4.1 Limites $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$

A primeira informação que será extraída sobre uma função será o seu comportamento no infinito. Portanto, começaremos estudando os valores de uma função $f(x)$ , quando $x$ fica arbitrariamente grande e positivo, ou arbitrariamente grande e negativo.

4.1.1 Introdução

Apesar de elementar, o nosso primeiro exemplo será um dos mais importantes, pois ele nós permite introduzir pela primeira vez a ideia de tender a zero.

Exemplo 4.1.

Já montamos o gráfico da função $\tfrac{1}{x}$ no Capítulo 2. Consideremos aqui o que acontece com $\frac{1}{x}$ quando $x$ toma valores grandes, positivos ou negativos:

Quando $x$ se afasta da origem, tomando valores grandes e positivos, o que será denotado $x\to+\infty$ , vemos que os valores de $\tfrac{1}{x}$ tendem a zero. Para ilustrar isso podemos observar os valores da função quando a variável toma por exemplo os valores $x=10$ , $x=100$ , $x=1000$ , …:

$x=$	10	100	1000	10’000
$\frac{1}{x}=$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$

Na verdade, pegando uma outra seqüência de números, por exemplo $x=4$ , $x=8$ , $x=16$ , $x=32$ , …, observaríamos também que os valores se aproximam de zero. O fato de $\frac{1}{x}$ se aproximar de zero à medida que $x$ aumenta é obviamente devido ao fato da divisão de $1$ por um número grande resultar em um número pequeno.

Vamos ser agora um pouco mais precisos, e render quantitativa a seguinte afirmação: tomar $x$ grande o suficiente permite tornar $\frac{1}{x}$ arbitrariamente pequeno. Vamos proceder da seguinte maneira. Primeiro escolhamos um número positivo arbitrário, pequeno, que chamaremos de tolerância. Por exemplo: $0.000002$ . Em seguida, façamos a pergunta: quão grande $x$ precisa ser tomado para tornar $\frac{1}{x}$ menor que a tolerância escolhida, isto é

0\leq\frac{1}{x}\leq 0.000002\,\quad?

(4.1)

Para responder, basta resolver a desigualdade acima. Multiplicando ambos lados por $x$ (pode ser feito sem mudar o sentido da desigualdade, já que $x$ é positivo), e dividindo ambos lados por $0.000002$ ,

\frac{1}{0.000002}\leq x\,.

Como $\frac{1}{0.000002}=500000$ , isso significa que qualquer número $x$ que satisfaz

x\geq 500000,,

também satisfaz (4.1). Isto é, tomar um número $x$ qualquer maior ou igual a $5000000$ garante que a sua imagem (pela função $\frac{1}{x}$ ) será contida entre $0$ e $0.000002$ (a tolerância que fixamos).

O importante é que o mesmo raciocíno pode ser feito com qualquer tolerância, mesmo muito pequena. Por exemplo, podemos escolher uma tolerância igual a $0.00000000123$ , e verificar que todos os $x$ grandes, dessa vez $x\geq 813008131$ , satisfazem

0\leq\frac{1}{x}\leq 0.00000000123\,.

Vemos que o mesmo argumento funcionará com qualquer tolerância. Logo, em vez de tomar valores particulares para a tolerância, podemos simplesmente dar um nome a ela: $\epsilon$ . Seja então $\epsilon>0$ uma tolerância qualquer (subentendido: tão pequena quanto quisermos, mas fixa). Podemos então procurar os $x>0$ que satisfazem

0\leq\frac{1}{x}\leq\epsilon\,.

Resolvendo essa desigualdade obtemos:

x\geq\tfrac{1}{\epsilon}\,.

O fato de ser possível mostrar que para uma tolerância arbitrariamente pequena, existe sempre um intervalo infinito de valores de $x$ para os quais a desigualdade $0\leq\frac{1}{x}\leq\epsilon$ é verdadeira é o que define rigorosamente o limite. A seguinte notação costuma ser usada:

\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\,.}

Leia-se: o limite de $\frac{1}{x}$ , quando $x$ tende a $+\infty$ , é igual a $0$ , ou $\frac{1}{x}$ tende a zero quando $x$ tende a $+\infty$ . Enfatizemos que isso não significa, de forma alguma, que $\tfrac{1}{x}$ é igual a zero quando $x$ é grande, mas somente que se aproxima arbitrariamente perto de zero à medida que $x$ vai crescendo.

Consideremos agora o que acontece com $\tfrac{1}{x}$ quando $x\to-\infty$ . Dessa vez a função tende a zero também mas com valores negativos, já que $\tfrac{1}{x}<0$ se $x<0$ (dê uma olhada na figura do início do exemplo). Logo, gostaríamos de fixar uma tolerância $\epsilon>0$ , e achar os $x$ que satisfazem

-\epsilon\leq\frac{1}{x}\leq 0\,.

Desta vez, essa desigualdade é satisfeita para qualquer $x\leq-\frac{1}{\epsilon}$ . Escreveremos também:

\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\,.}

Poderiamos ter calculado os dois limites de uma vez, $x\to-\infty$ e $x\to+\infty$ , observando simplesmente que para um $\epsilon>0$ fixo, é possivel garantir

\Bigl{|}\frac{1}{x}\Bigr{|}\leq\epsilon

para todo $x$ a distância maior que $\frac{1}{\epsilon}$ da origem, isto é $|x|\geq\frac{1}{\epsilon}$ .

