existe em $\mathbb{R}$ uma relação de ordem: dois reais $x,y$ podem ser comparados usando os seguintes símbolos:

•

$x=y$ : “ $x$ é igual a $y$ ”,
•

$x\neq y$ : “ $x$ é diferente de $y$ ”,
•

$x\geq y$ : “ $x$ é maior ou igual a $y$ ”,
•

$x>y$ : “ $x$ é estritamente maior que $y$ ”,
•

$x\leq y$ : “ $x$ é menor ou igual a $y$ ”,
•

$x<y$ : “ $x$ é estritamente menor que $y$ ”.

A ordem permite definir subconjuntos elementares de $\mathbb{R}$ . Por exemplo, os reais não-negativos $\mathbb{R}_{+}$ são definidos por

\mathbb{R}_{+}{:=}\{x\in\mathbb{R}:x\geq 0\}\,,

(leia-se: “o conjunto dos números reais $x\in\mathbb{R}$ tais que $x$ seja $\geq 0$ ) e os reais positivos por

\mathbb{R}_{+}^{*}{:=}\{x\in\mathbb{R}:x>0\}\,.

Podem também ser definidos conjuntos particulares chamados intervalos. Começaremos com os intervalos limitados. Se $a<b$ são dois números reais, o intervalo fechado é definido como

[a,b]{:=}\{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\}\,.

Leia-se: “ $[a,b]$ é definido como o conjunto dos números reais $x$ tais que $x$ seja maior ou igual a $a$ , e menor ou igual a $b$ ”. O intervalo aberto é definido como

(a,b){:=}\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}\,.

Observe que $(a,b)$ pode ser considerado como obtido a partir de $[a,b]$ retirando as extremidades: $(a,b)=[a,b]\backslash\{a,b\}$ . Definam-se também os intervalos semi-abertos (ou semi-fechados)

[a,b){:=}\{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\}\,,\quad(a,b]{:=}\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b% \}\,.

Graficamente, representaremos esses intervalos da seguinte maneira:

Introduziremos também intervalos não-limitados: os semi-infinitos fechados

(-\infty,a]{:=}\{x\in\mathbb{R}:x\leq a\}\,,\quad[c,+\infty){:=}\{x\in\mathbb{% R}:x\geq c\}\,,

e os semi-infinitos abertos

(-\infty,a){:=}\{x\in\mathbb{R}:x<a\}\,,\quad(c,+\infty){:=}\{x\in\mathbb{R}:x% >c\}\,.

Por exemplo,

Observe que “ $+\infty$ ” e “ $-\infty$ ” não são números reais propriamente ditos, $+\infty$ (respectivamente $-\infty$ ) é somente um símbolo usado para representar a idéia (meio abstrata) de um número maior (respectivamente menor) do que qualquer real $x$ .

Exercício 1.4.

Simplifique as expressões, usando as notações introduzidas acima.

1.

$A=\{x\in\mathbb{R}:x^{2}\leq 4\}$
2.

$B=\{x:x\geq 0\}\cap\{x:x<1\}$
3.

$C=\{x:x\leq 1\}\cap\{x:x<0\}$
4.

$D=\{x:x\geq 1\}\cap\{x:x\leq-1\}$
5.

$E=\{x:x\leq 2\}\cup[0,+\infty)$
6.

$F=[1,2]\cap(-\infty,1]$
7.

$G=[0,1]\cap[0,\tfrac{1}{2}]\cap[0,\tfrac{1}{3}]\cap[0,\tfrac{1}{4}]\cap\dots$
8.

$H=[0,1]\cup[1,2]\cup[2,3]\cup[3,4]\cup\dots$

1.1.3 Inequações e sinal

Considere a inequação do primeiro grau:

2-2x\geq 1\,.

(1.6)

Como antes, “resolver” essa inequação significa achar todos os valores de $x$ para os quais a expressão em (1.6) se torne verdadeira. Por exemplo, $x=0$ é solução, pois o lado esquerdo vale $2-2\cdot 0=2$ , que é $\geq 1$ . Mas em geral uma inequação pode possuir mais de uma solução, às vezes possui infinitas soluções. O conjunto de todas as soluções, também denotado por $S$ , pode ser calculado da seguinte maneira. Primeiro, o conjunto $S$ das soluções não é modificado ao adicionarmos (ou subtrairmos) expressões iguais em ambos lados de uma inequação. Assim, adicionando $2x$ em cada lado de (1.6), obtemos

2\geq 1+2x\,.

