3.4 Funções trigonométricas hiperbólicas

A exponencial na base ee permite definir três funções fundamentais chamadas respectivamente seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica:

senhx:=ex−e−x2,coshx:=ex+e−x2,tanhx:=ex−e−xex+e−x.\boxed{\operatorname{senh}x{:=}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\,,\quad\cosh x{:=}\frac{% e^{x}+e^{-x}}{2}\,,\quad\tanh x{:=}\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\,.} (3.17)

Para entender a origem da mistura de terminologia (nada óbvia a priori!) usada para definir essas funções, “trigonometria” e “hipérbole”, o leitor interessado poderá consultar o texto da Professora Sônia Pinto de Carvalho 55 5 www.mat.ufmg.br/∼\simsonia/pubensino.htm. Estudaremos mais a fundo as propriedades dessas funções nos próximos capítulos; por enquanto faremos somente alguns comentários.

Observe primeiro que

tanh⁡x=senh⁡xcosh⁡x,\tanh x=\frac{\operatorname{senh}x}{\cosh x}\,,

Também,

(ex+e−x2)2−(ex−e−x2)2=e2⁢x+2+e−2⁢x4−e2⁢x−2+e−2⁢x4=1,\Bigl{(}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\Bigr{)}^{2}-\Bigl{(}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\Bigr% {)}^{2}=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=1\,,

portanto vale a seguinte identidade,

cosh2⁡x−senh2⁡x=1,\cosh^{2}x-\operatorname{senh}^{2}x=1\,, (3.18)

que tem uma semelhança com (1.24): cos2⁡x+sen2⁡x=1\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x=1.

Exercício 3.18.

Mostre que cosh⁡x\cosh x é uma função par, e que senh⁡x\operatorname{senh}x e tanh⁡x\tanh x são ímpares.

Os gráficos das funções hiperbólicas serão estudados em detalhes nos próximos capítulos. Mencionaremos somente o seguinte fato: o gráfico da função cosh⁡x\cosh x aparece a cada vez que uma corda é pendurada entre dois pontos AA e BB: