4.2 Limites laterais: $\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)$

Na seção anterior estudamos o comportamento de uma função $f$ longe da origem, $x\to\infty$ ou $x\to-\infty$ . Agora observaremos o comportamento de uma função $f(x)$ a medida que $x$ se aproxima de um ponto da reta, que denotaremos por $a\in\mathbb{R}$ .

Como um $x$ pode estar ou à esquerda de $a$ ( $x<a$ ), ou à direita de $a$ ( $x>a$ ), começaremos com dois tipos de limites, chamados de laterais: escreveremos $x\to a^{+}$ (ou $x\searrow a$ ) para indicar que $x$ se aproxima de $a$ pela direita, e $x\to a^{-}$ (ou $x\nearrow a$ ) para indicar que $x$ se aproxima de $a$ pela esquerda.

Comecemos com um exemplo bem simples.

Exemplo 4.16.

Considere a função

f(x)=\frac{x}{2}+1\,,

em uma vizinhança do ponto $a=1$ . Olhemos primeiro os valores de $f(x)$ quando $x\searrow 1$ , isto é, quando $x$ toma valores maiores mas perto de $1$ :

$x=$	$1.5$	$1.1$	$1.01$	$1,0001$
$f(x)=$	$1.75$	$1.55$	$1.505$	$1,50005$

Vemos que estes valores decrescem, se aproximando de $1.5=\tfrac{3}{2}$ . Gostaríamos de escrever

\lim_{x\searrow 1}f(x)=\tfrac{3}{2}\,.

Ao olharmos os valores de $f(x)$ quando $x\nearrow 1$ , isto é, quando $x$ toma valores menores mas perto de $1$ , vemos que estes crescem para o mesmo valor $\tfrac{3}{2}$ :

$x=$	$0.5$	$0.9$	$0.99$	$0.9999$
$f(x)=$	$1.25$	$1.45$	$1.495$	$1,49995$

Gostariamos então de escrever

\lim_{x\nearrow 1}f(x)=\tfrac{3}{2}\,.

Essas propriedades se tornam óbvias olhando para o gráfico, que é uma simples reta:

Para entender um pouco melhor o que está acontecendo, vamos estudar a diferença:

|f(x)-\tfrac{3}{2}|=\bigl{|}(\tfrac{x}{2}+1)-\tfrac{3}{2}\bigr{|}=\tfrac{1}{2}% |x-1|\,.

Assim, vemos que quando $x$ fica perto de $1$ , isto é quando a distância $|x-1|$ é pequena, então a diferença $|f(x)-\tfrac{3}{2}|$ é pequena também. Poderíamos ser um pouco mais precisos, fixar uma tolerância $\epsilon>0$ (subentendido pequena) e perguntar: quão próximo de $1$ $x$ precisa estar para garantir que

|f(x)-\tfrac{3}{2}|\leq\epsilon\,\quad?

Como $|f(x)-\tfrac{3}{2}|=\tfrac{1}{2}|x-1|$ , vemos que $x$ precisa satisfazer $\tfrac{1}{2}|x-1|\leq\epsilon$ , isto é

|x-1|\leq 2\epsilon\,.

Logo, a resposta à pergunta acima é: a distância menor que $2\epsilon$ .

Na verdade, pode parecer óbvio que a medida que $x$ se aproxima de $1$ , a função $f(x)=\frac{x}{2}+1$ se aproxima de $f(1)=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}$ . Isto é: colocando o valor $x=1$ na função, a gente já sabe qual será o valor limite. Mas isso funciona porque a função do exemplo é simples o suficiente. Às vezes, teremos que trabalhar mais, como no próximo exemplo.

Exemplo 4.17.

Consideremos agora

f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}\,,

também na vizinhança de $a=1$ . Observe que essa função não é definida em $1$ . Logo, para saber o que acontece quando $x$ tende a $1$ , não temos como adivinhar qual será o limite trocando simplesmente $x$ por $1$ .