Podemos em seguida subtrair $1$ em ambos lados:

1\geq 2x\,.

Agora, o conjunto $S$ das soluções não é modificado ao multiplicarmos (ou dividirmos) ambos lados de uma inequação por um número positivo. Assim, dividindo ambos lados da inequação $1\geq 2x$ por $2$ obtemos $\tfrac{1}{2}\geq x$ , isto é $x\leq\tfrac{1}{2}$ . Assim, qualquer real $x$ menor ou igual a $\tfrac{1}{2}$ torna a desigualdade em (1.6) verdadeira. Logo, $S=(-\infty,\tfrac{1}{2}]$ .

Observe que (1.6) pode também ser resolvida subtraindo $2$ em ambos lados,

-2x\geq-1\,.

(1.7)

Passando $-2x$ para o lado direito e $-1$ para o lado esquerdo obtemos $1\geq 2x$ , o que equivale a

2x\leq 1\,.

(1.8)

Vemos que (1.8) é obtida a partir de (1.7) trocando os sinais (i.é. multiplicando ambos lados por $-1$ ), e trocando o sentido da desigualdade.

Exemplo 1.1.

Resolvamos agora uma inequação do segundo grau:

x^{2}-3x+2>0\,.

(1.9)

Primeiro, o polinômio do lado esquerdo da desigualdade em (1.9) pode ser fatorado: $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ . Assim, (1.9) é equivalente a

(x-1)(x-2)>0\,.

(1.10)

Observe agora que para o produto de dois números ser $>0$ , eles têm que ser ambos não-nulos e ter o mesmo sinal. Portanto, a resolução de (1.10) passa pelo estudo do sinal de $x-1$ e $x-2$ . Isso pode ser feito como em (1.6). Por um lado, $x-1<0$ se $x<1$ , $x-1=0$ se $x=1$ , e $x-1>0$ se $x>1$ . Por outro lado, $x-2<0$ se $x<2$ , $x-2=0$ se $x=2$ , e $x-2>0$ se $x>2$ . Isso pode ser resumido nas duas primeiras linhas da seguinte tabela:

A terceira linha foi obtida multiplicando os sinais de $x-1$ e $x-2$ : $(x-1)(x-2)>0$ se $x<1$ , $(x-1)(x-2)=0$ se $x=1$ , $(x-1)(x-2)<0$ se $1<x<2$ , $(x-1)(x-2)=0$ se $x=2$ , e $(x-1)(x-2)>0$ se $x>2$ . Assim, $S=(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$ dá todas as soluções de (1.9).

Exercício 1.5.

Resolva as seguintes inequações.

1.

$x>4-5$
2.

$3x\leq x+1$
3.

$-8x<3-4x$
4.

$10>10-x$
5.

$x^{2}\geq 1$
6.

$-x^{2}>1+2x$
7.

$x>x$
8.

$x\geq x$
9.

$x\leq x^{2}$
10.

$-2x^{2}+10x-12<0$
11.

$x^{2}(x+7)\leq 0$
12.

$x^{3}-2x^{2}-x+2>0$
13.

$x^{2}-x(x+3)\leq 0$
14.

$x\leq\frac{x+3}{x-1}$
15.

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\geq 0$
16.

$\frac{1}{x}+\frac{2}{2-x}<1$
17.

$\frac{1-x}{2+x}\leq-\frac{2}{3x-4}$

Exercício 1.6.

Quantos números inteiros $n$ existem tais que $3n-1\leq 5n-2<4$ ?

Exercício 1.7.

Quantos números primos $p$ existem tais que $0\leq 2p-3\leq p+8$ ?

1.1.4 Valor absoluto

Informalmente, o valor absoluto de um número real $x$ , denotado por $|x|$ , representa o seu “valor equivalente positivo”. Por exemplo, $|5|=5$ , $|-3|=3$ , e $|0|=0$ . Formalmente,

\boxed{|x|{:=}\begin{cases}x&\text{ se }x>0\\ 0&\text{ se }x=0\\ -x&\text{ se }x<0\,.\end{cases}}

(1.11)

Por exemplo, com essa definição, já que $-3<0$ , temos $|-3|=-(-3)=3$ . Observe que para qualquer número $a\geq 0$ ,

|x|\leq a\Longleftrightarrow-a\leq x\leq a\,.

