Capítulo 5 Continuidade

Continuidade é o conceito fundamental da análise. Sem saber, já nos deparamos com continuidade em vários lugares ao longo desse capítulo.

Exemplo 5.1.

No Exemplo 4.16 estudamos a função $f(x)=\frac{x}{2}+1$ na vizinhança de $a=1$ . Lá, vimos que

\lim_{x\to 1}f(x)=\tfrac{3}{2}\,.

Já tínhamos observado que esse fato parecia óbvio, já que no ponto $a=1$ , a função $f$ toma o valor $f(1)=\frac{3}{2}$ . Logo, o que acontece para essa função no ponto $a=1$ é que

\lim_{x\to 1}f(x)=f(1)\,.

Diremos que $f$ é contínua em $a=1$ . Em palavras, isso significa que nos pontos $x$ perto de $1$ , a função toma valores $f(x)$ perto de $f(1)$ . Acontece que essa função é contínua em qualquer ponto da reta $a\in\mathbb{R}$ :

\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\,.

Mas essa propriedade não vale para todas as funções.

Exemplo 5.2.

Considere a seguinte modificação do Exemplo 4.19:

f(x)=\begin{cases}\tfrac{x}{3}+\tfrac{1}{2}&\text{ se }x>0\,,\\ \tfrac{x}{3}-\tfrac{1}{2}&\text{ se }x\leq 0\,.\\ \end{cases}

cujo gráfico na vizinhança de $a=0$ é fácil de esboçar:

Aqui temos $f(0)=-\tfrac{1}{2}$ ,

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-\tfrac{1}{2}\,,\quad\quad\text{ e }\quad\quad\lim_{x\to 0% ^{+}}f(x)=+\tfrac{1}{2}\,.

Logo,

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=f(0)\,,\quad\quad\text{ mas }\quad\quad\lim_{x\to 0^{+}}% f(x)\neq f(0)\,.

Diremos que $f$ é contínua a esquerda em $a=1$ , mas ela não é contínua a direita. Diz-se que essa função é descontínua em $a=0$ .

Definição 5.1.

Uma função $f$ é

1.

contínua a direita em $a$ se $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$ .
2.

contínua a esquerda em $a$ se $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$ .

Se $f$ é ao mesmo tempo contínua a esquerda e a direita em $a$ , então

\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\,,

e $f$ é dita contínua em $a$ . Se os limites laterais $\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ forem diferentes, ou se eles forem iguais mas diferentes de $f(a)$ , então $f$ é dita descontínua em $a$ .

Diremos, em geral, que uma função $f$ é contínua se ela é contínua em cada ponto do seu domínio.

Observação 5.1.

Informalmente: $f$ é contínua em $a$ se uma pequena variação de $x$ em torno de $a$ implica uma pequena variação de $f(x)$ em torno de $f(a)$ . Em particular, o gráfico de $f$ não “dá pulo” num ponto de continuidade.

A maioria das funções fundamentais consideradas até agora são funções contínuas.

Exemplo 5.3.

Qualquer polinômio define uma função contínua. Por exemplo, considere $f(x)=x^{2}-2x^{3}$ , e $a\in\mathbb{R}$ um real qualquer. Quando $x$ tende a $a$ , então $x^{2}\to a^{2}$ , e $-2x^{3}\to-2a^{3}$ . Logo $f(x)\to f(a)$ , portanto $f$ é contínua em $a$ . O mesmo raciocínio pode ser adaptado para qualquer polinômio.

Exemplo 5.4.

As funções trigonométricas são contínuas. Por exemplo, por definição do seno e do cosseno via o círculo trigonométrico, parece claro (e será mostrado analiticamente mais tarde) que $\operatorname{sen}x$ e $\cos x$ variam continuamente em função de $x$ . Portanto, sendo um quociente de duas funções contínuas, a tangente é contínua também (no seu domínio).

Exemplo 5.5.

As funções exponencial e logaritmo, $a^{x}$ e $\log_{a}(x)$ (em particular, $e^{x}$ e $\ln x$ ), são funções contínuas ¹¹ 1 Apesar de parecer uma afirmação elementar, provar a continuidade de $x\mapsto a^{x}$ implica usar a sua definição precisa. Uma prova pode ser encontrada nos livros de análise..

Proposição 5.1.

Se $f$ e $g$ são contínuas em $a$ , então $\lambda f$ (onde $\lambda$ é uma constante), $f+g$ , e $f\cdot g$ são contínuas em $a$ também. Se $g(a)\neq 0$ , então $\frac{f}{g}$ é contínua em $a$ também. Se $g$ é contínua em $a$ e se $f$ é contínua em $g(a)$ , então $f\circ g$ é contínua em $a$ .

Exemplo 5.6.

Considere (lembre o Exemplo 4.19)

f(x)=\begin{cases}\tfrac{x}{3}+\frac{x}{2|x|}&\text{ se }x\neq 0\,,\\ \tfrac{1}{2}&\text{ se }x=0\,.\end{cases}

Se $a\neq 0$ , então $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ , logo $f$ é contínua em $a\neq 0$ . Como $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\tfrac{1}{2}=f(0)$ , $f$ é contínua a direita em $a=0$ . Mas, como $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-\tfrac{1}{2}\neq f(0)$ , $f$ é descontínua em $a=0$ .

Exemplo 5.7.

A função $f$ do Exercício 4.13 é descontínua em todo $a\in\mathbb{R}$ .

Exercício 5.1.

Determine os pontos $a\in\mathbb{R}$ em que a primeira função $f$ do Exercício 4.16 é contínua.

Exercício 5.2.

Considere $f(x)=\begin{cases}x-\frac{x}{|x|}&\text{ se }x\neq 0\\ -1&\text{ se }x=0\,.\end{cases}$ . Dê o domínio $D$ de $f$ , assim como o conjunto $C$ dos pontos em que $f$ é contínua.

Exercício 5.3.

Estude a continuidade da função

f(x){:=}\begin{cases}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}&\text{ se }x\neq 2\,,\\ 0&\text{ se }x=2\,.\end{cases}

Como que $f$ pode ser modificada para se tornar contínua na reta toda?

Exercício 5.4.

Ache o valor da constante $a$ tal que a seguinte função seja contínua em todo $x\in\mathbb{R}$ :

f(x){:=}\begin{cases}\frac{x^{2}-(a+1)x+a}{x-1}&\text{ se }x\neq 1\,,\\ 5+a&\text{ se }x=1\,.\end{cases}

Exercício 5.5.

Estude a continuidade das funções

f(x){:=}\begin{cases}\tanh\tfrac{1}{x}&\text{ se }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ se }x=0\,,\end{cases}\quad\quad g(x){:=}\begin{cases}x\tanh\tfrac{1}{% x}&\text{ se }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ se }x=0\,.\end{cases}