3.2 Logaritmo

Como a exponencial $x\mapsto\exp_{a}x$ é estritamente crescente (ou decrescente se $0<a<1$ ), é uma bijeção de $\mathbb{R}$ para $(0,\infty)$ , e a sua função inversa é bem definida, chamada logaritmo na base $a$ :

	$\displaystyle\log_{a}:(0,\infty)$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle y$	$\displaystyle\mapsto\log_{a}y\,.$

Como $a^{0}=1$ , temos $\log_{a}1=0$ , e como $a^{1}=a$ temos $\log_{a}a=1$ . O gráfico do logaritmo, dependendo da base, é da forma:

O logaritmo é estritamente crescente se $a>1$ , estritamente decrescente se $0<a<1$ . Por definição,

\forall x>0\,:\,a^{\log_{a}x}=x\,,\quad\text{ e }\forall x\in\mathbb{R}\,:\,% \log_{a}(a^{x})=x\,.

(3.8)

A definição do logaritmo deve ser lembrada pela seguinte equivalência:

z=\log_{a}x\quad\Leftrightarrow\quad a^{z}=x\,.

(3.9)

Por exemplo, para calcular $\log_{2}8$ , basta chamar $z=\log_{2}8$ , que é equivalente a $2^{z}=8$ , cuja única solução é $z=3$ .

Observação 3.3.

O logaritmo foi inventado por Napier ²² 2 John Napier, Merchiston (Escócia) 1550 - 1617. no século $XVI$ , numa época em que ainda não existiam calculadoras. Suponha que se queira calcular, na mão, uma potência de um número grande. Por exemplo: $9846^{6}$ . A conta, apesar de não ser difícil, requer um certo trabalho: primeiro calcula $9846^{2}=9846\times 9846=\cdots=96943716$ . Depois, calcula $9846^{3}=96943716\times 9846=954507827736$ , etc. Até obter $9846^{6}$ , que é um número de $23$ dígitos…

Suponha agora que seja conhecido um número $x$ tal que $9846=10^{x}$ . Então, pela propriedade (3.5) da exponencial, tomar a sexta potência se reduz a multiplicar $x$ por $6$ :

9846^{6}=(10^{x})^{6}=10^{6x}\,!

O número procurado $x$ não é nada mais do que o logaritmo de $9846$ na base $10$ : $x=\log_{10}9846$ (com a minha calculadora: $x\sim 3,9932$ ). No fim do século $XVI$ já existiam tabelas dando $\log_{10}n$ para todos os inteiros $n$ entre $1$ e $90000$ , com uma precisão de quatorze decimais.

Dando assim um novo jeito de calcular, logaritmos se tornaram uma ferramenta indispensável nas ciências e na engenharia. O Kepler ³³ 3 Johannes Kepler, Weil der Stadt (Alemanha) 1571 - Regensburg 1630. usou logaritmos sistematicamente no seu estudo do movimento dos planetas.

O logaritmo satisfaz às seguinte identidades (supondo $x,y>0$ , menos na segunda, onde $y\in\mathbb{R}$ ):

$\displaystyle\log_{a}(xy)$	$\displaystyle=\log_{a}x+\log_{a}y$	(3.10)
$\displaystyle\log_{a}(x^{y})$	$\displaystyle=y\log_{a}x$	(3.11)
$\displaystyle\log_{a}\tfrac{x}{y}$	$\displaystyle=\log_{a}x-\log_{a}y$	(3.12)

Para provar a primeira, chamemos $z=\log_{a}(xy)$ , o que significa $a^{z}=xy$ . Escrevendo $x=a^{\log_{a}x}$ , $y=a^{\log_{a}y}$ e usando a propriedade (3.4) da exponencial, temos

a^{z}=a^{\log_{a}x}a^{\log_{a}y}=a^{\log_{a}x+\log_{a}y}\,.

Assim vemos que $z=\log_{a}x+\log_{a}y$ , o que prova (3.10).