(1.12)

De fato, suponha primeiro que $x\geq 0$ . Entao $|x|=x$ , e $|x|\leq a$ é equivalente a $x\leq a$ . Por outro lado, se $x\leq 0$ , então $|x|=-x$ , e $|x|\leq a$ é equivalente a $-x\leq a$ , isto é a $-a\leq x$ . Juntando os dois casos, isso mostra que $|x|\leq a$ é equivalente a $-a\leq x\leq a$ .

Exercício 1.8.

Quais das expressões abaixo são verdadeiras (para qualquer $x$ )? Justifique.

\sqrt{x^{2}}=x\,,\quad\sqrt{x}^{2}=x\,,\quad\sqrt{x^{2}}=|x|\,.

O valor absoluto para definir a distância entre dois números reais:

De fato, se $x\leq y$ , a distância é igual a $y-x=-(x-y)\equiv|x-y|$ , e se $x>y$ a distância é $x-y\equiv|x-y|$ .

Podemos também resolver inequações que envolvem valores absolutos:

Exemplo 1.2.

Resolvamos

|x-2|\geq 3\,.

(1.13)

Sabemos que pela definição do valor absoluto,

|x-2|=\begin{cases}x-2&\text{ se }x\geq 2\,,\\ -x+2&\text{ se }x<2\,,\end{cases}

Logo, a resolução de (1.13) passa pela resolução de duas inequações mais simples. A primeira é

x-2\geq 3\,,\text{ isto \'{e} }x\geq 5\,,

e deve ser considerada somente para os $x$ tais que $x\geq 2$ . Isso dá um primeiro conjunto de soluções: $S_{1}=[5,+\infty)$ (os reais que são ao mesmo tempo maiores ou iguais a $5$ e maiores ou iguais a $2$ ). A segunda é

-x+2\geq 3\,,\text{ isto \'{e} }x\leq-1\,,

e deve ser considerada somente para os $x$ tais que $x\leq 2$ , o que dá um segundo conjunto de soluções $S_{2}=(-\infty,-1]$ . Assim, o conjunto de todas as soluções de (1.13) é dado por $S=S_{1}\cup S_{2}$ : $S=(-\infty,-1]\cup[5,+\infty)$ .

Um jeito mais geométrico (mas equivalente) de resolver o problema é de escrever (1.13) como: $d(x,2)\geq 3$ . Assim, podemos interpretar as soluções de (1.13) como sendo os reais $x$ cuja distância ao ponto $2$ é maior ou igual a $3$ , que são todos os reais a esquerda de $-1$ ou a direita de $5$ : $S=(-\infty,-1]\cup[5,+\infty)$ .

Exercício 1.9.

Resolva as seguintes inequações.

1.

$|x+27|\geq 0$
2.

$|x-2|<0$
3.

$|2x+3|>0$
4.

$3<|3-x|$
5.

$2x-3|x|-4\geq 0$
6.

$|x^{2}-1|\leq 1$
7.

$\frac{x}{|x-2|}>2$ .

Estudar o sinal de uma expressão que depende de uma variável $x$ significa determinar os valores de $x$ para os quais a expressão é positiva, negativa, ou nula.

Exemplo 1.3.

Estudemos o sinal da expressão $x^{3}+3x^{2}$ . Como $x^{3}+3x^{2}=x^{2}(x+3)$ , o sinal da expressão inteira é obtido a partir dos sinais das partes $x^{2}$ e $x+3$ .

Assim vemos que $x^{3}+3x^{2}$ é $>0$ (estritamente positiva) se $x\in(-3,0)\cup(0,\infty)$ , ela é $<0$ (estritamente negativa) se $x<0$ , e é $=0$ (nula) se $x\in\{-3,0\}$ .

Mais tarde resolveremos inequações onde aparecem, e estudaremos o sinal de outras expressões, como funções trigonométricas, raízes ou logaritmos.

Exercício 1.10.

Estude o sinal das seguintes expressões

1.

$5+x$
2.

$5+x^{2}$
3.

$(x-5)^{2}$
4.

$x^{2}-5$
5.

$\frac{x^{2}+2x-48}{2-x}$
6.

$(x+1)|2x-1-x^{2}|$