Capítulo 3 Exponencial e logaritmo

O objetivo nesse capítulo é definir e descrever as principais propriedades de uma das funções mais importantes da matemática, a exponencial de base $a$ , e da sua função inversa, o logaritmo na base $a$ ,

Os exemplos de uso dessas duas funções em ciências são inúmeros. Vejamos dois exemplos onde elas aparecem nos axiomas de uma teoria:

Exemplo 3.1.

Em física estatística, estudam-se sistemas em equilíbrio termodinâmico. Suponha que um sistema pode estar, no equilíbrio, em um dos $N$ microestados $x_{1},\dots,x_{N}$ de energias respectivas $E_{1},\dots,E_{N}$ . Se a temperatura é $T$ , a probabilidade do sistema estar no estado $i$ é dada por

p_{i}=\frac{e^{-\tfrac{E_{i}}{k_{B}T}}}{Z}\,,

onde $e^{x}$ é a função exponencial na base $e=2.718...$ (ver Seção 3.3), $k_{B}$ é a constante de Boltzmann e $Z$ a função de partição.

Exemplo 3.2.

Em Teoria da Informação, estudam-se sequências infinitas de símbolos aleatórios. Com um alfabeto binário $\mathbb{A}=\{0,1\}$ ,

01101001000011011011001001101010011001000000111010101100110....

Com um alfabeto $\mathbb{A}=\{0,1,2,\dots,8,9\}$ ,

43895612031468275092781059463897360142581974603522706194583...

Se cada algarismo $a_{i}$ de um alfabeto $\mathbb{A}=\{a_{1},a_{2},\dots,a_{k}\}$ aparece com uma probabilidade $p_{i}$ , onde $\sum_{j=1}^{k}p_{j}=1$ , então a Entropia de Shannon de uma sequência aleatória com essa propriedade é definida por

S=-\sum_{j=1}^{k}p_{j}\log_{2}p_{j}\,,

onde o logaritmo é na base $2$ (mas pode ser tomado numa base qualquer). $S$ dá um limite para a maior taxa de compactação para essa sequência.

Uma construção completa das funções $\exp_{a}x$ , $\log_{a}x$ , para todo $x\in\mathbb{R}$ , como se encontra nos livros de análise, requer um conhecimento detalhado das propriedades dos números reais. Aqui daremos uma construção que, apesar de não ser completamente rigorosa, tem a vantagem de ser intuitiva (espera-se) e permitirá usar essas funções já desde o próximo capítulo.