1.3 Trigonometria

Para começar, é importante escolher uma unidade (como “metros” para comprimentos, ou “litros” para volumes) para medir um ângulo determinado pela abertura entre duas retas. Descreveremos as duas unidades mais usadas, graus e radianos.

Os ângulos serão medidos a partir de uma reta horizontal, em sentido antihorário. A abertura mínima, naturalmente, é definida como valendo zero, qualquer que seja a unidade. O que precisa ser definido é o valor do ângulo total. Se o ângulo for medido em graus, esse ângulo total é definido como valendo $360$ graus:

Uma vez que o ângulo total foi fixado, a medição dos outros se faz proporcionalmente: a metade do ângulo total vale $180$ graus, o ângulo reto mede $90$ graus, etc. A vantagem dessa unidade é que vários ângulos bastante usados em geometria tomam valores inteiros: $30$, $60$, $90$, $180$, $270$, etc.

Observe que apesar da posição do ângulo total coincidir com o ângulo nulo, eles devem ser considerados como distintos.

Fixar o ângulo total como sendo igual a $360$ pode parecer arbitrário, e um jeito mais natural de definir o ângulo total é de usar a noção de comprimento usual na reta. De fato, considere o círculo de raio $1$ centrado na origem e, partindo do ponto $(1,0)$ (que corresponde a um ângulo de $0$), ande ao longo do círculo no sentido antihorário. Quando tiver percorrido uma distância igual ao raio do círculo, o ângulo correspondente é definido como sendo de $1$ (um) radiano:

Observe que o ângulo total corresponde à circunferência de um círculo de raio $1$: $2\pi$.

Em geral, nessa apostila, os ângulos serão medidos em radianos. Se a medida de um ângulo em graus é $\alpha_{g}$ e em radianos é $\alpha_{r}$, a conversão se faz da seguinte maneira: como o ângulo total mede $360$ graus e $2\pi$ radianos, temos $\frac{360}{2\pi}=\frac{\alpha_{g}}{\alpha_{r}}$. Portanto,

Assim, verifica-se por exemplo que um ângulo de $90$ graus corresponde a $\frac{\pi}{180}90=\tfrac{\pi}{2}=1.57...$ radianos.

Um ângulo negativo será interpretado como medido no sentido horário:

Para poder definir as ligações entre os ângulos e os lados de um triângulo, é necessário fazer umas simplificações. Trabalharemos com um triângulo retângulo, isto é, que possui um ângulo reto. Considere então o seguinte triângulo $ABC$, retângulo em $C$:

Com respeito a $\alpha$, $b$ é chamado de cateto adjacente, $a$ de cateto oposto, e $c$ de hipotenusa.

Se dois lados forem conhecidos, o terceiro pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, e o valor do ângulo $\alpha$ é determinado. Como qualquer triângulo semelhante a $ABC$ tem os mesmos ângulos, $\alpha$ é determinado uma vez que um dos quocientes $\tfrac{a}{c}$, $\tfrac{b}{c}$, ou $\tfrac{a}{b}$ for conhecido. A ligação entre $\alpha$ e esses quocientes é chamada respectivamente seno, cosseno e tangente de $\alpha$, e denotada por

(Aqui escreveremos a tangente $\tan\alpha$, mas às vezes se encontra também a notação $\mathrm{tg}\,\alpha$.) Observe que a seguinte relação sempre vale:

Em alguns casos simples, $\operatorname{sen}\alpha$, $\cos\alpha$ e $\tan\alpha$ podem ser calculados “manualmente”.

Faremos agora uma generalização, que permitirá enxergar melhor os três números $\operatorname{sen}\alpha$, $\cos\alpha$ e $\tan\alpha$, e que será também útil para considerá-las como funções de uma variável real, a partir do próximo capítulo.

Para tanto, usaremos um triângulo cuja hipotenusa é de tamanho $c=1$. Isto é, o ponto $B$ do triângulo da figura acima é posicionado no círculo de raio $1$ centrado na origem, chamado círculo trigonométrico. As funções trigonométricas podem então ser medidas efetivamente olhando para os comprimentos da seguinte figura:

Observe como $\operatorname{sen}\alpha$, $\cos\alpha$ e $\tan\alpha$ mudam à medida que $B$ se movimenta ao longo do círculo. Em particular, $B$ pode dar uma volta completa no círculo, o que permite estender as funções trigonométricas a qualquer ângulo ³³ 3 A tangente tem um problema nos múltiplos de $\tfrac{\pi}{2}$ (ver mais adiante). $0\leq\alpha\leq 2\pi$, e também para valores maiores ou até negativos. Os sinais das funções trigonométricas mudam dependendo do quadrante ao qual $B$ pertence:

Várias propriedades podem ser obtidas a partir do círculo trigonométrico. Por exemplo, observe que $\alpha$ e $-\alpha$ têm o mesmo cosseno, mas que ao transformar $\alpha$ em $-\alpha$, o seno muda de sinal. Portanto,

Todas as identidades do seguinte exercício podem ser obtidas de maneira parecida, olhando simplesmente para o círculo trigonométrico.

As identidades do Exercício 1.23 deram algumas ligações entre seno, cosseno e tangente. O Teorema de Pitágoras dá também a relação

Provaremos agora a identidade

Apesar desta valer para ângulos $\alpha$ e $\beta$ quaisquer, suporemos que $\alpha,\beta\in(0,\tfrac{\pi}{4})$, e usaremos o seguinte desenho:

Observe que $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)=d(A,C)=d(A,B)+d(B,C)$. Usando o ponto $E$ (projeção ortogonal de $A$ no segmento $OD$) e olhando para o triângulo $OEA$, temos $d(O,E)=\cos\beta$ e $d(A,E)=\operatorname{sen}\beta$. Observe também que o ângulo $BAE$ vale $\alpha$. Portanto, $d(A,B)=d(A,E)/\cos\alpha=\operatorname{sen}\beta/\cos\alpha$ e $d(B,E)=d(A,B)\operatorname{sen}\alpha$. Por outro lado, $d(B,C)=d(O,B)\operatorname{sen}\alpha$, mas como

temos

o que prova (1.25).