O Exemplo 4.1 levou a definir precisamente o que significa $\tfrac{1}{x}$ tender a zero quando $x\to\infty$ . Podemos agora considerar o caso geral:

Definição 4.1.

Diremos que $f(x)$ tende a zero quando $x\to\infty$ se para qualquer tolerância $\epsilon>0$ , é possível garantir que

|f(x)|\leq\epsilon\quad\text{ para todo $x>0$ suficientemente grande.}

(4.2)

Escreve-se:

\lim_{x\to\infty}f(x)=0\,.

O valor absoluto foi usado em (4.2), pois $f(x)$ pode tender a zero sem que o seu sinal seja sempre $\geq 0$ ou $\leq 0$ (como foi visto no caso de $\tfrac{1}{x}$ ). Para ver um caso que em uma função tende a zero com o seu sinal oscilando, veja a figura do Exemplo 4.15 na página 4.15.

Exercício 4.1.

Usando a definição acima, mostre que

\lim_{x\to\infty}\frac{500}{x}=0\,,\quad\lim_{x\to\infty}\frac{9}{x^{2}}=0\,,% \quad\lim_{x\to\infty}\frac{2}{3-x}=0\,.

Exemplo 4.2.

Consideremos em seguida o comportamento de

\frac{x}{x+2}\,,\quad\text{quando $x\to+\infty$}\,.

Para ver o que está acontecendo, calculemos primeiro a função para alguns valores de $x$ , grandes e positivos:

$x=$	10	100	1000	10’000
$\frac{x}{x+2}\simeq$	$0.8333$	$0.9803$	$0.9980$	$0.9998$

Isso parece indicar que $\frac{x}{x+2}$ se aproxima de $1$ quando $x\to+\infty$ . Esse fato pode ser observado no traço do gráfico da função (feito com um computador):

Gostaríamos então de dar um sentido ao seguinte símbolo:

\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+2}=1\,.

(4.3)

A dificuldade, aqui, é que quando $x$ toma valores grandes, $\frac{x}{x+2}$ é uma divisão de dois números grandes, o que representa uma forma de indeterminação (falaremos mais sobre isso depois). No entanto, mostraremos que $\frac{x}{x+2}$ tende a $1$ , mostrando que $\frac{x}{x+2}-1$ tende a zero no sentido da Definição 4.2.

Fixemos uma tolerância $\epsilon>0$ , e procuremos saber se dá para garantir que

\Bigl{|}\frac{x}{x+2}-1\Bigr{|}\leq\epsilon\,,

(4.4)

para todo $x$ suficientemente grande. Comecemos explicitando a diferença:

\Bigl{|}\frac{x}{x+2}-1\Bigr{|}=\Bigl{|}\frac{-2}{x+2}\Bigr{|}=\frac{2}{|x+2|}% =\frac{2}{x+2}\,.

(4.5)

Os valores absolutos foram removidos na última igualdade, já que $x$ será tomado grande, positivo, o que implica $x+2>0$ . Agora, (4.4) será satisfeita se saber se dá para garantir que

\frac{2}{x+2}\leq\epsilon\,.

Resolvendo a desigualdade obtemos:

x\geq\frac{2}{\epsilon}-2\,.

Como isso pode ser feito com qualquer tolerância, conseguimos provar (4.3).

Vejamos agora um exemplo em que o comportamento quando $x\to\infty$ pode ser diferente do comportamento quando $x\to-\infty$ .

Exemplo 4.3.

Considere $f(x){:=}\frac{|x|}{x+1}$ . Usando a definição do valor absoluto, vemos que essa função é dada por

f(x)=\begin{cases}\frac{x}{x+1}&\text{ se }x\geq 0\,,\\ 0&\text{ se }x=0\,,\\ \frac{-x}{x+1}&\text{ se }x<0\,.\end{cases}

Logo,

\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+1}\,,

e é fácil mostrar que esse limite vale $1$ . Por outro lado,

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{x+1}\,,

e esse limite se calcula facilmente, e é igual a $-1$ .

Observação 4.1.

Podemos ver, graças aos gráficos montados acima com um computador, que a existência dos limites $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$ implica que o gráfico da função se aproxima, longe da origem, de uma reta horizontal (que será chamada de assíntota horizontal). Mas é claro que aprender a esboçar gráficos é um dos objetivos desse curso, então o uso de gráficos até agora deve ser considerado somente como uma ajuda para entender a definição de limite.

Observação 4.2.

Em geral, um limite nem sempre existe. Por exemplo, “ $\lim_{x\to\infty}\operatorname{sen}x$ ” não existe, pois à medida que $x$ cresce, $\operatorname{sen}x$ oscila em torno de $0$ , sem tender a nenhum valor. Um limite pode também ser infinito, como veremos mais adiante.

Exercício 4.2.