Exercício 3.3.

Prove (3.11) e (3.12).

Exercício 3.4.

Calcule, sem usar calculadora,

\log_{4}16\,,\quad\log_{\pi}1\,,\quad\log_{2}\tfrac{1}{16}\,,\quad\log_{1/2}8% \,,\quad 7^{2\log_{7}5}\,.

Exercício 3.5.

Suponhamos que o tamanho de uma população de baratas numa casa dobre a cada mês, e que no fim do mês de dezembro de $2010$ , foram registradas $3$ baratas. Dê o número de baratas em função do número de meses passados ( $n=1$ : fim de janeiro, etc.) Quantas baratas vivem na casa no fim do mês de julho de $2011$ ? No fim de agosto? Quando que será ultrapassado o milhão de baratas?

Exercício 3.6.

Dê o domínio de cada função abaixo.

1.

$\log_{5}(2+x)$
2.

$\log_{2}(2-x)$
3.

$\frac{8x}{\log_{6}(1-x^{2})}$
4.

$\sqrt{1-\log_{7}(x)}$
5.

$\frac{1}{\sqrt{1-\log_{8}(x)}}$
6.

$\log_{2}(|2x+1|+3x)$
7.

$3^{\log_{3}x}$

Suponha que o logaritmo de $x>0$ seja conhecido na base $a$ : $\log_{a}x$ . Como calcular o logaritmo numa outra base $b>0$ , $\log_{b}x$ ? Chamando $z=\log_{b}x$ , temos $b^{z}=x$ . Mas $b$ pode ser escrito como $b=a^{\log_{a}b}$ , assim temos $a^{z\log_{a}b}=x$ . Portanto, $z\log_{a}b=\log_{a}x$ . Obtemos assim a fórmula de mudança de base:

\boxed{\log_{b}x=\frac{\log_{a}x}{\log_{a}b}\,.}

(3.13)

Exemplo 3.5.

Resolvamos:

2^{x}\cdot 3^{-x}=4\,.

Coloquemos cada termo na mesma base, por exemplo na base $a=5$ :

5^{x\log_{5}2}\cdot 5^{-x\log_{5}3}=5^{\log_{5}4}\,.

Logo, $x$ satisfaz $x\log_{5}2-x\log_{5}3=\log_{5}4$ , isto é: $x=\frac{\log_{5}4}{\log_{5}2-\log_{5}3}$ . Observe que por (3.13), essa resposta não depende da base escolhida para calcular o logaritmo. De fato, ao escolher $b=3$ em vez de $a=5$ , teríamos obtido $x=\frac{\log_{3}4}{\log_{3}2-\log_{3}3}$ , que por (3.13) é igual a

\frac{\frac{\log_{5}4}{\log_{5}3}}{\frac{\log_{5}2}{\log_{5}3}-\frac{\log_{3}3% }{\log_{5}3}}\equiv\frac{\log_{5}4}{\log_{5}2-\log_{5}3}\,.

Exercício 3.7.

Resolva.

1.

$2^{x}=\frac{1}{8}$
2.

$\log_{10}(x+3)=3$
3.

$3^{x^{2}}=\frac{1}{3^{x}}$
4.

$2^{x}=5^{1-x}$
5.

$\log_{2}(x^{2}+1)=-2$
6.

$3+\log_{2}(\tfrac{1}{2}-x)=\log_{2}(\tfrac{x-9}{x+1})$
7.

$\log_{8}(-x)>0$
8.

$\log_{3}(x^{2}-2x)<1$
9.

Exercício 3.8.

Considere duas colônias de bactérias, de tipos $A$ e $B$ , originalmente com $N_{A}=123456$ e $N_{B}=20$ indivíduos. As bactérias do tipo $A$ triplicam (em número) a cada dia, enquanto as do tipo $B$ dobram a cada hora. Quanto tempo demora para as duas colônias terem populações iguais em tamanho? A longo prazo, qual colônia cresce mais rápido?

