3.3 A base $e=2,718...$

A exponencial $a^{x}$ foi definida para qualquer base $a>0$ . A escolha de uma base específica depende em geral da situação. Por exemplo, num problema de bactérias cuja população dobra a cada unidade de tempo, a base será $a=2$ . Vimos também que a base não precisa ser inteira: no Exercício 3.10, $a=1+\frac{r}{100}$ .

A priori, qualquer base pode ser escolhida para estudar um problema. Por exemplo, se tivermos alguma preferência para a base $3$ , qualquer exponencial pode ser transformada na base $3$ :

2^{x}=3^{(\log_{3}2)x}\,,\quad 5^{x}=3^{(\log_{3}5)x}\,,\quad 17^{x}=3^{(\log_% {3}17)x}

Existe uma base, denotada por $e$ , cuja importância será vista nos próximos capítulos, mas que será introduzida aqui:

e=2.718281828459045235360287471352...

Como $\pi$ , o número $e$ é uma constante fundamental da matemática. Ele pode ser definido de várias maneiras. Por exemplo, geometricamente, $e$ é o único número $>1$ tal que a área delimitada pelo gráfico da função $x\mapsto\frac{1}{x}$ , pelo eixo $x$ e pelas retas verticais $x=1$ , $x=e$ , seja igual a $1$ :

(Mais tarde veremos como calcular a área debaixo de um gráfico.) Analiticamente, $e$ le pode ser obtido calculando o valor da soma infinita (chamada série, ver Cálculo 2)

e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\dots\,,

ou como o valor do limite

e=\lim_{n\to\infty}\bigl{(}1+\tfrac{1}{n}\bigr{)}^{n}\,.

(3.15)

Foi mostrado por Euler ⁴⁴ 4 Leonard Euler, Basileia (Suiça) $1707$ - São-Petersburgo (Rússia) $1783$ . que $e$ é irracional.

Não mostraremos aqui porque que as três definições acima são equivalentes, mas a partir de agora admitiremos que o limite em (3.15) existe, e o usaremos para definir a base $e$ .

A exponencial associada á base $e$ costuma ser escrita $\exp(x)$ (em vez de $\exp_{e}(x)$ ), ou simplesmente $e^{x}$ . O logaritmo na base $e$ escreve-se $\ln(x)$ (em vez de $\log_{e}(x)$ ), e chama-se logaritmo neperiano (devido a Napier), ou logaritmo natural. Por serem a exponencial e o logaritmo de uma base específica, as funções $e^{x}$ e $\ln x$ possuem todas as propriedades das funções $\log_{a}x$ descritas acima para $a>1$ . Em particular, elas são ambas estritamente crescentes:

Veremos que é mais fácil manusear exponencial e logaritmos quando esses são na base $e$ . Por exemplo, sera visto que a função $e^{x}$ é a única função cujo valor em $x=0$ é $1$ , e que é igual a sua própria derivada: $(e^{x})^{\prime}=e^{x}$ .

Observação 3.5.

Uma boa referência para aprender mais sobre o número $e$ , sobre a invenção do logaritmo e sobre o seu papel no desenvolvimento do Cálculo é o livro de Eli Maor, $e$ : a história de um número (se encontra na Biblioteca Central).

Daremos mais dois exemplos em que a constante $e$ tem um papel fundamental:

Exemplo 3.6.

A curva de Gauss, ou Gaussiana é uma distribuição de probabilidade universal, que rege o desvio padrão de um grande número de variáveis aleatórias independentes:

Exemplo 3.7.

Em física nuclear, uma substância radioativa se desintegra naturalmente com uma taxa $0<\lambda<1$ , o que significa que a quantidade de substância em função do tempo $t$ decresce como

N_{t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,,t\geq 0\,,

(3.16)

onde $N_{0}$ é a quantidade de substância inicial e $t$ o tempo.

Exercício 3.13.

Considere (3.16).

1.

Calcule o tempo de meia-vida $T$ , isto é, o tempo necessário para a quantidade de substância ser igual à metade da sua quantidade inicial. Qual é a quantidade de substância sobrando depois de duas meia-vidas? Quatro? Existe um tempo em que a substância toda se desintegrou?
2.

Sabendo que o urânio $235$ possui uma taxa de desintegração $\lambda_{U}=9.9\cdot 10^{-10}$ , calcule o seu tempo de meia-vida.

Exercício 3.14.

Resolva:

1.

$\ln(-x)=2$
2.

$\ln(x^{2})=0$
3.

$\ln(x+1)+\tfrac{1}{5}=0$
4.

$\ln(1+x^{2})=-\tfrac{1}{2}$
5.

$e^{x}+e^{-x}=4$
6.

$e^{2x-1}<\sqrt{e}$
7.

$e^{\tfrac{2x-1}{3x+1}}>\tfrac{1}{e^{2}}$
8.

$\ln(\frac{2x-1}{5x+1})<0$
9.

$\ln|x+4|+\ln|x-1|=\ln 6$
10.

$(\ln x)^{2}+\ln x\geq 0$

Exercício 3.15.

Determine quais das funções abaixo são pares, ímpares, ou nem par e nem ímpar.

1.

$e^{x}$
2.

$\ln x$
3.

$e^{x^{2}-x^{4}}$
4.

$e^{x}+e^{-x}$
5.

$e^{x}-e^{-x}$
6.

$\ln(1-|x|+x^{2})$
7.

$\frac{e^{x^{2}}+e^{|x|}}{x^{4}+x^{6}+1}$

Exercício 3.16.

Esboce o gráfico da função $g(x){:=}\frac{1}{(x-1)^{2}}$ . Em seguida, esboce o gráfico da função $f(x){:=}(\ln\circ g)(x)$ somente a partir das propriedades do gráfico de $g$ e das propriedades do $\ln$ .

Exercício 3.17.

Determine o conjunto imagem da função $f(x){:=}\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$ .

3.3 A base e=2,718⁢…e=2,718...