Explique porque que $\operatorname{sen}x$ não tende a zero quando $x\to\infty$ no sentido da Definição 4.1. Dica: distinguir os casos $\epsilon\geq 1$ e $0<\epsilon<1$ .

4.1.2 A definição de limite

Mostramos no Exemplo 4.2 que $f(x)=\frac{x}{x+2}$ tende a $1$ quando $x\to\infty$ , provando que a diferença $|\frac{x}{x+2}-1|$ se torna sempre menor a medida que $x$ cresce. Em geral, dizer que os valores de uma função $f(x)$ se aproximam arbitrariamente perto de um valor $\ell$ quando $x$ é grande, é equivalente a dizer que $|f(x)-\ell|$ se torna arbitrariamente pequeno desde que $x$ seja grande o suficiente. Em outras palavras,

Definição 4.2.

Diz-se que $f(x)$ tende a $\ell$ quando $x\to\infty$ , e escreve-se

\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell\,,

(ou às vezes $f(x)\to\ell$ se não tiver ambiguidade) se $f(x)-\ell$ tende a zero, isto é se para todo $\epsilon>0$ (subentendito: arbitrariamente pequeno, mas fixo) existir um $N$ tal que se $x\geq N$ , então

|f(x)-\ell|\leq\epsilon\,.

A definição de $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell$ é parecida, mas “ $x\geq N$ ” é trocado por “ $x\leq-N$ ”.

Observação 4.3.

É sempre subentendido, ao escrever “ $\lim_{x\to\infty}f(x)$ ”, que $f(x)$ é bem definida para todo $x$ suficientemente grande.

Observação 4.4.

Em geral, o número $N$ associado a um $\epsilon>0$ não é único. De fato, suponha que foi mostrado que para um certo $\epsilon>0$ , existe um $N>0$ tal que $|f(x)-\ell|\leq\epsilon$ para todos os $x\geq N$ . Então, definindo por exemplo $N^{\prime}=3N$ , a desigualdade $|f(x)-\ell|\leq\epsilon$ vale também se $x\geq N^{\prime}$ , obviamente. O que importa é ser capaz achar pelo menos um $N$ , não importa quão grande for.

Exercício 4.3.

Usando o método acima, mostre que

\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1}{3x+5}=\frac{2}{3}\,,\quad\lim_{x\to-\infty}\frac% {2x-1}{3x+5}=\frac{2}{3}\,.

Em termos do gráfico de $f$ , $f(x)\to\ell$ deve ser interpretado dizendo que a medida que $x$ aumenta, a distância entre o gráfico de $f$ e a reta de equação $y=\ell$ tende a zero:

d(f(x),\ell)\to 0\,.

Se pelo menos um dos limites $\lim_{x\to\infty}f(x)$ , $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ , existe e vale $\ell$ , diz-se então que a reta $y=\ell$ é assíntota horizontal de $f$ . Por exemplo, a função $f(x)=\frac{x}{x+2}$ do Exemplo 4.2 tem uma assíntota horizontal $y=1$ , que descreve o comportamento quando $x\to-\infty$ e $x\to+\infty$ . A função $f(x)=\frac{|x|}{x+1}$ do Exemplo 4.3, por sua vez, tem a assíntota $y=-1$ que descreve o comportamento quando $x\to-\infty$ , e a assíntota $y=+1$ que descreve o comportamento quando $x\to+\infty$ .

Exercício 4.4.

Calcule os limites abaixo, usando a Definição 4.2:

1.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-1}{5x^{2}}$ .
2.

$\lim_{x\to\infty}f(x)$ , em que $f(x)=\begin{cases}-\cos x&\text{ se }x<0\,,\\ 1&\text{ se }x\geq 0\,.\end{cases}$
3.

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}+\operatorname{sen}^{2}x}$ .

Mencionemos algumas propriedades básicas que decorrem da Definição 4.2:

Proposição 4.1.

Suponha que duas funções, $f$ e $g$ , possuam limites quando $x\to\infty$ :

\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell_{1}\,,\quad\lim_{x\to\infty}g(x)=\ell_{2}\,,

onde $\ell_{1}$ e $\ell_{2}$ são ambos finitos. Então

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)+g(x)\}=\lim_{x\to\infty}f(x)+\lim_{x\to% \infty}g(x)=\ell_{1}+\ell_{2}\,,$		(4.6)
	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)g(x)=\bigl{(}\lim_{x\to\infty}f(x)\bigr{)}% \cdot\bigl{(}\lim_{x\to\infty}g(x)\bigr{)}=\ell_{1}\cdot\ell_{2}\,.$		(4.7)

Além disso, se $\ell_{2}\neq 0$ , então

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to\infty}f(x)}{\lim_{x\to% \infty}g(x)}=\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\,.

(4.8)

As mesmas propriedades valem no caso $x\to-\infty$ .

Demonstração.