Mas isso não significa que ele não pode ser calculado. Calculemos alguns valores de $f(x)$ , com $x\searrow 1$ ,

$x=$	1.1	1.02	1.002	1.0002
$f(x)\simeq$	$3,310$	$3,060$	$3.006$	$3,001$

e quando $x\nearrow 1$ :

$x=$	0,9	0,99	0.999	0.9999
$f(x)\simeq$	$2,710$	$2,970$	$2,997$	$2,999$

Esses números sugerem que

\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=3\,.

Não falaremos de tolerância aqui, mas podemos fazer uma conta simples que mostra porque que o limite é $3$ . De fato, o polinômio $x^{3}-1$ possui a raiz $x=1$ , sabemos então que ele pode ser fatorado da seguinte maneira:

x^{3}-1=(x-1)(\dots)\,.

O fator $(\dots)$ pode ser calculado pela divisão de $x^{3}-1$ por $x-1$ , que dá:

\begin{array}[]{r|l}x^{3}\phantom{+x^{2}+x}-1&x-1\\ \cline{2-2}\cr x^{3}-x^{2}\phantom{+x+1}&x^{2}+x+1\\ \cline{1-1}\cr\\ x^{2}\phantom{+x}-1\\ x^{2}-x\phantom{-1}\\ \cline{1-1}\cr\\ x-1\\ x-1\\ \cline{1-1}\cr\\ 0\end{array}

Isto mostra que o nosso quociente na verdade pode ser escrito como

\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1\,.

Agora fica claro que se $x$ tende a $1$ , não importa de qual lado,

\lim_{x\to 1^{\pm}}\frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^{\pm}}(x^{2}+x+1)=1^{2}+1+% 1=3\,.

(4.18)

Observação 4.7.

No exemplo anterior, a função $\frac{x^{3}-1}{x-1}$ não é definida no ponto $a=1$ , mas em qualquer outro ponto da sua vizinhança, e à medida que $x$ se aproxima de $a=1$ , o numerador e o denominador ambos tendem a $0$ . Foi o nosso primeiro exemplo de resolução de uma indeterminação do tipo

``\frac{0}{0}"\,.

Exercício 4.11.

Calcule $\lim_{x\to 1^{\pm}}\frac{x^{4}-1}{x-1}$ , $\lim_{x\to 1^{\pm}}\frac{x^{5}-1}{x-1}$ , …

Eis agora a definição geral de limite lateral:

Definição 4.4.

Seja $a\in\mathbb{R}$ .

1.

Diz-se que $f(x)$ tende a $\ell$ quando $x$ tende a $a$ pela direita se para todo $\epsilon>0$ existe um $\delta>0$ tal que se $a<x\leq a+\delta$ , então $|f(x)-\ell|\leq\epsilon$ . Escreve-se $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\ell$ .
2.

Diz-se que $f(x)$ tende a $\ell$ quando $x$ tende a $a$ pela esquerda se para todo $\epsilon>0$ existe um $\delta>0$ tal que se $a-\delta\leq x<a$ , então $|f(x)-\ell|\leq\epsilon$ . Escreve-se $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\ell$ .

Exemplo 4.18.

Usando a definição, mostremos que

\lim_{x\to 1}x^{2}=1\,.

Observe primeiro que $|x^{2}-1|=|x+1|\cdot|x-1|$ . Quando $x>1$ fica perto de $1$ , digamos a distância menor que $\tfrac{1}{2}$ , temos $|x-1|=x-1$ , e $|x+1|=x+1\leq\tfrac{5}{2}$ . Quando $x$ tende a $1$ , $|x-1|$ tende a $0$ . Seja agora $\epsilon>0$ . Para garantir que $|x^{2}-1|\leq\epsilon$ , podemos escrever primeiro $|x^{2}-1|\leq\tfrac{5}{2}(x-1)$ , e procurar primeiro resolver $\tfrac{5}{2}(x-1)\leq\epsilon$ , que dá $x\leq 1+\tfrac{2}{5}\epsilon$ . Assim, mostramos que se $1<x\leq 1+\delta$ , com $\delta{:=}\frac{2\epsilon}{5}$ , teremos $|x^{2}-1|=|x+1|\cdot|x-1|\leq\tfrac{3}{2}(x-1)\leq\tfrac{3}{2}\delta=\epsilon$ .

