4.5 Limites laterais infinitos, assíntotas verticais

Vimos casos em que limites laterais são iguais, casos em que eles são diferentes, e casos em que eles nem existem. Vejamos agora casos em que eles são infinitos.

Exemplo 4.25.

Considere primeiro f⁢(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}. Já vimos que a ff não é limitada, e à medida que x>0x>0 tende a zero, 1x\frac{1}{x} cresce e toma valores positivos arbitrariamente grandes. Por outro lado se x<0x<0 tende a zero, 1x\frac{1}{x} decresce e toma valores negativos arbitrariamente grandes:

limx→0+1x=+∞,limx→0−1x=−∞.\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty\,,\quad\quad\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=% -\infty\,.

De modo geral, qualquer xpx^{p} com potência inteira negativa p=−qp=-q, q>0q>0:

limx→0+1xq=+∞,limx→0−1xq={+∞ se q é par ,−∞ se q é ímpar .\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{q}}=+\infty\,,\quad\quad\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}% {x^{q}}=\begin{cases}+\infty&\text{ se $q$ \'{e} par\,,}\\ -\infty&\text{ se $q$ \'{e} \'{\i}mpar\,.}\end{cases}
Exercício 4.20.

Tente definir rigorosamente limx→a+f⁢(x)=+∞\lim_{x\to a^{+}}f(x)=+\infty, limx→a+f⁢(x)=−∞\lim_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty.

Definição 4.6.

Se pelo menos um dos limites limx→a+f⁢(x)\lim_{x\to a^{+}}f(x) ou limx→a−f⁢(x)\lim_{x\to a^{-}}f(x) é ±∞\pm\infty, diremos que a reta vertical de equação x=ax=a é assíntota vertical da função ff.

Exemplo 4.26.

Como limx→0+loga⁡x=−∞\lim_{x\to 0^{+}}\log_{a}x=-\infty se a>1a>1, =+∞=+\infty se 0<a<10<a<1, x=0x=0 é assíntota vertical da função loga\log_{a}.

Exemplo 4.27.

A função tangente possui infinitas assíntotas verticais, de equações x=π2+k⁢πx=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k∈ℤk\in\mathbb{Z}, já que para todo k∈ℤk\in\mathbb{Z},

limx→(π2+k⁢π)−tan⁡x=+∞,limx→(π2+k⁢π)+tan⁡x=−∞.\lim_{x\to(\tfrac{\pi}{2}+k\pi)^{-}}\tan x=+\infty\,,\quad\quad\lim_{x\to(% \tfrac{\pi}{2}+k\pi)^{+}}\tan x=-\infty\,.
Exercício 4.21.

Calcule os limites.

  1. 1.
    ​

    limx→2+x2+5⁢x+6x+2\lim_{{x}\to{2^{+}}}\frac{x^{2}+5x+6}{x+2}

  2. 2.
    ​

    limx→−2+x2+5⁢x+6x+2\lim_{{x}\to{-2^{+}}}\frac{x^{2}+5x+6}{x+2}

  3. 3.
    ​

    limx→−2±x2+5⁢x−6x+2\lim_{{x}\to{-2^{\pm}}}\frac{x^{2}+5x-6}{x+2}

  4. 4.
    ​

    limx→2+x−2(x2−4)2\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-2}{(\sqrt{x^{2}-4})^{2}}

  5. 5.
    ​

    limx→−2−x−2(x2−4)2\lim_{x\to-2^{-}}\frac{x-2}{(\sqrt{x^{2}-4})^{2}}

  6. 6.
    ​

    limt→0+ln⁡t−t\lim_{{t}\to{0^{+}}}\ln t-t

  7. 7.
    ​

    limt→0−ln⁡t−t\lim_{{t}\to{0^{-}}}\ln t-t

  8. 8.
    ​

    limt→0±1sen⁡t\lim_{t\to 0^{\pm}}\frac{1}{\operatorname{sen}t}

  9. 9.
    ​

    limt→0±tsen⁡t\lim_{t\to 0^{\pm}}\frac{t}{\operatorname{sen}t}

  10. 10.
    ​

    limt→0+sen⁡1tt\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}\frac{1}{t}}{t}