Provaremos somente (4.6). Seja $\epsilon>0$ . Definamos $\epsilon_{1}{:=}\epsilon/2$ . Por definição, $\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell_{1}$ implica que existe $N_{1}$ tal que se $x>N_{1}$ então $|f(x)-\ell_{1}|\leq\epsilon_{1}$ . Por outro lado, se $\epsilon_{2}{:=}\epsilon/2$ , então $\lim_{x\to\infty}g(x)=\ell_{2}$ implica, por definição, que existe $N_{2}$ tal que se $x>N_{2}$ então $|g(x)-\ell_{2}|\leq\epsilon_{2}$ . Logo, se $x$ é maior que $N_{1}$ e $N_{2}$ ao mesmo tempo, temos

	$\displaystyle\bigl{\|}(f(x)+g(x))-(\ell_{1}+\ell_{2})\bigr{\|}$	$\displaystyle=\bigl{\|}(f(x)-\ell_{1})+(g(x)-\ell_{2})\bigr{\|}$
		$\displaystyle\leq\|f(x)-\ell_{1}\|+\|g(x)-\ell_{2}\|\leq\epsilon_{1}+\epsilon_{2}=% \epsilon\,.$

∎

A identidade (4.7) implica em particular que se $\lambda$ é uma constante (isto é, um número que não depende de $x$ ), então

\lim_{x\to\infty}(\lambda f(x))=\lambda\lim_{x\to\infty}f(x)\,.

(4.9)

A maior parte do tempo não precisaremos passar pelo uso de tolerâncias para calcular limites. Em vez disso, usaremos as propriedades acima, e alguns limites conhecidos, para calcular outros limites mais complicados. Por exemplo, tendo feito o Exercício 4.4, podemos calcular o seguinte limite, usando somente as propriedades básicas da proposição, sem passar pela escolha de tolerâncias arbitrariamente pequenas, etc.:

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}-2}{5x^{2}(x^{3}+\operatorname{sen}^% {2}x)}$	$\displaystyle=\lim_{x\to\infty}2\cdot\frac{x^{2}-1}{5x^{2}}\cdot\frac{1}{x^{3}% +\operatorname{sen}^{2}x}$
		$\displaystyle=2\cdot\Bigl{\{}\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-1}{5x^{2}}\Bigr{\}}% \cdot\Bigl{\{}\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}+\operatorname{sen}^{2}x}\Bigr{\}}$
		$\displaystyle=2\cdot\tfrac{1}{5}\cdot 0$
		$\displaystyle=0\,.$

4.1.3 Limites infinitos

Em geral, uma função qualquer $f(x)$ não precisa possuir limites no infinito. Isto é, $f(x)$ pode não se aproximar de nenhum valor finito quando $x$ toma valores grandes. Por exemplo, já mencionamos que as funções trigonométricas, por serem periódicas, não possuem limites quando $x\to\pm\infty$ .

Mas já sabemos que várias funções não-limitadas, como $x^{2}$ , tomam valores arbitrariamente grandes ao $x$ se afastar da origem. Neste caso, o limite não existe no sentido de ser finito. No entanto, gostaríamos de poder escrever:

\lim_{x\to\infty}x^{2}=+\infty\,.

Aqui não se trata de usar tolerâncias, mas de definir precisamente o que significa ultrapassar qualquer valor finito a medida que $x$ cresce. Por exemplos, $f(x)=x^{2}$ ultrapassa o valor $100$ , a partir de $x=10$ em diante, isto é para todos os $x\geq 10$ . Mas ela também ultrapassa o valor $10^{\prime}000$ , para todos os $x\geq 100$ , etc.

Definição 4.3.

Diz-se que $f(x)$ tende a $+\infty$ quando $x\to\infty$ se para qualquer $A>0$ (subentendido: arbitrariamente grande, fixo) existe um $N$ tal que $f(x)\geq A$ para todo $x\geq N$ . Diz-se que $f(x)$ tende a $-\infty$ quando $x\to\infty$ se para qualquer $A<0$ existe um $N$ tal que $f(x)\leq A$ para todo $x\geq N$ . (Limites infinitos no caso $x\to-\infty$ se definem de maneira parecida, trocando “ $x\geq N$ ” por “ $x\leq-N$ ”.)

Vejamos primeiro alguns exemplos de funções fundamentais que tem limites infinitos.

Começaremos com potências inteiras, $x^{p}$ , $p>0$ ,

\lim_{x\to\infty}x^{p}=+\infty\,,\quad\lim_{x\to-\infty}x^{p}=\begin{cases}+% \infty&\text{ se $p$ \'{e} par,}\\ -\infty&\text{ se $p$ \'{e} \'{\i}mpar.}\end{cases}

(4.10)

Exemplo 4.4.

Calculemos o limite

\lim_{x\to\infty}\{x^{2}+\operatorname{sen}(10x)\}\,.

Sabemos que $x^{2}$ tende a $+\infty$ , mas que o $\operatorname{sen}(\cdot)$ não tem limite. No entanto, o $\operatorname{sen}(10x)$ é limitado por $1$ em valor absoluto. Logo, parece que a soma acima deve também tender a $+\infty$ . Para provar isso, fixemos um $A>0$ qualquer. Para mostrar que $x^{2}+\operatorname{sen}(10x)\geq A$ para todos os $x$ suficientemente grandes, comecemos observando que $\operatorname{sen}(10x)\geq-1$ , o que permite escrever (veja a figura abaixo):

x^{2}+\operatorname{sen}(10x)\geq x^{2}-1

(4.11)

Mas, observe que $x^{2}-1\geq A$ quando $x\geq N$ , onde $N=\sqrt{A+1}$ . Agora, é claro que por (4.11) temos também $x^{2}+\operatorname{sen}(10x)\geq A$ quando $x\geq N$ . Como o $A$ era arbitrário, isso mostra que

\lim_{x\to\infty}\{x^{2}+\operatorname{sen}(10x)\}=+\infty\,.