Foi usado implicitamente em (4.18) que se cada termo de uma soma possui limite, então a soma possui limite também, e este vale a soma dos limites; segue do seguinte resultado, que é o análogo da Proposição 4.1:

Proposição 4.3.

Suponha que duas funções, $f$ e $g$ , possuam limites quando $x\to a^{+}$ :

\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\ell_{1}\,,\quad\lim_{x\to a^{+}}g(x)=\ell_{2}\,,

onde $\ell_{1}$ e $\ell_{2}$ são ambos finitos. Então

	$\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}\{f(x)+g(x)\}=\lim_{x\to a^{+}}f(x)+\lim_{x\to a% ^{+}}g(x)=\ell_{1}+\ell_{2}\,,$		(4.19)
	$\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x)g(x)=\bigl{(}\lim_{x\to a^{+}}f(x)\bigr{)}% \cdot\bigl{(}\lim_{x\to a^{+}}g(x)\bigr{)}=\ell_{1}\cdot\ell_{2}\,.$		(4.20)

Além disso, se $\ell_{2}\neq 0$ , então

\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a^{+}}f(x)}{\lim_{x\to a^{% +}}g(x)}=\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\,.

(4.21)

As mesmas propriedades valem no caso $x\to a^{-}$ .

Nos exemplos anteriores, os limites laterais $x\to a^{+}$ e $x\to a^{-}$ eram iguais. Vejamos um exemplo onde eles são diferentes.

Exemplo 4.19.

Considere $f(x)=\tfrac{x}{3}+\frac{x}{2|x|}$ na vizinhança de $a=0$ (em que ela nem é definida). Usando a definição de $|x|$ , podemos reescrever $f$ da seguinte maneira:

f(x)=\begin{cases}\tfrac{x}{3}+\tfrac{1}{2}&\text{ se }x>0\,,\\ \tfrac{x}{3}-\tfrac{1}{2}&\text{ se }x<0\,.\\ \end{cases}

Logo,

\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\bigl{\{}\tfrac{x}{3}+\tfrac{1}{2}\bigr% {\}}=+\tfrac{1}{2}\,,\quad\quad\text{ e }\quad\quad\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_% {x\to 0^{-}}\bigl{\{}\tfrac{x}{3}-\tfrac{1}{2}\bigr{\}}=-\tfrac{1}{2}\,.

Isso significa que o gráfico de $f(x)$ , ao $x$ crescer de $<0$ para $>0$ e atravessar $0$ , dá um pulo de valores pertos de $-\tfrac{1}{2}$ para valores perto de $+\tfrac{1}{2}$ . Diz-se que essa função é descontínua em $x=0$ :

Exercício 4.12.

Seja

f(x){:=}\begin{cases}5-x&\text{ se }x\geq 2\\ \frac{x}{2}&\text{ se }x<2\,.\end{cases}

Calcule os limites laterais $\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)$ para $a=0$ , $a=2$ , $a=5$ .

Às vezes, limites laterais não existem:

Exemplo 4.20.

Por exemplo, o limite lateral $x\to 0^{+}$ da função $\operatorname{sen}\tfrac{1}{x}$ (que obviamente não é definida em $x=0$ ) não existe:

Observe, no entanto, que $\lim_{x\to\infty}\operatorname{sen}\tfrac{1}{x}=0$ .

Exercício 4.13.

Considere a função definida por

f(x)=\begin{cases}+1&\text{ se $x$ \'{e} racional di\'{a}dico}\,,\\ 0&\text{ caso contr\'{a}rio}.\end{cases}

Estude os limites laterais de $f(x)$ num ponto qualquer $a$ .

Exercício 4.14.

Seja $f(x){:=}\lfloor x\rfloor$ . Calcule $\lim_{x\to\frac{1}{2}^{+}}f(x)$ , $\lim_{x\to\frac{1}{2}^{-}}f(x)$ , $\lim_{x\to\frac{1}{3}^{+}}f(x)$ , $\lim_{x\to\frac{1}{3}^{-}}f(x)$ . Calcule $\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ , $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ . Calcule, para qualquer número inteiro $n$ , $\lim_{x\to n^{+}}f(x)$ , $\lim_{x\to n^{-}}f(x)$ .

4.2 Limites laterais: limx→a±f⁢(x)\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)