4.3 Limites $\lim_{x\to a}f(x)$

Definição 4.5.

Se uma função $f$ possui limites laterais iguais em $a\in\mathbb{R}$ , isto é, se $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\ell$ , então diremos que $f(x)$ tende a $\ell$ quando $x$ tende a $a$ , e escreveremos simplesmente

\lim_{x\to a}f(x)=\ell\,.

Observe que nesse caso, $f(x)$ tende a $\ell$ à medida que $x$ tende a $a$ , qualquer que seja o lado: para todo $\epsilon>0$ , existe $\delta>0$ tal que se $|x-a|\leq\delta$ , $x\neq a$ , então $|f(x)-\ell|\leq\epsilon$ . O limite $\lim_{x\to a}f(x)$ será às vezes chamado de bilateral.

Por definição, o limite bilateral satisfaz às mesmas propriedades que aquelas para os limites laterais descritas na Proposição 4.3.

Exercício 4.15.

Estude os limites abaixo. (Em particular, comece verificando se o tipo de limite considerado é compatível com o domínio da função.)

1.

$\lim_{x\to 7}(7-x)$
2.

$\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}$
3.

$\lim_{x\to 0}\cos x$
4.

$\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$
5.

$\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{x-4}$
6.

$\lim_{x\to 4}\frac{|x-4|}{x-4}$
7.

$\lim_{x\to-5}\frac{x-5}{|x-5|}$
8.

$\lim_{x\to 1}\frac{1-x}{x^{2}-1}$
9.

$\lim_{x\to 1}\sqrt{\ln x}$
10.

$\lim_{x\to-2}\frac{2-x}{\sqrt{x-2}}$

Vejamos agora o análogo do Teorema 4.1 para limites laterais e bilaterais.

Teorema 4.2.

Suponha que $f$ , $g$ e $h$ sejam três funções que satisfazem

g(x)\leq f(x)\leq h(x)\,,\text{ para todo $x$ numa vizinhan\c{c}a de $a$}\,.

Suponha também que $\lim_{x\to a^{+}}g(x)=\lim_{x\to a^{+}}h(x)=\ell$ . Então $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\ell$ . (O mesmo resultado vale trocando todos os $x\to a^{+}$ por $x\to a^{-}$ ou por $x\to a$ .)

Exemplo 4.21.

O limite $\lim_{x\to 0}x^{2}\operatorname{sen}\tfrac{1}{x}$ pode ser calculado, observando que $-1\leq\operatorname{sen}\tfrac{1}{x}\leq+1$ para todo $x\neq 0$ . Logo, multiplicando por $x^{2}$ (que é $>0$ ),

-x^{2}\leq x^{2}\operatorname{sen}\tfrac{1}{x}\leq x^{2}\,.

Quando $x\to 0$ , $-x^{2}$ e $x^{2}$ ambos tendem a zero.

Pelo Teorema 4.2, concluimos que $\lim_{x\to 0}x^{2}\operatorname{sen}\tfrac{1}{x}=0$ .

Exercício 4.16.

Determine se o limite ${x\to 0}$ da função existe. Se for o caso, dê o seu valor.

f(x)=\begin{cases}x^{2}&\text{ se $x$ \'{e} racional di\'{a}dico}\,,\\ 0&\text{ caso contr\'{a}rio}\,,\end{cases}\quad\quad g(x)=\begin{cases}\frac{1% +x}{1+x^{2}}&\text{ se }x<0\,,\\ -1&\text{ se }x=0\,,\\ \operatorname{sen}(\frac{\pi}{2}+x)&\text{ se }x>0\,.\end{cases}

4.3 Limites limx→af⁢(x)\lim_{x\to a}f(x)