Vimos que, dependendo da base, as exponenciais e os logaritmos possuem comportamentos diferentes no infinito. Se a base for $a>1$ ,

\boxed{\lim_{x\to\infty}a^{x}=+\infty\,,\quad\quad\lim_{x\to-\infty}a^{x}=0\,.}

(4.12)

Em particular,

\boxed{\lim_{x\to\infty}e^{x}=+\infty\,,\quad\quad\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0\,.}

(4.13)

Por outro lado, se a base for $a<1$ ,

\boxed{\lim_{x\to\infty}a^{x}=0\,,\quad\quad\lim_{x\to-\infty}a^{x}=+\infty\,.}

(4.14)

Os logaritmos, por sua vez,

\boxed{\lim_{x\to\infty}\log_{a}x=\begin{cases}+\infty&\text{ se $a>1$,}\\ -\infty&\text{ se $a<1$.}\end{cases}}

(4.15)

Observe que “ $\lim_{x\to-\infty}\log_{a}x$ ” não faz sentido, já que o domínio de $\log_{a}$ é $(0,\infty)$ !

Exercício 4.5.

Mostre que se $\lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty$ , então

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{f(x)}=0\,.

A propriedade provada no último exercício permite obter o comportamento no infinito para as potências negativas: $x^{-q}=\tfrac{1}{x^{q}}$ , com $q>0$ . Como $\lim_{x\to\infty}x^{q}=+\infty$ , temos

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{q}}=0\,.

O limite $x\to-\infty$ se calcula da mesma maneira.

Exercício 4.6.

Mostre que

\lim_{L\to\infty}\frac{1}{L^{1-p}}=\begin{cases}0&\text{ se }p<1\,,\\ 1&\text{ se }p=1\,,\\ \infty&\text{ se }p>1\,.\end{cases}

É importante notar que em geral, as propriedades descritas na Proposição 4.1 não se aplicam quando os limites envolvidos são infinitos. Aparece frequentemente de ter que lidar com quocientes $\frac{f(x)}{g(x)}$ ou diferenças $f(x)-g(x)$ , em que ambos $f(x)\to\infty$ e $g(x)\to\infty$ . Neste caso, as identidades da Proposição 4.1 não se aplicam, e um estudo caso a caso é preciso.

Produtos de números grandes

Na propriedade (4.7), insistimos sobre o fato dos dois limites $\lim_{x\to\infty}f(x)$ e $\lim_{x\to\infty}g(x)$ existirem e serem finitos para poder escrever

\lim_{x\to\infty}\{f(x)\cdot g(x)\}=\bigl{(}\lim_{x\to\infty}f(x)\bigr{)}\cdot% \bigl{(}\lim_{x\to\infty}g(x)\bigr{)}\,.

(4.16)

É importante entender que existem casos em que essa relação não pode ser usada.

Considere $f(x)=x$ , $g(x)=\frac{1}{x}$ . Neste caso, $f(x)g(x)=1$ , portanto o lado esquerdo de (4.16) é igual a

\lim_{x\to\infty}\{f(x)\cdot g(x)\}=\lim_{x\to\infty}1=1\,.

Mas o lado direito é igual a

\bigl{(}\lim_{x\to\infty}f(x)\bigr{)}\cdot\bigl{(}\lim_{x\to\infty}g(x)\bigr{)% }=\infty\cdot 0\,.

Portanto, se (4.16) fosse verdadeira, teríamos

``1=\infty\cdot 0"\,,

o que já mostra que há um problema: zero multiplicado por outra coisa dificilmente pode dar $1$ … Mas, se agora $f(x)=2x$ , $g(x)=\frac{1}{x}$ , então $f(x)g(x)=2$ , e o mesmo raciocíno leva a

``2=\infty\cdot 0"\,.

Ou, com $f(x)=x^{2}$ e $g(x)=\frac{1}{x}$ ,

``\infty=\infty\cdot 0"\,.

Sabemos que qualquer número multiplicado por zero dá zero, mesmo se o número for grande:

0\cdot 10=0\,,\quad\quad 0\cdot 100=0\,,\quad\quad 0\cdot 10000000=0\,,\quad% \quad\text{ etc.}

Mas os exemplos acima mostram que há um problema com “ $0\cdot\infty$ ”, e lembram que “ $\infty$ ” não pode ser manuseado como os outros números reais: em geral “ $0\cdot\infty$ ” não vale zero, e pode valer qualquer coisa. É por isso que será sempre escrito usando aspas. A gente chama “ $\infty\cdot 0$ ” (ou “ $0\cdot\infty$ ”) de forma indeterminada.

