4.9 Exercícios de revisão

Considere a função

Calcule os limites $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)$, $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$, $\lim_{x\to 0}f(x)$, $\lim_{x\to 2^{-}}f(x)$, $\lim_{x\to 2^{+}}f(x)$, $\lim_{x\to 2}f(x)$. Em seguida, interprete esses limites no gráfico de $f$.

Considere um ponto $Q$ na parábola $y=x^{2}$. Seja $M$ o ponto meio do segmento $OQ$ ($O$ é a origem) e seja $r$ a reta perpendicular ao segmento $OQ$, passando por $M$. Seja $R$ a interseção de $r$ com o eixo $y$. Estude o que acontece com $R$ quando $Q$ varia. O que acontece com $R$ no limite $Q\to O$?

Considere um círculo $C$ de raio $r>0$. Considere a divisão de $C$ em $n$ setores de aberturas iguais. Aproxime a área de cada setor pela área de um triângulo, escreva a área $A_{n}$ do polígono definido pela união dos $n$ triângulos, e calcule $\lim_{n\to\infty}A_{n}$.

Calcule o limite, se existir.

1. 1.
   ​

   $\lim_{x\to 2}\frac{x^{4}-16}{x-2}$

2. 2.
   ​

   $\lim_{x\to\frac{1}{3}}\frac{3x^{2}-x}{3x-1}$

3. 3.
   ​

   $\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}+4x-21}{x^{2}-x-6}$

4. 4.
   ​

   $\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}+4x-21}{x^{2}-x+6}$

5. 5.
   ​

   $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+4x-21}{x^{2}-x+6}$

6. 6.
   ​

   $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+1}{x^{3}+x^{2}-2x^{3}}$

7. 7.
   ​

   $\lim_{x\to-1}\frac{\operatorname{sen}(x+1)}{1-x^{2}}$

8. 8.
   ​

   $\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{(\cos x)^{2}}$

9. 9.
   ​

   $\lim_{x\to 0^{+}}\log_{9}(\operatorname{sen}(x))$

10. 10.
    ​

    $\lim_{x\to 0^{+}}\log_{9}(\cos(x))$

11. 11.
    ​

    $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}$

12. 12.
    ​

    $\lim_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1})$

13. 13.
    ​

    $\scriptstyle{\lim_{{x}\to{\pm\infty}}\sqrt{x^{2}-\pi x}-\sqrt{x^{2}-1}}$

14. 14.
    ​

    $\lim_{{x}\to{+\infty}}\operatorname{sen}(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{1+x^{2}})$

15. 15.
    ​

    $\lim_{{x}\to{+\infty}}\frac{x^{2}+3}{5+x^{3}}$

16. 16.
    ​

    $\lim_{{x}\to{+\infty}}\frac{1-x^{7}}{10x^{7}+1}$

17. 17.
    ​

    $\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{3+3h}-\sqrt{3}}{h}$

18. 18.
    ​

    $\lim_{h\to 1}\frac{\sqrt[3]{h}-1}{\sqrt{h}-1}$

19. 19.
    ​

    $\lim_{x\to-\infty}\frac{5x^{2}+8x-3}{7x^{3}-4x-17}$

20. 20.
    ​

    $\lim_{x\to 0}\frac{x\operatorname{sen}x}{2-2\cos x}$

21. 21.
    ​

    $\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-4x^{2}}}{2x}$

Prove o Teorema 4.1.

Calcule os limites

1. 1.
   ​

   $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-\cos x}}{|x|}$ (Dica: $1-\cos^{2}x=\dots$)

2. 2.
   ​

   $\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(a+h)-\operatorname{sen}a}{h}$ (Dica: $\operatorname{sen}(a+b)=\dots$)

3. 3.
   ​

   $\lim_{x\to\alpha}\frac{x^{3}-\alpha^{3}}{\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{\alpha}x)}$ (Dica: $\lim_{x\to\alpha}\frac{x^{3}-\alpha^{3}}{x-\alpha}=\dots$)

4. 4.
   ​

   Para $a,b>0$, $\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{1-2\cos x}{\operatorname{sen}(\pi-3x)}$ (Dica: $\pi-3x=3t$, $\cos(a+b)=\dots$)

5. 5.
   ​

   $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\ln(a^{x}+b^{x})$ (Dica: distinguir $a\geq b$, $a<b$)

6. 6.
   ​

   Para $n\in\mathbb{N}$, $x_{0}\in\mathbb{R}$, $\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$ (Dica: use uma mudança de variável $z=x+h$ e faça uma divisão, ou então use a fórmula do binômio de Newton para expandir $(x_{0}+h)^{n}$.)