4.6 Mudar de variável

O cálculo de um limite pode ser às vezes simplificado transformando ele em outro limite, via uma mudança de variável.

Exemplo 4.28.

Suponha que se queira calcular o limite de sen⁡2⁢xx\frac{\operatorname{sen}2x}{x} quando x→0x\to 0. Um jeito possível é de usar a identidade sen⁡2⁢x=2⁢sen⁡x⁢cos⁡x\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x, escrevendo

limx→0sen⁡2⁢xx=limx→02⁢sen⁡xx⁢cos⁡x=2⋅1⋅1=2.\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}2x}{x}=\lim_{x\to 0}2\frac{\operatorname{% sen}x}{x}\cos x=2\cdot 1\cdot{1}=2\,.

Um outro jeito de proceder é de introduzir a nova variável y:=2⁢xy{:=}2x. Ao fazer essa mudança, é preciso reescrever o limite limx→0sen⁡2⁢xx\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}2x}{x} somente usando a variável yy. Como x→0x\to 0 implica y→0y\to 0, e como x=y/2x=y/2,

limx→0sen⁡2⁢xx=limy→0sen⁡yy/2=2⁢limy→0sen⁡yy=2⋅1=2.\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}2x}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{\operatorname{% sen}y}{y/2}=2\lim_{y\to 0}\frac{\operatorname{sen}y}{y}=2\cdot 1=2.
Exemplo 4.29.

Considere o limite limx→0cos3⁡x−1cos⁡x−1\lim_{x\to 0}\frac{\cos^{3}x-1}{\cos x-1}. Chamando z:=cos⁡xz{:=}\cos x, ao x→0x\to 0 temos z→1z\to 1. Logo,

limx→0cos3⁡x−1cos⁡x−1=limz→1z3−1z−1=3(ver Exemplo 4.17).\lim_{x\to 0}\frac{\cos^{3}x-1}{\cos x-1}=\lim_{z\to 1}\frac{z^{3}-1}{z-1}=3% \quad\text{(ver Exemplo \ref{Ex:primeironaotrivial}).}

Vejamos também como um limite lateral pode ser transformado em um limite no infinito:

Exemplo 4.30.

Considere os limites laterais calculados no Exercício 4.15: limx→0+91x\lim_{x\to 0^{+}}9^{\frac{1}{x}}, limx→0−91x\lim_{x\to 0^{-}}9^{\frac{1}{x}}. Chamemos z:=1xz{:=}\frac{1}{x}. Se x→0+x\to 0^{+}, então z→+∞z\to+\infty. Logo,

limx→0+91x=limz→∞9z=+∞.\lim_{x\to 0^{+}}9^{\frac{1}{x}}=\lim_{z\to\infty}9^{z}=+\infty\,.

Por outro lado, se x→0−x\to 0^{-}, então z→−∞z\to-\infty, e

limx→0−91x=limz→−∞9z=0.\lim_{x\to 0^{-}}9^{\frac{1}{x}}=\lim_{z\to-\infty}9^{z}=0\,.
Exercício 4.27.

Calcule os limites fazendo uma mudança de variável.

  1. 1.
    ​

    limx→1sen⁡(x−1)3⁢x−3\lim_{x\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{3x-3}

  2. 2.
    ​

    limx→0sen⁡(3⁢x)sen⁡(5⁢x)\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(5x)}

  3. 3.
    ​

    limx→−1sen⁡(x+1)1−x2\lim_{x\to-1}\frac{\operatorname{sen}(x+1)}{1-x^{2}}

  4. 4.
    ​

    limx→axn−anx−a\lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}

  5. 5.
    ​

    limx→4x−4x−x−2\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{x-\sqrt{x}-2}

  6. 6.
    ​

    limx→0±tanh⁡1x\lim_{x\to 0^{\pm}}\tanh\frac{1}{x}

  7. 7.
    ​

    limx→0±x⁢tanh⁡1x\lim_{x\to 0^{\pm}}x\tanh\frac{1}{x}