Em termos de limites, o exemplo acima mostra que não se pode aplicar (4.16) quando um dos limites é infinito e o outro zero. No entanto,

Proposição 4.2.

Se $\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty$ e $\lim_{x\to\infty}g(x)=\ell$ , $\ell\neq 0$ , então

\lim_{x\to\infty}\{f(x)\cdot g(x)\}=\begin{cases}+\infty&\text{ se }\ell>0\,,% \\ -\infty&\text{ se }\ell<0\,.\\ \end{cases}

Exemplo 4.5.

Por exemplo, já que $\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+2}=1>0$ e $\lim_{x\to\infty}e^{x}=+\infty$ ,

\lim_{x\to\infty}\frac{xe^{x}}{x+2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+2}\cdot e^{x}=% +\infty\,.

Quocientes de números grandes

No Exemplo 4.3 calculamos $\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+2}=1$ . Observe que este limite é da forma

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\,,

em que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ e $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$ . Portanto, podemos dizer que é uma forma indeterminada

``\frac{\infty}{\infty}"\,.

Em geral, ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado não existe ou que ele não pode ser calculado, mas que um estudo mais minucioso é necessário. De fato, os exemplos a seguir são todos limites da forma “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”, mas todos podem ser calculados explicitamente e dar valores diferentes:

\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^{2}}=0\,,\quad\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}}% =1\,,\quad\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x^{2}}=\infty\,,\,\text{ etc.}

Observação 4.5.

Na verdade as indeterminações da forma “ $\frac{\infty}{\infty}$ ” são equivalentes às indeterminações da forma “ $\infty\cdot 0$ ”. De fato, se $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ é “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”, podemos escrever

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\Bigl{\{}f(x)\cdot\frac{1}% {g(x)}\Bigr{\}}\,.

Como $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ e $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{g(x)}=0$ , o limite acima é também da forma “ $\infty\cdot 0$ ”.

No próximos exemplos mostraremos várias técnicas que permitem resolver indeterminações do tipo “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Começaremos com razões de polinômios, em que os polinômios têm o mesmo grau.

Exemplo 4.6.

Calcularemos um limite parecido com o do Exemplo 4.2:

\lim_{x\to\infty}\frac{3x-5}{x+2}\,.

É fácil mostrar que esse limite é igual a $3$ , mas paremos para pensar de uma maneira diferente. Na fração acima, quando $x$ é grande, o numerador $3x-5$ e o denominador $x+2$ são ambos grandes. No entanto quando $x$ for grande, no numerador o “ $-5$ ” se torna desprezível comparado com o “3x”, e no denominador o “ $+2$ ” se torna desprezível comparado com o “ $x$ ”. Portanto, para $x$ grande, gostaríamos de pensar que

\frac{3x-5}{x+2}\quad\text{ pode ser aproximado por }\quad\frac{3x}{x}\,,\quad% \text{ que (ap\'{o}s simplifica\c{c}\~{a}o) \'{e} igual a }3\,.

Esse argumento não é perfeitamente rigoroso, mas sugere que o limite é $3$ . Para tornar ele mais rigoroso, colocamos $x$ em evidência no denominador, e simplificamos por $x$ :

\frac{3x-5}{x+2}=\frac{x(3-\frac{5}{x})}{x(1+\frac{2}{x})}=\frac{3-\frac{5}{x}% }{1+\frac{2}{x}}\,.

(4.17)

Isso é só um outro jeito de reescrever a fração, mas agora observe que quando $x\to\infty$ , o limite desta última fração não é mais da forma “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”! Assim, usando (4.17), (4.6) e (4.8):

\lim_{x\to\infty}\frac{3x-5}{x+2}=\lim_{x\to\infty}\frac{3-\frac{5}{x}}{1+% \frac{2}{x}}=\frac{\lim_{x\to\infty}(3-\frac{5}{x})}{\lim_{x\to\infty}(1+\frac% {2}{x})}=\frac{3-0}{1+0}=3\,.

Neste último exemplo aprendemos a extrair, em uma fração, as partes mais importantes. Vejamos mais um exemplo.

Exemplo 4.7.

Considere

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+1000x}{2x^{3}+1}\,.

Vemos que tem dois termos de grau $3$ , um termo de grau $1$ e um termo de grau $0$ (aquele $+1$ ). O que importa, aqui, é que no limite $x\to\infty$ , os termos de grau $3$ vão ser os mais importantes. De fato, quando $x$ for grande, $x^{3}$ sendo $x\cdot x\cdot x$ , será muito maior que $x$ . Logo, vamos extrair os termos de grau $3$ no numerador e denominador, simplificar, e usar (4.6)-(4.8):

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+1000x}{2x^{3}+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}(1+% \frac{1000}{x^{2}})}{x^{3}(2+\frac{1}{x^{3}})}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{% 1000}{x^{2}}}{2+\frac{1}{x^{3}}}=\frac{\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1000}{x^{2}})% }{\lim_{x\to\infty}(2+\frac{1}{x^{3}})}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}\,.

Extrair os termos de grau maior no numerador e denominador pode ser feito em outras situações, com potências que não são inteiras.

Exemplo 4.8.