Exercício 3.9.

Mostre que a função abaixo é uma bijeção, e calcule $f^{-1}$ .

	$\displaystyle f:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}_{+}^{*}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\frac{3^{x}+2}{3^{-x}}$

Exercício 3.10.

Deixar uma quantidade $C_{0}$ no banco numa poupança com taxa de juros de $r\%$ significa que em um ano, essa quantidade gerou um lucro de $\frac{r}{100}C_{0}$ . Assim, depois de um ano, a quantidade inicial acrescentada do lucro é de: $C_{1}=C_{0}+\frac{r}{100}C_{0}=(1+\frac{r}{100})C_{0}$ . Se essa nova quantidade for deixada por mais um ano, a nova quantidade no fim do segundo ano será de $C_{2}=C_{1}+\frac{r}{100}C_{1}=(1+\frac{r}{100})^{2}C_{0}$ . Assim, a quantidade de dinheiro em função do número de anos é exponencial de base $a=1+\frac{r}{100}$ :

C_{n}=C_{0}\big{(}1+\tfrac{r}{100}\big{)}^{n}\,.

1.

Suponha que a taxa é de $5\%$ . Se eu puser $\mathrm{RS}1000$ no banco hoje, quanto que eu terei daqui a 5 anos? Quanto que eu preciso por no banco hoje, para ter $\mathrm{RS}2000$ daqui a dois anos? Se eu puser $\mathrm{RS}1$ hoje, quantos anos que eu preciso esperar para eu ter $\mathrm{RS}1.000.000$ ?
2.

Qual deve ser a taxa se eu quiser investir $\mathrm{RS}1000$ hoje e ter um lucro de $\mathrm{RS}600$ em $5$ anos?

Exercício 3.11.

Uma folha de papel é dobrada em dois, para ter a metade do tamanho inicial mas uma espessura duas vezes maior, pra depois ser dobrada de novo em dois, etc.

1.

Estime a espessura de uma folha de papel $A4$ comum, e calcule a espessura total depois de $6$ , respectivamente $7$ dobras.
2.

Quantas dobras são necessárias para que a espessura final seja a) de $1.80m$ ? b) do tamanho da distância terra-lua?

Observação 3.4.

O uso de logaritmos é comum quando se quer comparar certas grandezas físicas que tomam valores grandes. Como exemplo, considere a nossa percepção do volume sonoro, que depende da potência exercida pela pressão do ar nos nossos tímpanos. Por um lado, a potência mínima que um tímpano consegue detectar fica em torno de $P_{min}=10^{-12}W/m^{2}$ . Por outro lado, a potência máxima que ele consegue aguentar (isto é sem soffrer danos irreversíveis) fica em torno de $P_{max}=100W/m^{2}$ . Para $P\simeq P_{min}$ a sensação é de que não há som nenhum (volume nulo). Quando $P\simeq P_{max}$ , a sensação é de um volume altíssimo.

Acontece que a nossa percepção do volume associado a uma potência intermediária $P_{min}\leq P\leq P_{max}$ é proporcional não a $P$ mas ao logaritmo de $P$ . Por isso, define-se o número de decibeis (unidades: dB) associado à potência $P$ como

L(P)=10\cdot\log_{10}\Bigl{(}\frac{P}{P_{min}}\Bigr{)}\,.

(3.14)

Assim, $L$ varia entre um mínimo de

L_{min}=10\cdot\log_{10}\Bigl{(}\tfrac{P_{min}}{P_{min}}\Bigr{)}=0\,\text{dB}\,,

e um máximo de

L_{max}=10\cdot\log_{10}\Bigl{(}\frac{P_{max}}{P_{min}}\Bigr{)}=140\,\text{dB}\,.

Exercício 3.12.

Qual é o volume total produzido por duas fontes de $120$ dB cada?