4.8 O limite limx→∞axx\lim_{x\to\infty}\frac{a^{x}}{x}

Nesta seção veremos como calcular alguns limites que envolvem exponenciais e logaritmos, do tipo

limx→∞exx,limx→∞(ln⁡x)3x,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x}\,,\quad\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{3}}{x}% \,,\dots\quad

Esses limites costumam ser estudados usando a regra de Bernoulli-l’Hîpital, que será vista no Capítulo 6. Será suficiente considerar um caso.

Exemplo 4.31.

Mostraremos aqui que

limx→∞axx={+∞ se ⁹a>1,0 se ⁹0<a≀1.\boxed{\lim_{x\to\infty}\frac{a^{x}}{x}=\begin{cases}+\infty&\text{ se }a>1\,,% \\ 0&\text{ se }0<a\leq 1\,.\end{cases}} (4.26)

Quando a=1a=1, o limite Ă© simplesmente limx→∞a0x=limx→∞1x=0\lim_{x\to\infty}\frac{a^{0}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0. Quando 0<a<10<a<1, temos limx→∞ax=0\lim_{x\to\infty}a^{x}=0 (lembre de (4.14)), o que implica limx→∞axx=limx→∞ax⋅1x=0⋅0=0\lim_{x\to\infty}\frac{a^{x}}{x}=\lim_{x\to\infty}a^{x}\cdot\frac{1}{x}=0\cdot 0=0. Portanto, falta tratar o caso a>1a>1. Observe que nesse caso, podemos escrever a=1+ÎČa=1+\beta, com ÎČ>0\beta>0.

axx=(1+ÎČ)xx.\frac{a^{x}}{x}=\frac{(1+\beta)^{x}}{x}\,.

Suponhamos agora que x>0x>0 seja grande. Como x≄⌊x⌋x\geq\lfloor x\rfloor, temos (1+ÎČ)x≄(1+ÎČ)⌊x⌋(1+\beta)^{x}\geq(1+\beta)^{\lfloor x\rfloor}. Agora, como ⌊x⌋\lfloor x\rfloor Ă© inteiro. Assim podemos usar a fĂłrmula do binĂŽmio de Newton 11 1 (A+B)n=∑k=0n(nk)⁹Ak⁹Bn−k(A+B)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}A^{k}B^{n-k}. Aqui usamos essa fĂłrmula com A=1A=1, B=ÎČB=\beta.:

(1+ÎČ)⌊x⌋\displaystyle(1+\beta)^{\lfloor x\rfloor} =1+ÎČⁱ⌊x⌋+ÎČ2ⁱ⌊x⌋ⁱ(⌊x⌋−1)2+⋯+⌊x⌋ⁱ(⌊x⌋−1)2⁹ÎČ⌊x⌋\displaystyle=1+\beta{\lfloor x\rfloor}+\beta^{2}\frac{{\lfloor x\rfloor}({% \lfloor x\rfloor}-1)}{2}+\dots+\frac{{\lfloor x\rfloor}({\lfloor x\rfloor}-1)}% {2}\beta^{\lfloor x\rfloor}
≄ÎČ2ⁱ⌊x⌋ⁱ(⌊x⌋−1)2.\displaystyle\geq\beta^{2}\frac{{\lfloor x\rfloor}({\lfloor x\rfloor}-1)}{2}\,.

Nesta Ășltima desigualdade observamos que todos os termos da soma sĂŁo positivos, e mantivemos somente o termo de ordem 22. Portanto, axx≄ÎČ2ⁱ⌊x⌋2−⌊x⌋2⁹x\frac{a^{x}}{x}\geq\beta^{2}\frac{{\lfloor x\rfloor}^{2}-{\lfloor x\rfloor}}{2% {x}}. Mas, como

limx→∞⌊x⌋2−⌊x⌋2ⁱx=+∞,\lim_{x\to\infty}\frac{{\lfloor x\rfloor}^{2}-{\lfloor x\rfloor}}{2{x}}=+% \infty\,,

provamos o resultado desejado: limx→∞axx=+∞\lim_{x\to\infty}\frac{a^{x}}{x}=+\infty.

Exemplo 4.32.

Podemos usar o Ășltimo exemplo para mostrar que se a>1a>1, entĂŁo para todo inteiro p>0p>0,

limx→∞axxp=+∞.\boxed{\lim_{x\to\infty}\frac{a^{x}}{x^{p}}=+\infty\,.} (4.27)

De fato, podemos sempre escrever axxp=(bxx)p\frac{a^{x}}{x^{p}}=(\frac{b^{x}}{x})^{p}, em que b=a1/pb=a^{1/p}. Como a>1a>1, vale b>1b>1 também. Logo, por (4.26),

limx→∞axxp=limx→∞(bxx)p=(limx→∞bxx)p=+∞.\lim_{x\to\infty}\frac{a^{x}}{x^{p}}=\lim_{x\to\infty}\bigl{(}\frac{b^{x}}{x}% \bigr{)}^{p}=\Bigl{(}\lim_{x\to\infty}\frac{b^{x}}{x}\Bigr{)}^{p}=+\infty\,.

A partir dos exemplos anteriores podemos calcular outros limites: para todo a>1a>1 e todo inteiro p>0p>0,

limx→∞(loga⁡x)px=0\boxed{\lim_{x\to\infty}\frac{(\log_{a}x)^{p}}{x}=0}

De fato, com a mudança y=loga⁡xy=\log_{a}x, x→∞x\to\infty implica y→∞y\to\infty, logo por (4.27)

limx→∞(loga⁡x)px=limy→∞ypay=limy→∞1ayyp=0.\lim_{x\to\infty}\frac{(\log_{a}x)^{p}}{x}=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{p}}{a^{y}% }=\lim_{y\to\infty}\frac{1}{\frac{a^{y}}{y^{p}}}=0\,.
ExercĂ­cio 4.29.

Calcule os limites abaixo.

  1. 1.
    ​

    limx→∞exx3\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{3}}

  2. 2.
    ​

    limx→∞0.5xⁱ(188)xx16\lim_{x\to\infty}\frac{0.5^{x}(\tfrac{18}{8})^{x}}{x^{16}}

  3. 3.
    ​

    limx→∞e−2ⁱxx\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-2x}}{x}

  4. 4.
    ​

    limx→∞e5ⁱxx−2\lim_{x\to\infty}\frac{e^{5x}}{x^{-2}}

  5. 5.
    ​

    limx→∞(log3⁡x)74ⁱx\lim_{x\to\infty}\frac{(\log_{3}x)^{7}}{4x}

  6. 6.
    ​

    limx→∞e2ⁱx+3ⁱx5(ex+1)2+2ⁱx3\lim_{x\to\infty}\frac{e^{2x}+3x^{5}}{(e^{x}+1)^{2}+2x^{3}}