  11. 11.
    ​

    limz→0±91z\lim_{{z}\to{0^{\pm}}}9^{\frac{1}{z}}

  12. 12.
    ​

    limx→0+ln⁡1x\lim_{x\to 0^{+}}\ln\frac{1}{x}

  13. 13.
    ​

    limx→0log⁡(x2)\lim_{{x}\to{0}}\log(x^{2})

  14. 14.
    ​

    limx→0ex−1x\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}

Exercício 4.22.

Na Teoria da Relatividade Restrita (ou Especial), cujo principal postulado é que a velocidade da luz é uma constante c>0c>0 para qualquer observador, é provado que a massa efetiva de uma partícula em movimento uniforme depende da sua velocidade. Se a massa no repouso é m0m_{0}, então a sua massa efetiva quando a partícula tem uma velocidade constante vv é dada por

mv=m01−v2c2.m_{v}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\,.

Estude mvm_{v} quando vv se aproxima da velocidade da luz.

Exercício 4.23.

Considere f⁢(x)=x+1x−1f(x)=\frac{x+1}{x-1}. Estude os limites relevantes e ache as assíntotas (horizontais e verticais) de ff. A partir dessas informações, monte o gráfico de ff.

Exercício 4.24.

Dê o domínio e ache as assíntotas (horizontais e verticais), caso existam, das funções

  1. 1.
    ​

    2⁢x+12x+1

  2. 2.
    ​

    1x+1\frac{1}{x+1}

  3. 3.
    ​

    x2−9x−3\frac{x^{2}-9}{x-3}

  4. 4.
    ​

    2⁢x−3x\frac{2x-3}{x}

  5. 5.
    ​

    1−xx+3\frac{1-x}{x+3}

  6. 6.
    ​

    xx\frac{x}{x}

  7. 7.
    ​

    log5⁡(2−x)\log_{5}(2-x)

  8. 8.
    ​

    x3+1xx^{3}+\frac{1}{x}

  9. 9.
    ​

    sen⁡xx\frac{\operatorname{sen}x}{x}

  10. 10.
    ​

    cos⁡xx\frac{\cos x}{x}

  11. 11.
    ​

    x2+4⁢x−21x2−x+6\frac{x^{2}+4x-21}{x^{2}-x+6}

  12. 12.
    ​

    ln⁡(1−x2)\ln(1-x^{2})

  13. 13.
    ​

    12+x+ln⁡(1−x2)\frac{1}{2+x}+\ln(1-x^{2})

  14. 14.
    ​

    6−2⁢x(1−x2)⁢(x−3)\frac{6-2x}{(1-x^{2})(x-3)}

  15. 15.
    ​

    1ln⁡(1−x2)\frac{1}{\ln(1-x^{2})}

  16. 16.
    ​

    x2+1x\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}

  17. 17.
    ​

    11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

  18. 18.
    ​

    ln⁡(1+ex)x\frac{\ln(1+e^{x})}{x}

Exercício 4.25.

(Primeira prova, Turmas D, 15 de abril de 2011) Defina assíntota horizontal/vertical de uma função ff, e ache as assíntotas das funções

|x−π|π+x,2+sen⁡x−3⁢x2x2−x+20,x⁢(x−1)x−1.\frac{|x-\pi|}{\pi+x}\,,\quad\frac{2+\operatorname{sen}x-3x^{2}}{x^{2}-x+20}\,% ,\quad\frac{\sqrt{x(x-1)}}{x-1}\,.
Exercício 4.26.

Dê exemplos de funções ff que tenham x=−1x=-1 e x=3x=3 como assíntotas verticais, e y=−1y=-1 como assíntota horizontal.