4.7 O limite e=limx→∞(1+1x)xe=\lim_{x\to\infty}\bigl{(}1+\tfrac{1}{x}\bigr{)}^{x}

Mencionamos, no Ășltimo capĂ­tulo, que uma das definiçÔes possĂ­veis do nĂșmero e=2,718ⁱ
e=2,718... Ă© via o limite de (1+1x)x(1+\tfrac{1}{x})^{x} quando x→∞x\to\infty. De fato,

x=x= 10 100 1000 10’000
(1+1x)x=(1+\tfrac{1}{x}\bigr{)}^{x}= 2,59374ⁱ
2,59374... 2,70481ⁱ
2,70481... 2,71692ⁱ
2,71692... 2.71814ⁱ
2.71814...

Pode ser mostrado que o limite quando x→∞x\to\infty existe, e tomamos o valor do limite como definição da base do logaritmo natural:

e:=limx→∞(1+1x)x.\boxed{e{:=}\lim_{x\to\infty}\bigl{(}1+\tfrac{1}{x}\bigr{)}^{x}\,.}

Essa caracterização de ee permite calcular vários limites importantes, como por exemplo limh→0+ln⁡(1+h)h\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\ln(1+h)}{h}. De fato, com a mudança de variável z=1hz=\frac{1}{h}, h→0+h\to 0^{+} implica z→+∞z\to+\infty:

limh→0+ln⁡(1+h)h=limz→+∞ln⁡(1+1z)1z=limz→+∞ln⁡((1+1z)z)=ln⁡e=1.\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\ln(1+h)}{h}=\lim_{z\to+\infty}\frac{\ln(1+\tfrac{1}{z}% )}{\frac{1}{z}}=\lim_{z\to+\infty}\ln\bigl{(}(1+\tfrac{1}{z})^{z}\bigr{)}=\ln e% =1\,. (4.23)

Um outro limite que pode ser calculado Ă© limx→0+ex−1x\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{x}. Dessa vez, chamando z=exz=e^{x}, x→0+x\to 0^{+} implica z→1+z\to 1^{+}:

limx→0+ex−1x=limz→1+z−1ln⁡z=limz→1+1ln⁡zz−1\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{z\to 1^{+}}\frac{z-1}{\ln z}=\lim_{z% \to 1^{+}}\frac{1}{\frac{\ln z}{z-1}}

Mas agora se h:=z−1h{:=}z-1, então z→1+z\to 1^{+} implica h→0+h\to 0^{+}, e por (4.23),

limz→1+ln⁡zz−1=limh→0+ln⁡(1+h)h=1.\lim_{z\to 1^{+}}\frac{\ln z}{z-1}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\ln(1+h)}{h}=1\,.

Portanto,

limx→0+ex−1x=1.\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{x}=1\,. (4.24)

Observe que o limite lateral a esquerda se obtĂ©m facilmente: chamando y:=−xy{:=}-x,

limx→0−ex−1x=limy→0+e−y−1−y\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{y\to 0^{+}}\frac{e^{-y}-% 1}{-y} =limy→0+ey−1yⁱe−y\displaystyle=\lim_{y\to 0^{+}}\frac{e^{y}-1}{y}e^{-y}
=(limy→0+ey−1y)ⁱ(limy→0+e−y)=1⋅1=1.\displaystyle=\Bigl{(}\lim_{y\to 0^{+}}\frac{e^{y}-1}{y}\Bigr{)}\bigl{(}\lim_{% y\to 0^{+}}e^{-y}\bigr{)}=1\cdot 1=1\,.
ExercĂ­cio 4.28.

Mostre que para todo a>0a>0,

limh→0loga⁡(1+h)h=1ln⁡a,limx→0ax−1x=ln⁡a.\lim_{h\to 0}\frac{\log_{a}(1+h)}{h}=\frac{1}{\ln a}\,,\quad\quad\lim_{x\to 0}% \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a\,. (4.25)