5.2 Limites e funções contínuas

Como visto na Proposição 5.1, se $g$ é contínua em $a$, e se $f$ é contínua em $g(a)$, então $f\circ g$ é contínua em $a$. Isso pode ser dito da seguinte maneira: se $g(x)\to L$ quando $x\to a$ e se $f$ é contínua em $L$, então $f(g(x))\to f(L)$ quando $x\to a$. Isto é,

Esse fato foi usado, sem sequer ser mencionado, em vários lugares nas seções anteriores. Por exemplo apareceu, no item (5) do Exercício 4.19, o limite de $(\frac{\operatorname{sen}x}{x})^{2}$ quando $x\to 0$. Aqui, a função é da forma $f(g(x))$, com $g(x)=\frac{\operatorname{sen}x}{x}$, $f(x)=x^{2}$. Ora, como $g(x)\to 1$ e como $f$ é contínua em $1$, podemos “entrar o limite dentro do $(\cdot)^{2}$”:

Também, no item (9) do Exercício 4.15, como $\sqrt{x}$ é contínua a direita em $0$

Um resultado parecido vale para limites no infinito: se $g(x)\to L$ quando $x\to\infty$ e se $f$ é contínua em $L$, então $f(g(x))\to f(L)$ quando $x\to\infty$. Em outras palavras:

Por exemplo, em (4.23),