Considere

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{5}-x^{2}+1}{2x^{5}+3\sqrt{x}}\,.

O limite é da forma “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”, e a fração contem termos de grau $5$ , $2$ , $\tfrac{1}{2}$ e $0$ . Extraindo o termo de grau maior,

\frac{x^{5}-x^{2}+1}{2x^{5}+3\sqrt{x}}=\frac{x^{5}(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{5% }})}{x^{5}(2+\frac{3}{x^{9/2}})}=\frac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{5}}}{2+\frac{% 3}{x^{9/2}}}\,,

o limite do novo quociente não é mais indeterminado. De fato, o novo numerador satisfaz $\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{5}})=1-0+0=1$ , e o denominador $\lim_{x\to\infty}(2+\frac{3}{x^{9/2}})=2+0=2$ , que é diferente de zero. Logo, por (4.8),

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{5}-x^{2}+1}{2x^{5}+3\sqrt{x}}=\frac{\lim_{x\to\infty% }(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{5}})}{\lim_{x\to\infty}(2+\frac{3}{x^{9/2}})}=% \frac{1}{2}\,.

Vejamos agora dois exemplos em que o denominador e o numerador tem graus diferentes.

Exemplo 4.9.

Considere o seguinte limite, da forma “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”:

\lim_{x\to\infty}\frac{x+2x^{2}}{1+x^{4}}\,.

Extraindo os termos de grau maior em cima e em baixo,

\frac{x+2x^{2}}{1+x^{4}}=\frac{x^{2}(2+\frac{1}{x})}{x^{4}(1+\frac{1}{x^{4}})}% =\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^{4}}}

Logo, como $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}=0$ e $\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^{4}}}=2$ , (4.7) implica

\lim_{x\to\infty}\frac{x+2x^{2}}{1+x^{4}}=0\cdot 2=0\,.

Exemplo 4.10.

Estudemos agora

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+2}{x+1}\,,

que representa também uma indeterminação do tipo “ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Mas, pondo os termos de grau $2$ em evidência,

\frac{x^{2}+2}{x+1}=\frac{x^{2}(1+\frac{2}{x^{2}})}{x(1+\frac{1}{x})}=x\cdot% \frac{1+\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}}\,.

Observe agora que o primeiro fator, $x$ , tende a $+\infty$ , e que o segundo fator, $\frac{1+\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}}$ , tende a $1$ . Logo, pela Proposição 4.2,

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+2}{x+1}=\lim_{x\to\infty}x\cdot\frac{1+\frac{2}{x% ^{2}}}{1+\frac{1}{x}}=+\infty\,.

Exercício 4.7.

Calcule os limites abaixo, evitando o uso da definição formal. Abaixo, $x\to\pm\infty$ significa que são dois limites para calcular: $x\to+\infty$ e $x\to-\infty$ .

1.

$\lim_{x\to\pm\infty}\{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\}$
2.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-1}{x^{2}}$
3.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-x^{2}}{x^{2}-1}$
4.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^{3}+x^{2}+1}{x^{3}+x}$
5.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^{3}-2}{x^{4}+x}$
6.

$\lim_{x\to\infty}\frac{1+x^{4}}{x^{2}+4}$
7.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$
8.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x}$
9.

$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{\sqrt{x^{2}+3}-4}$
10.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}$
11.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{|x|}{x^{2}+1}$
12.

$\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt{x^{2}+1}$
13.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{2^{x}}$
14.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{e^{x}+100}{e^{-x}-1}$
15.

$\lim_{x\to\pm\infty}\ln(1+\frac{x+1}{x^{2}})$
16.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\ln(1+e^{x})}{x}$
17.

$\lim_{x\to\pm\infty}e^{\frac{1}{x}}$
18.

$\lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{sen}^{2}x$
19.

$\lim_{x\to\pm\infty}\arctan x$
20.

$\lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{senh}x$
21.

$\lim_{x\to\pm\infty}\cosh x$
22.

$\lim_{x\to\pm\infty}\tanh x$

Exercício 4.8.

Um tempo $t$ depois de ter pulado do avião, a velocidade vertical de um paraquedista em queda livre é dada por:

V(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh\Bigl{(}\sqrt{\frac{gk}{m}}t\Bigr{)}\,,

onde $m$ é a massa do paraquedista, $g=9,81m/s^{2}$ , e $k$ é um coeficiente de resistência (atrito) do ar (em $kg/m$ ). Esboce $t\mapsto V(t)$ , e calcule o limite de velocidade $V_{\rm lim}$ (que ele nunca atingirá). Dê uma estimativa de $V_{\rm lim}$ quando $m=80kg$ , $k=0.1kg/m$ .

Somas e diferenças de números grandes

Na propriedade (4.6), insistimos sobre o fato dos dois limites $\lim_{x\to\infty}f(x)$ e $\lim_{x\to\infty}g(x)$ serem finitos para poder escrever

\lim_{x\to\infty}\{f(x)+g(x)\}=\lim_{x\to\infty}f(x)+\lim_{x\to\infty}g(x)\,.

Quando os dois limites são infinitos, com o mesmo sinal, então o limite da soma pode também ser calculado:

Exemplo 4.11.

