5.3 Exercícios de revisão

Exercício 5.7.

Considere

f⁢(x):={x4+1−(a⁢x2+b)+1−cos⁡(c⁢x)x2 se ⁢x≠0,0 se ⁢x=0.f(x){:=}\begin{cases}\sqrt{x^{4}+1}-(ax^{2}+b)+\frac{1-\cos(cx)}{x^{2}}&\text{% se }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ se }x=0\,.\end{cases}

Ache a,b,ca,b,c de modo tal que ff seja contínua em 0, e que limx→∞=−3\lim_{x\to\infty}=-3.

Exercício 5.8.

Seja f:ℝ→ℝf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua tal que limx→+∞f⁢(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, limx→−∞f⁢(x)=−∞\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. Mostre que Im⁡(f)=ℝ\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.

Exercício 5.9.

Se ff é par (respectivamente ímpar), qual é a relação entre limx→0+f⁢(x)\lim_{x\to 0^{+}}f(x) e limx→0−f⁢(x)\lim_{x\to 0^{-}}f(x)? Seja ff uma função ímpar tal que limx→0+f⁢(x)\lim_{x\to 0^{+}}f(x) existe e vale L>0L>0. Essa função é contínua?

Exercício 5.10.

(Aplicação do Teorema do valor Intermediário). Se II é um intervalo e se f:I→ℝf:I\to\mathbb{R} é contínua, então Im⁡(f)\operatorname{Im}(f) é um intervalo.

Exercício 5.11.

Estude a continuidade das seguintes funções:

f⁢(x):={earctan⁡1/xse ⁢x≠0,eπ2 se ⁢x=0,g⁢(x):={exx2−1se ⁢x∉{±1},0se ⁢x=−1,1se ⁢x=+1.f(x){:=}\begin{cases}e^{\arctan 1/x}&\text{se }x\neq 0\,,\\ e^{\frac{\pi}{2}}&\text{ se }x=0\,,\end{cases}\quad\quad g(x){:=}\begin{cases}% e^{\frac{x}{x^{2}-1}}&\text{se }x\not\in\{\pm 1\}\,,\\ 0&\text{se }x=-1\,,\\ 1&\text{se }x=+1\,.\end{cases}
Exercício 5.12.

Sejam f,gf,g duas funções contínuas na reta, tais que f⁢(x)=g⁢(x)f(x)=g(x) para todo racional diádico xx. Mostre que f=gf=g.