Considere $x+x^{3}$ . Como $\lim_{x\to\infty}x=+\infty$ e $\lim_{x\to\infty}x^{3}=+\infty$ (aqui, ambos tem o sinal “ $+$ ”), temos $\lim_{x\to\infty}\{x+x^{3}\}=+\infty$ .

Agora, para estudar $\lim_{x\to\infty}\{f(x)-g(x)\}$ , com $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ e $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$ , leva a um caso de indeterminação do tipo “ $\infty-\infty$ ”. Vejamos exemplos que ilustram que de fato, “ $\infty-\infty$ ” pode tomar qualquer valor.

Exemplo 4.12.

Considere $x^{3}-x^{2}$ , em que $\lim_{x\to\infty}x^{3}=+\infty$ e $\lim_{x\to\infty}x^{2}=+\infty$ . Como o termo de grau maior deve ser mais importante, escrevamos $x^{3}-x^{2}=x^{3}(1-\frac{1}{x})$ . Como $x^{3}\to\infty$ e $1-\frac{1}{x}\to 1$ , a Proposição 4.2 garante que

\lim_{x\to\infty}\{x^{3}-x^{2}\}=+\infty\,.

O que aconteceu aqui se resume assim: $x^{3}$ e $x^{2}$ ambos tendem a $+\infty$ , mas $x^{3}$ cresce mais rápido que $x^{2}$ , e isso implica que a diferença $x^{3}-x^{2}$ é regida (quando $x$ é grande) pelo termo $x^{3}$ .

Exemplo 4.13.

A diferença $x^{2}-x^{4}$ no limite $x\to\infty$ pode ser estudada da mesma maneira: $x^{2}-x^{4}=x^{4}(\frac{1}{x^{2}}-1)$ , e como $x^{4}\to\infty$ , $(\frac{1}{x^{2}}-1)\to-1$ , temos que $x^{2}-x^{4}\to-\infty$ . Aqui, é o termo $-x^{4}$ que rege o comportamento para $x$ grande.

Exemplo 4.14.

Considere $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ . Quando $x\to\infty$ , os dois termos $\sqrt{x+1}$ e $\sqrt{x}$ tendem a $+\infty$ , mas eles são do mesmo grau. Como calcular o limite dessa diferênça? O método usado aqui consiste em multiplicar e dividir pelo conjugado, isto é, escrever “ $1$ ” como

1=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\,.

Lembrando que $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ ,

\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}% +\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+1}^{2}-\sqrt{x}^{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{% \sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\,.

Mas como $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\to\infty$ , temos

\lim_{x\to\infty}\{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+% \sqrt{x}}=0\,.

Exercício 4.9.

Calcule os limites quando $x\to\infty$ das seguintes funções.

1.

$7-x$
2.

$\sqrt{1-x}$
3.

$x+\cos x$
4.

$100x-x^{2}$
5.

$x^{7}-x^{7}$
6.

$x^{4}-\tfrac{1}{2}x^{4}$
7.

$(x-1)^{2}-x^{2}$
8.

$x-\sqrt{x}$
9.

$\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-x}$
10.

$\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-3x}$
11.

$\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}$
12.

$e^{x}-e^{2x}$
13.

$\ln(x)-\ln(2x)$
14.

$\ln(x)-\ln(x+1)$

O “sanduiche”

Exemplo 4.15.

Considere o limite $\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{x}$ . Sabemos que o denominador tende a $+\infty$ , mas $\operatorname{sen}x$ não possui limite quando $x\to\infty$ . Apesar de tudo, sabemos que $\operatorname{sen}x$ é uma função limitada: para todo $x$ , $-1\leq\operatorname{sen}x\leq+1$ . Portanto, quando $x>0$ ,

-\frac{1}{x}\leq\frac{\operatorname{sen}x}{x}\leq+\frac{1}{x}\,.

Mas como a cota superior $+\frac{1}{x}$ tende a zero, e que a cota inferior $-\frac{1}{x}$ também tende a zero, a função $\frac{\operatorname{sen}x}{x}$ também deve tender a zero:

Esse método vale em geral:

Teorema 4.1.

Suponha que $f$ , $g$ e $h$ seja três funções que satisfazem

g(x)\leq f(x)\leq h(x)\,,\text{ para todo $x$ suficientemente grande.}

Suponha também que $\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=\ell$ . Então $\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell$ .

Exercício 4.10.

Calcule:

1.

$\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos(x^{2}+3x)}{x^{2}}$
2.

$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\operatorname{sen}x}{x-\cos x}$
3.

$\lim_{x\to\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x$
4.

$\lim_{x\to\infty}\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x}$
5.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\arctan(\operatorname{sen}x)}{\ln x}$
6.

$\lim_{x\to\infty}\bigl{\{}1+\frac{\operatorname{sen}x}{x^{2}+4}\bigr{\}}$

Observação 4.6.

Alguns limites no infinito, tais como $\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x}$ ou $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}$ , não podem ser calculados com os métodos desenvolvidos até agora; serão estudados mais tarde.

4.1 Limites limx→±∞f⁢(x)\lim_{x\to\pm\infty}f(x)